第03讲二次函数的性质（8类题型）（原卷版）

第03讲二次函数的性质（8类题型）课程标准学习目标1.二次函数的性质2.二次函数的解析式3.二次函数的平移问题1．掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式．2．能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最值和增减性．3．能根据二次函数的解析式画出函数的图象，并能从图象上观察出函数的一些性质．知识点01：二次函数的图象与a，b，c的关系学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．1．基础四看“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．2．组合二看(1)三全看点在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．(2)有缺看轴当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．3．取值计算当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.(4)的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.(5)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.(6)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.知识点02：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，注意：(1)a的绝对值越大，抛物线的开口越小.(2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”．知识点03：待定系数求解析式用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式;(2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式;(3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式.二次函数解析式的形式一般式：顶点式：交点式顶点在原点：过原点：顶点在y轴：求二次函数（a≠0）的最值的方法配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且公式法：因为抛物线的顶点坐标为（），则若a＞0，当x=时，函数有最小值，且若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且题型01二次函数图象与各系数关系【典例1】（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（

）A． B． C． D．【典例2】（2022秋·天津河西·九年级天津市海河中学校考期末）二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1】（2022秋·广东广州·九年级统考期末）已知，二次函数的图象如图所示，且该图象经过点．(1)c______0（填“”、“”或“”）；(2)直接写出时，自变量x的取值范围；题型02根据二次函数的对称性求函数值【典例1】（2023秋·九年级单元测试）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点为．【变式2】（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、、．(1)求抛物线的表达式；(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为，试求点E的坐标．题型03二次函数的平移问题【典例1】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得到的抛物线解析式为()A． B．C． D．【变式1】（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数的图象可由函数的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到．【变式2】（2023·全国·九年级假期作业）如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是．

题型04待定系数法求二次函数的解析式（一般式）【典例1】（2023·浙江·九年级假期作业）一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（

）A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5【典例2】（2022·浙江·九年级专题练习）已知函数y＝ax2+bx，当x＝1时，y＝﹣1；当x＝﹣1时，y＝2，则a，b的值分别是（

）A．，﹣ B．， C．1，2 D．﹣1，2【变式1】（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数的图像经过点和，求a、c的值．题型05待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）【典例1】（2022秋·河北沧州·九年级校考阶段练习）若二次函数图象的顶点坐标为，且过点，则该二次函数的解析式为（）A． B．C． D．【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）与抛物线的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是的抛物线解析式是．【变式2】（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）已知抛物线的顶点是，且经过点，求该抛物线的表达式．题型06待定系数法求二次函数的解析式（两点式）【典例1】（2022春·九年级课时练习）已知二次函数中的满足下表：…………根据表中信息，下列判断正确的是（）A．开口向下 B．当时，C．图像的对称轴是直线 D．函数最小值是【变式1】（2022·广东广州·二模）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（

）．A．6 B．1 C．1 D．6【变式2】（2023·上海·九年级假期作业）已知二次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3，求这个二次函数的解析式．题型07抛物线与x、y轴的交点问题【典例1】（2023·天津河西·统考二模）抛物线与轴的交点坐标为（

）A． B． C．和 D．和【典例2】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为．【变式1】（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为．题型08y=ax2+bx+c的最值【典例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（

）A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．【典例2】（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数（m为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最小值为3，则m的值为（

）A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7【变式1】（2023·山东临沂·统考一模）设二次函数（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．(1)若A，B两点的坐标分别为，，求函数y的表达式及其图象的对称轴．(2)若函数y的表达式可以写成（h是常数）的形式，求的最小值．(3)若函数y的表达式可以写成（h是常数）的形式，当时，求函数的最小值．A夯实基础1．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）将二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到二次函数表达式为（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·校考三模）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（

）A． B．当时，的值随值的增大而减小C． D．函数值有最小值3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：判断方程的一个解的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·浙江·九年级假期作业）已知抛物线与二次函数的的图象形状相同，开口方向相同，且顶点坐标为，它对应的函数表达式为（

）A． B．C． D．5．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考期末）已知二次函数的图象经过点，则a的值为6．（2021春·广东梅州·九年级校考期中）抛物线经过点，且．则抛物线的对称轴是．7．（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）将抛物线向左平移3个单位，向上平移2个单位后得到抛物线，那么原抛物线的解析式为．8．（2023·全国·九年级专题练习）、、、、的图象及性质对称轴轴轴顶点时，顶点是最低点，此时y有最值；时，顶点是最高点，此时y有最值．

最小值(或最大值)为0或或．增减性(或)时，随的增大而；(或)时，随的增大而．即在对称轴的左边，随的增大而；在对称轴的右边，随的增大而．(或)时，随的增大而；(或)时，随的增大而．即在对称轴的左边，随的增大而；在对称轴的右边，随的增大而．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．10．（2022秋·河南商丘·九年级校考阶段练习）已知二次函数．(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值；(2)当时，求的值；(3)当时，求的值．B能力提升1．（2023·浙江温州·校联考三模）二次函数的图象过点与，，且是关于的方程的解，则下列选项正确的是(

)A． B．时， C． D．时，2．（2023·陕西榆林·校考三模）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的几组数据如下：1322若点是抛物线上不同的两个点，则的值为（

）A．3 B．4 C． D．3．（2022秋·甘肃兰州·九年级校考期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①若，则或；②．其中正确的是（

）A．① B．② C．都对 D．都不对4．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知函数在上有最大值9，则常数a的值是（）A．1 B． C．或 D．1或5．（2022秋·四川南充·九年级校考阶段练习）把二次函数的图象沿轴向下平移1个单位长度，再沿轴向左平移3个单位长度后，此时抛物线相应的函数表达式是．6．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是．7．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若点在抛物线上，则的值为．8．（2023·安徽芜湖·统考三模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是．9．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数的图象交于A，C两点．

(1)求b的值；(2)求的面积．10．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）已知二次函数．(1)在所给的坐标系中画出这个函数的大致图象；(2)利用函数图象直接写出：①当时，x的取值范围是______；②当时，y的取值范围是______．

C综合素养1．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（）A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或63．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（）A．3或4 B．1或6 C．1或3 D．4或64．（2023春·四川达州·九年级校考期中）如图，二次函数的图象与轴的交点在与之间，对称轴为直线，函数