专项16巧用旋转进行计算（原卷版）

专项16巧用旋转进行计算将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。【考点1利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【典例1】（2021九上·番禺期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【变式11】（2021九上·上高月考）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，若∠COD=40°，则∠BOC的度数为（）A．10° B．20° C．30° D．40°【变式12】（2021九上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，则∠AED的度数为（）A．105° B．120° C．135° D．150°【变式13】（2021九上·澄海期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC．若点B刚好落在BC边上，且AB=CBA．60° B．80° C．100° D．120°【变式14】（2021九上·庐江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（）A．65 B．75 C．85 D．130【典例2】（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1 B．3 C．3 D．23【变式21】（2021九上·香坊期末）如图，将RtΔABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtΔADE，点B的对应点点D恰好落在边BC上，若AC=23，∠ABC=60°A．3 B．2 C．3 D．1【变式22】（2021秋•韶关期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【变式23】（2021秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'，则△A'BB'的周长为（）A． B．1+ C．2+ D．3+【典例3】（2021秋•岳池县期末）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【变式31】（2021九上·中山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【变式32】（2021九上·谷城期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．【考点2利用旋转计算面积】【典例4】（2021九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为.【变式41】（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（）A．3 B． C． D．【变式42】（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．1 C． D．【变式43】（2021秋•南丹县期末）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大 D．不断增大【考点3坐标系中图形旋转的规律】【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，﹣1） D．【变式51】（2021九上·惠来月考）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B(2，0)，以AB为边构造菱形ABEF．将菱形ABEF与正方形A．(−2，22)B．(−2，−2【变式52】（2021•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（）A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣，﹣） D．（0，﹣1）【变式53】（2021秋•郧阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点B2021的横坐标为（）A．12120 B．12128 C．12123 D．121251．（2021九上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠BAC=75∘，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE//AB，则A．25∘ B．30∘ C．35∘2．（2021九上·虎林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△ABC，使点C落在ABA．1cm B．2cm C．3cm D．3．（2022春•泗县期中）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（）A． B． C．3 D．44．（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（）A．1 B．2 C． D．45（2022·呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（）A．90°+12α B．90°−12α6．（2021九上·富裕期末）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝32A．40° B．45° C．105° D．55°7．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④ D．②③④8.（2021九上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为度．9．（2022春•通道县期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是．10．（2022•新城区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当BD长最大时，△ABC的面积为．11.（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为．12．（2021九上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3⌢是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4⌢是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是．13.（2021九上·黔西南期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y＝33x上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝33x上，依次进行下去…，若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（3，1），则点A12的横坐标是14．（2021九上·新乡期末）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝22，将△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为.15.（2021九上·互助期中）如图将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，求BD的长．16．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．17.（2016九上·涪陵期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′