数学教案：平均数、中位数、众数、极差、方差标准差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§4数据的数字特征4．1平均数、中位数、众数、极差、方差4．2标准差eq\o(\s\up7（),\s\do5（整体设计))教学分析在义务教育阶段,学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题．在这个基础上，高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，达到在具体的问题中能根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征．三维目标1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义,并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力．2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差,提高学生的运算能力．重点难点教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用．教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息．课时安排1课时eq\o（\s\up7（)，\s\do5（教学过程)）导入新课思路1.如果中国女排与俄罗斯女排队员的身高、年龄如下表：中国女排俄罗斯女排号码身高/米年龄/岁号码身高/米年龄/岁21.832521。902631。832441。843341.862451.942761。852471。882571.822581.922981.962391.902991。8229101。8024101.8229112。0424121。7824121。8019151。8126131.8328161.8124141.8526181。8722161。9032那么怎样判断中国女排和俄罗斯女排的队员谁的身材更为高大?我们分别求出两队球员的平均身高，谁的平均身高数值大，谁的身材就更高大，教师点出课题：数据的数字特征．思路2。小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成．工作人员由五个领工和十个工人组成．工厂经营得很顺利,需要增加一个新工人，小亮需要一份工作,应聘而来与小明交谈．小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周300元．你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了．”小亮工作几天后找到小明说:“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢?”小明说:“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表．”工资表如下：人员小明小明弟弟亲戚领工工人周工资24001000250200100人数116510合计24001000150010001000这到底是怎么了?教师点出课题：数据的数字特征．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))1．什么叫平均数？有什么意义?2．什么叫中位数？有什么意义？3．什么叫众数？有什么意义?4．什么叫极差？有什么意义?5．什么叫标准差？有什么意义？6．什么叫方差？有什么意义？讨论结果:1．一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数．数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn，n)。平均数对数据有“取齐”的作用，代表该组数据的平均水平．任何一个数据的改变都会引起平均数的变化,这是众数和中位数都不具有的性质．2．一组数据按从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数．一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的集中趋势．3．一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数．一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有,反映了该组数据的集中趋势．4．一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差，表示该组数据之间的差异情况．5．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，通常用公式s＝eq\r（\f（1，n）[x1－\x\to(x）2＋x2－\x\to(x）2＋…＋xn－\x\to（x）2］）来计算．可以用计算器或计算机计算标准差．标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小．标准差大，数据的离散程度大；标准差小，数据的离散程度小．标准差的取值范围是[0，＋∞）．样本数据x1，x2，…，xn的标准差的计算步骤：（1）计算样本数据的平均数，用eq\x\to（x）来表示;（2）计算每个样本数据与样本数据平均数的差：xi－eq\x\to（x)(i＝1,2，…，n）；(3)计算xi－eq\x\to(x）(i＝1，2，…，n）的平方;（4）计算这n个xi－eq\x\to（x)(i＝1,2，…，n)的平方的平均数，即方差；（5)计算方差的算术平方根，即为样本标准差．6．方差等于标准差的平方，即s2＝eq\f(1,n）[（x1－eq\x\to（x))2＋（x2－eq\x\to（x)）2＋…＋(xn－eq\x\to（x))2]，与标准差的作用相同,描述一组数据围绕平均数波动的程度的大小．方差的取值范围是［0，＋∞）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例）)思路1例1某公司员工的月工资情况如表所示:月工资/元80005000400020001000800700600500员工/人12461282052（1）分别计算该公司员工月工资的平均数、中位数和众数．（2)公司经理会选取上面哪个数来代表该公司员工的月工资情况？税务官呢?工会领导呢？解:(1)经过简单计算可以得出:该公司员工的月工资平均数为1373元,中位数为800元，众数为700元．(2)公司经理为了显示本公司员工的收入高,采用平均数1373元作为月工资的代表；而税务官希望取中位数800元，以便知道目前的所得税率对该公司的多数员工是否有利；工会领导则主张用众数700元作为代表,因为每月拿700元的员工数最多．点评:平均数是将所有的数据都考虑进去得到的度量,它是反映数据平均水平最常用的统计量;中位数将观测数据分成相同数目的两部分，其中一部分都比这个数小而另一部分都比这个数大,对于非对称的数据集,中位数更实际地描述了数据的中心；当变量是分类变量时,众数往往经常被使用.变式训练1．下表为某班40名学生参加“环保知识竞赛”的得分统计表：分数012345人数4710x8y请参照这个表解答下列问题：（1）用含x，y的代数式表示该班参加“环保知识竞赛”的班平均分f；(2）若该班这次竞赛的平均分为2。5分,求x，y的值．解:(1）f＝eq\f（3x＋5y＋59,40)；（2)依题意,有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x＋5y＝41，，x＋y＝11，））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7,,y＝4.）)2。某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整,据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：景点ABCDE原价/元1010152025现价/元55152530平均日人数/千人11232(1)该风景区调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平，问风景区是怎样计算的？（2）游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一方的说法较能反映整体实际？解:（1)风景区是这样计算的：调整前的平均价格：eq\f(10＋10＋15＋20＋25,5）＝16（元），调整后的平均价格:eq\f（5＋5＋15＋25＋30，5）＝16（元)，因为调整前后的平均价格不变，平均日人数不变，所以平均日总收入不变．(2）游客是这样计算的:原平均日总收入：10×1＋10×1＋15×2＋20×3＋25×2＝160(千元），现平均日总收入：5×1＋5×1＋15×2＋25×3＋30×2＝175（千元)，所以平均日总收入增加了eq\f(175－160,160）≈9。4%。(3)游客的说法较能反映整体实际.例2甲、乙两台机床同时生产直径是40mm的零件．为了检验产品质量，从两台机床生产的产品中各抽取10件进行测量，结果如下表所示。甲机床直径/mm40。039.840.140。239。940。040.239。840。239.8乙机床直径/mm40.040.039。940。039。940。140.140.140.039。9分别计算上面从甲、乙两台机床抽取的10件产品直径的标准差，并判断哪台机床生产过程更稳定．解:从数据很容易得到甲、乙两台机床生产的这10件产品直径的平均值eq\x\to（x)甲＝eq\x\to(x)乙＝40(mm）．我们分别计算它们直径的标准差:s甲＝eq\r(［40－402＋39.8－402＋…＋39.8－402］/10）＝0.161（mm），s乙＝eq\r（［40－402＋40－402＋…＋39.9－402]/10)＝0.077(mm）．由上面的计算可以看出：甲、乙两台机床生产的产品直径的平均值相同，而甲机床生产的产品直径的标准差为0。161mm，比乙机床的标准差0.077mm大,说明乙机床生产的零件要更标准些，即乙机床的生产过程更稳定一些．点评:对数据数字特征内容的评价，应当更多地关注对其本身意义的理解和在新情境中的应用,而不是记忆和使用的熟练程度。变式训练设有容量为n的样本x1，x2，…，xn,其标准差为sx,另有容量为n的样本y1，y2,…，yn,其标准差为sy，且yk＝3xk＋5(k＝1，2,…,n），则下列关系正确的是（）．A．sy＝3sx＋5B．sy＝3sxC．sy＝eq\r(3）sxD．sy＝eq\r（3)sx＋5答案：B思路2例1某企业员工的月工资如下(单位：元)：800800800800800100010001000100010001000100010001000100012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200150015001500150015001500150020002000200020002000250025002500(1）计算该公司员工的月工资的平均数、中位数和众数；（2）假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？分析：（1）根据平均数、中位数和众数的定义可以分别求得；(2）主要根据月工资的平均数来看待员工的收入情况，当然也要考虑中位数和众数．解:（1）公司员工的月工资的平均数为eq\f（5×800＋10×1000＋20×1200＋7×1500＋5×2000＋3×2500，50）＝1320(元)，中位数为1200元，众数为1200元．(2)由于该公司员工的月工资的中位数和众数与平均数比较接近，所以主要考虑月工资的平均数1320元作为月工资的代表，这样以该公司月平均工资1320元与同类企业的工资待遇作比较即可．点评：大多情况下人们会把眼光仅停留在工资表中的最大与最小值处，把最高工资作为一个单位工资的评价,这是一种错误的评价方式.变式训练1．已知10个数据：1203，1201,1194，1200，1204,1201，1199，1204，1195，1199，它们的平均数是（）．A．1400B．1300C．1200D．1100答案:C2．某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润(万元)如下表所示:部门ABCDEFG人数1124223每人所创的年利润2052。52.11。51。52根据表中提供的信息填空：（1）该公司每人所创的年利润的平均数是__________万元．（2）该公司每人所创的年利润的中位数是__________万元．(3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创的年利润的一般水平？答案：（1)3。36（2）2。1(3)中位数.例2对甲、乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下：甲6080709070乙8060708075（1）甲、乙的平均成绩谁较好?(2）谁的各门功课发展较平衡？分析：(1)利用公式计算平均数；（2)计算方差来分析．解：（1）∵eq\x\to(x）甲＝eq\f（1,5）(60＋80＋70＋90＋70)＝74,eq\x\to(x）乙＝eq\f（1，5）（80＋60＋70＋80＋75）＝73,∴甲的平均成绩较好．（2)seq\o\al(2，甲)＝eq\f（1,5）(142＋62＋42＋162＋42)＝104，seq\o\al(2,乙)＝eq\f（1，5）(72＋132＋32＋72＋22)＝56，∵seq\o\al(2,甲）＞seq\o\al（2,乙)，∴乙的各门功课发展较平衡．点评：平均数和方差是样本的两个重要数字特征,方差越大，表明数据越分散，相反地，方差越小，数据越集中、稳定；平均数越大表明数据的平均水平越高，平均数越小表明数据的平均水平越低.变式训练已知一个样本中含有5个数据3，5，7,4,6，则样本方差为(）．A．1B．2C．3D．4解析:∵eq\x\to（x)＝eq\f(3＋5＋7＋4＋6,5）＝5,∴方差s2＝eq\f（1，5)［(5－3）2＋(5－5）2＋（5－7）2＋(5－4）2＋(5－6）2]＝2。答案：Beq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))1．下列说法正确的是（）．A．甲、乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样B．期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小，这表明甲班的数学学习情况比乙班好C．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同，方差甲班比乙班大，则数学学习甲班比乙班好D．期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小，则数学学习甲班比乙班好答案：D2．在一次数学测验中，某小组14名学生分别与全班的平均分85分的差是：2,3，－3，－5，12,12,8,2，－1,4，－10,－2,5，5，那么这个小组的平均分是__________分．()．A．97.2 B．87.29 C．92。32 D．82。86答案：B3．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表：甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()．A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3 C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s解析：方法一：计算得eq\x\to(x）甲＝eq\x\to(x)乙＝eq\x\to（x)丙＝8。5,seq\o\al(2，1)＝eq\f(25,20），seq\o\al(2,2）＝eq\f（28,20),seq\o\al（2,3)＝eq\f（21，20），则s2＞s1＞s3；方法二：可以计算三名运动员成绩的平均数都等于8。5，观察对比三个表格，相比之下丙的环数集中在8.5周围，比甲和乙要稳定，乙的环数比甲更分散，则有s1＞s3,s2＞s1.答案：B4．某人射击5次，分别为8，7,6，5，9环，则这个人射击命中的平均环数为__________．答案：75．华山鞋厂为了了解中学生穿鞋的鞋号情况，对某中学八年级(1)班的20名男生所穿鞋号的统计如下表：鞋号23。52424。52525。526人数344711那么这20名男生鞋号数据的平均数是__________，中位数是__________，众数是__________，在平均数、中位数和众数中，鞋厂最感兴趣的是__________．答案：24。5524.525众数6．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是__________．答案：－3eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升）)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm)：甲25414037221419392142乙27164427441640401640问:(1）哪种玉米的苗长得高?（2)哪种玉米的苗长得齐？解：（1)∵eq\x\to(x）甲＝eq\f(1，10）(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq\f(1，10)×300＝30(cm)，eq\x\to(x)乙＝eq\f（1,10)（27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40）＝eq\f（1,10）×310＝31(cm)，∴eq\x\to（x）甲＜eq\x\to(x）乙,即乙种玉米的苗长得高．(2)∵seq\o\al（2,甲）＝104.2（cm2），seq\o\al（2,乙）＝128。8(cm2），∴seq\o\al(2,甲）＜seq\o\al（2，乙），即甲种玉米的苗长得齐．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结）)本节课学习了平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业))习题1－41,2。eq\o(\s\up7（），\s\do5（设计感想）)本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差的计算、意义和作用,重在应用．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（备课资料））备选习题1．现有同一型号的汽车50辆．为了了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况，要从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1L所行路程的试验，得到如下数据（单位:km)：11,15，9,12,13.则样本方差是（)．A．20B．12C．4D．2解析：可以计算得平均数eq\x\to(x）＝eq\f(11＋15＋9＋12＋13,5)＝12，则方差s2＝eq\f(1,5)[（11－12）2＋（15－12)2＋（9－12)2＋（12－12)2＋（13－12）2］＝4。答案:C2．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟)分别为x，y,10,11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为()．A．1B．2C．3D．4解析：由平均数为10，得(x＋y＋10＋11＋9)×eq\f（1,5)＝10，整理得x＋y＝20；又由于方差为2，则eq\f(1，5）×[（x－10）2＋(y－10）2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(9－10)2］＝2，整理得x2＋y2－20(x＋y)＋192＝0，所以x2＋y2＝208，则2xy＝192。故|x－y｜＝eq\r(x－y2)＝eq\r(x2＋y2－2xy)＝4。答案:D3．某农科所为寻找高产稳定的油菜品种，选了三个不同的油菜品种进行试验，每一品种分别在五块试验田中试种．每块试验田的面积为0。7公顷，产