数学教案：独立性检验的基本思想及其初步应用第二课时

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二课时教学目标知识与技能通过实例，让学生了解独立性检验的基本思想及其初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断，会对具体问题做出独立性检验．过程与方法经历概念的探索、反思、建构这一过程，让学生进一步体会独立性检验思想的基本原理,培养学生归纳、概括等合情推理能力．通过实际应用,培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识．情感、态度与价值观通过创设情境激发学生学习数学的兴趣，培养其严谨治学的态度．在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值．重点难点教学重点：独立性检验基本思想的初步应用;教学难点：对独立性检验基本思想的理解．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教学过程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新课)）有甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格和不及格统计成绩后，得到如下列联表：不及格及格合计甲103545乙73845合计177390试判断成绩不及格与班级是否有关?学生活动：回顾上一节课的学习内容，选择合适的方法进行判断．学情预测：根据列联表可知甲班学生中不及格的比例为eq\f（10,45),乙班学生中不及格的比例为eq\f(7,45），相差eq\f（3,45)；画出等高条形图：有的学生可能说有关系，因为从等高条形图来看，可以发现甲、乙两班的及格率有明显差异；有的学生可能会说没有关系，因为不及格率相差eq\f（3,45)，应该不算大，所以说及格与班级没有关系．教师：由上面的问题可以看出，虽然利用图表来判断两个分类变量是否有关比较直观,但缺少精确性和可靠性,如何精确地刻画两个分类变量的有关性，我们必须找到一个进行精确判断的方法．设计意图：充分认识独立性检验的必要性,创设悬念，激发斗志,让学生跃跃欲试．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（探究新知））提出问题：为了解决上面的问题，我们可以先假设H0：不及格与班级无关．设A表示事件“在甲班”,B表示事件“不及格”,AB表示“在甲班且不及格”，则“不及格与班级无关”等价于事件A与B相互独立，则有P（AB)＝P（A)P(B),否则,应该有A与B不独立，即“不及格与班级有关"．那么，如何验证P（AB）＝P(A）P（B)呢？学生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，老师加以适当的引导．学情预测:根据概率的统计定义可知，上面各个事件的概率可以用相应的频率来估计,则P(A）＝eq\f（45,90)＝eq\f（1,2），P（B）＝eq\f（17，90），P（A）P(B)＝eq\f(17，180），P（AB)＝eq\f(10，90）＝eq\f(1,9)＝eq\f（20，180），因为P（AB)≠P（A）P（B)，故A与B不独立，即“不及格与班级有关"．提出问题：由P(AB)≠P（A)P(B)一定有“不及格与班级有关”吗？如果不是，那么如何根据P（A），P(B),P(AB)的值来判断其相关性？学生活动：小组协作讨论，然后说出对这个问题的认识．学情预测：P(AB)≠P（A）P(B）不一定有“不及格与班级有关”，因为在数据上我们是采用频率来估计概率，另外，在实际问题中我们也仅是用样本来估计总体，这些因素都会造成数值上的偏差．但是，应该肯定的是P（AB）与P(A）P（B)越接近,A与B独立的可能性就越大，即“不及格与班级有关"的可能性就越小．设计目的：通过实例的分析,为引入和理解独立性检验的基本思想做好铺垫．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(理解新知））提出问题:若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：不及格及格合计甲aba＋b乙cdc＋d合计a＋cb＋da＋b＋c＋d令n＝a＋b＋c＋d,如何判断不及格与班级是否有关系？试加以说明．学生活动：分组讨论，协作完成,教师引导学生类比上面的分析过程,将数字换成字母加以说明．学情预测：假设H0：不及格与班级无关．设A表示事件“在甲班”，B表示事件“不及格”,AB表示“在甲班且不及格”，则P(A)＝eq\f（a＋b，n），P（B）＝eq\f（a＋c,n),P(A)P(B）＝eq\f(a＋b,n）×eq\f（a＋c,n），P（AB)＝eq\f（a，n），若“不及格与班级无关”，则eq\f(a＋b,n）×eq\f（a＋c,n)与eq\f(a,n）应非常接近．教师：若eq\f（a＋b,n)×eq\f（a＋c,n）与eq\f（a，n）非常接近，则eq\f（a＋b，n）×eq\f(a＋c，n)≈eq\f(a,n），从而ad≈bc，因此eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（ad－bc）)越小,说明不及格与班级的关系越弱,eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(ad－bc))越大，说明不及格与班级的关系越强．而且我们还可以发现，当eq\f(a＋b,n)×eq\f(a＋c,n）与eq\f（a,n）非常接近时,eq\f（a＋b,n)×eq\f(b＋d,n）与eq\f（b，n)也应该非常接近…或者说(eq\f(a，n）－eq\f(a＋b，n）×eq\f(a＋c,n）)2,(eq\f(b，n）－eq\f（a＋b,n）×eq\f(b＋d，n)）2，（eq\f（c,n)－eq\f(c＋d,n）×eq\f（a＋c,n))2，（eq\f(d，n）－eq\f(c＋d,n）×eq\f(b＋d，n））2应该比较小，从而eq\f((\f（a,n)－\f(a＋b，n）×\f（a＋c，n))2,\f(a＋b,n)×\f(a＋c，n））＋eq\f(（\f(b，n）－\f(a＋b，n)×\f（b＋d,n））2，\f（a＋b，n)×\f（b＋d,n）)＋eq\f((\f（c，n）－\f（c＋d,n)×\f(a＋c，n））2,\f(c＋d，n)×\f（a＋c,n））＋eq\f（（\f（d，n)－\f(c＋d,n)×\f(b＋d，n)）2，\f(c＋d，n)×\f(b＋d，n))＝eq\f(n（ad－bc）2,(a＋b)(a＋c）(b＋d)(c＋d)）也应该很小．构造随机变量K2＝eq\f(n(ad－bc）2,(a＋b)(a＋c）(b＋d)(c＋d）)，若H0成立，即“不及格与班级无关”，则K2应该很小．在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率P(K2≥6。635)≈0.01.即在H0成立的情况下，K2的观测值大于6。635的概率非常小，近似于0.01，也就是说,在H0成立的情况下对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0。01。从而，也说明我们把“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不会超过0.01。这样，我们就可以通过计算K2的观测值k来判断H0是否成立．我们把这种方法称为独立性检验．提出问题:独立性检验的基本思想是什么?学生活动：反思上面的过程，进行归纳总结，然后小组间交换意见．学情预测:独立性检验的基本思想是：要判断“两个分类变量有关系”这一结论的可信程度，首先假设结论不成立，即假设“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小．如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设不合理，即认为“两个分类变量有关系"；如果观测值k很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0.独立性检验的基本思想类似于反证法．教师：当确定“两个分类变量有关系”的可信程度时，需要确定一个正数k0与随机变量K2的观测值k比较大小,如果k≥k0,就认为“两个分类变量之间有关系”，否则就认为“两个分类变量之间没有关系”．我们称这样的k0为一个判断规则的临界值．按照这种规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量有关系”的概率不超过P(K2≥k0)．独立性检验的具体做法是：（1）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α,然后查表确定临界值k0。P(K2≥k0)0。500.400。250。150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550。7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910。828(2）利用公式计算K2的观测值k.(3）如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．设计目的：以问题为驱动，引领学生在积极的思考、探究中，理解独立性检验的基本思想，理解随机变量K2的构造过程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（运用新知)）提出问题：根据独立性检验的基本思想，判断“不及格与班级是否有关”？学生活动：类比公式，用计算器进行运算比较．活动结果：由题意知a＝10，b＝35,c＝7，d＝38，a＋b＝45,c＋d＝45,a＋c＝17，b＋d＝73，n＝90。代入公式得K2的观测值为:k＝eq\f(n(ad－bc)2，（a＋b)（a＋c）（b＋d)(c＋d))＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,45×45×17×73)≈0.65.因为0.65〉0.455，所以我们在犯错误的概率不超过0。5的前提下可认为“不及格与所在班级有关"．设计目的：通过问题的解决，既照应了开头提出的问题，同时也是对公式应用的一个巩固．【变练演编】题为了探究吸烟习惯与患慢性气管炎是否有关,调查了339名50岁以上的人，获数据如下：患慢性气管炎未患慢性气管炎总计吸烟43162205不吸烟13121134总计56283339吸烟习惯与患慢性气管炎是否相关？试用独立性检验的思想说明理由．分析：根据公式求出随机变量K2的观测值k，然后和已知结论数值进行比较．解：根据列联表的数据得到K2的观测值:k＝eq\f(n(ad－bc)2,（a＋b)(a＋c）(b＋d）(c＋d))＝eq\f（339×（43×121－162×13)2，205×56×283×134)≈7.469>6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟习惯与患慢性气管炎有关”．提出问题：请解答下列问题:1．已知两个分类变量X与Y,你有哪些办法判断它们是否有关系？(把你知道的办法都写出来)2．已知K2的观测值k＝6.635，你能得到哪些结论？(把你能得到的结论都写出来）活动设计:学生先独立探索，允许互相交流成果．然后全班交流．学情预测：1。列联表、等高条形图、独立性检验等．2．P（K2≥6.635）≈0。01；我们判断“X与Y有关系”的出错概率不超过0.01；在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“X与Y有关系”．设计意图:设置本组开放性问题,旨在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持,不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课堂小结)）(给学生1～2分钟的时间泛读教材，用精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律)1．独立性检验的思想方法以及它与反证法的关系．2．独立性检验的一般操作步骤．设计意图：让学生自己小结，这是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（补充练习)）【基础练习】1．下面说法正确的是（)A．统计方法的特点是统计推断准确、有效B．独立性检验的基本思想类似于数学上的反证法C．任何两个分类变量有关系的可信度都可以通过查表得到D．不能从等高条形图中看出两个分类变量是否相关2．经过对K2的统计量的研究，得到了若干个临界值，当K2的观测值k＞3.841时,我们（）A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B有关B．在犯错误的概率不超过0.05的前提下可认为A与B无关C．在犯错误的概率不超过0。01的前提下可认为A与B有关D．没有充分理由说明事件A与B有关系3．利用独立性检验来考虑两个分类变量与是否有关系时，通过查阅下表来确定“X和Y有关系”的可信度．如果k>6。635,那么认为“X和Y有关系”犯错误的概率不超过…（)P(K2≥k0)0.500.400。250。150.100.050.0250。0100.0050。001k00。4550.7081.3232。0722.7063。8415。0246.6357.87910.828A.99%B．1%C．5％D．97。5%4．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类分类变量是否彼此相关，首先假设这两类变量彼此__________，在此假设下构造随机变量K2,如果K2的观测值较大,那么在一定程度上说明假设__________．答案：1。B2。A3。B4。无关不成立【拓展练习】5．某聋哑研究机构,对聋哑关系进行抽样调查,在耳聋的657人中有416人哑，而另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据判断,在犯错误的概率不超过0。1%的前提下,能否认为聋哑有关系？解：根据题目所给数据，得到如下列联表:哑不哑总计聋416241657不聋249431680总计6656721337根据列联表数据得到K2的观测值K＝eq\f（1337×（416×431－249×241）