专升本数学摘录

函数·极限和连续极限（极限唯一性）输入数列｛收敛｝，它的极限唯一（数列有界性）｛｝<=M保号，保不等式迫敛性：就是当数列ab极限都是a，当n>N时，有a<b<c则c收敛，极限为a四则运算单调有界定理：数列单调有界必定有极限大头原则无穷小量阶的比较（只有无穷小量才能进行阶的比较，但非全部｛看极限存不存在｝）高阶跟同阶的比较（limx->0-f(x)/g(x)=0,就说明f(x)收敛于0的速度快于g(x);如果等于1，说明他们等价）当x趋近于0的时候，等价式子：当x趋近于0的时候sinx~tanx~arctanx~ln(1+x)~~x;1-cosx~;~注意：只有乘除且是无穷小量才可以进行等价无穷量代换函数的连续性与间断点若函数有定义且极限等于趋近点的函数值，则函数在该点连续两类间断，四种间断点第一类可去间断点（极限存在但相等）跳跃间断点（极限存在但不相等第二类无穷间断点（至少有一个极限为无穷）震荡型间断点（函数为震荡型，极限不存在）注意，三角函数如sinx=0的话，情况有两个，一个x=0，一个x=kpi（k=0，1，2，3，4。。。。）定义范围！连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的四则运算：两个连续函数加减乘除结果还是连续复合函数的连续性例如,若想求该函数的极限，根据连续性来看，从外到里的看，首先求g(u)的极限就是把内函数看成u趋近u0，那么u0等于内函数的x->x0的极限，所以u趋近于f(x)趋近于x0，所以得出以下结论若f(x)在x0不连续或者无定义，仍旧可以用上面的连续性结论基本初等函数组合后成为初等函数（在定义域内连续）反函数连续性----若函数f在区间i上单调且连续，则其反函数f1在fi上联系也闭区间上连续函数的性质三个定理最值定理介值定理这个定理的作用在于找出当r介于ab之间时且fa不等于fb，当函数在区间ab之间连续的时候，且r在fab之间，则必定有一个fx0=r[看是否有fa>r，这个看函数的极限]零点定理这个定理作用在于得在f在闭ab区间连续，且fa跟fb异号，则有fx0=0有时候借助第三方函数一元函数微分学导数导数的定义记作，得到函数在x0处可导，那么函数在x0处连续会导数四则运算的证明反函数的求导方式：复合函数求导就是把一个大的函数看成整体求导乘上内函数求导高阶导数高阶导数的定义跟导数的定义是一样的，只不过是把函数换成导数而已；莱布尼兹公式：;,几个常用的高阶导数;u=m=u!u<m=0,cosx同理隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的定义我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量通过某个式子组成的，如这些称为显函数；但是现实中不一定是显函数，如这种称为隐函数，而把隐函数转换成显函数的过程为隐函数的显化，如隐函数求导这类函数的求导呢不像一般的求导，这里的求导是把y看成是一个符合函数，类似求导这个复合函数求导的结果为，那么相同的，求导的结果为这里y类似的看成是复合函数里的内函数对数求导方法两边取对数，如取对数后，然后求导得经过显化得到，这就是取对数求导，适用于幂函数，幂指函数，指数函数参数方程所确定的函数的导数参数方程就是给你一个参数组就是方程组，叫你求高阶导数，计算方式跟导数的定义一样，这是二阶导数；其实无论叫你求几阶，，例如就是把分子部分求导，除分母部分求导，这就得出了，二阶同理，=原先的y就是一阶求导后的式子，这个式子我们也可以用导数的定义去验证，总的就是前一阶的式子作为后一阶的参数y，然后按照参数方程求解分段函数求导求导的方法不变，分别求出不同区间函数的导数，但是分段点左右一定要用导数的定义求，例如分段点为0，直接利用左右若相等，则其导数存在微分定义：导数和微分的等价关系：定理：f(x)在x0处可微fx在x0处可导，且d（fx）=A；总的来说函数在x0处可导，且fx0=A，则该函数可微，反之依然，总结一句话，函数求微分相当于求导微分和增量的关系，通过比较阶既可知道，微分中值定理费马定理1：若f在x0某一个领域内有定义且可导2：且对任意x属于U（x0）都有f(x)<f(x0);f(x)>f(x0)则f'(x0)=0;这个定理只不过给罗尔定理打个前戏而已罗尔定理要符合三个条件：1：f在ab闭区间内连续2：在ab开区间可导，3：fa=ab，x0属于ab闭区间则f'(x0)=0，要看清楚式子的特定，一般用来证明根的个数和存在性拉格朗日定理拉格朗日定理只不过是罗尔定理的一个特例，只需要符合罗尔定理中的前两个则可以得到，该定理一般证明不等式，步骤一般就是将拉格朗日定理的式子写出来，然后将式子放在区间内，然后变换，看不等式是否可以组成这样的形式几种等价形式：推论一：函数fx在区间I上可导且f's==0，得到fx在I上的常值。步骤：1，对fx求导得f‘s，再证明f’s==0；2，由1得fx为一个常量函数，令fx=C3，某一点x=x0一般取x=0代入fx=C，求得常数C的值，推论二：函数fx和gx在区间I上可导且f's==g's，得到fx=gx+C洛必达法则有两个类型：和定理一：1：fx和gx满足当x趋近a时，fx跟gx=02：在U(a)函数导数存在且gx不等于03：则注：当一阶导数仍旧满足洛必达法则，可以继续