新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第5章53第2课时函数的最大值、最小值

第2课时函数的最大值、最小值

一◎基础认知-自主学习四

概念认知

函数的最大值和最小值

⑴定义：

设y=f(x)的定义域为A,如果存在xoeAz使得对于任意的

条件

x£A,都有

前提

f(x)<f(x0)f(x)>f(x0)

称f(xo)为y=f(x)的最大值，称f(xo)为y=f(x)的最小值，

结论

记为Ymax=f(Xo)记为Ymin-f(XQ)

⑵本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标

即为最小值.

⑶应用：求函数的值域，参数的范围，解决实际问题.

自我小测

1.函数f(x)=x2-3x(|x|<1)()

A.有最大值，但无最小值

B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，但有最小值

D.既无最大值，也无最小值

选D.f(x)=x2-3x是开口向上的抛物线,

其对称轴方程为x二,，则函数f(x)在(-1,1)上单调递减，所以函

数f(x)=X2-3x(|x|<1)既无最大值，也无最小值.

2,函数y在区间［2,6］上的最大值、最小值分别是()

A

11111

-B-U--

A-C-D-

*/33/2/442

2

选A.因为y=-在区间［2,6］上单调递减，

A

所以当x=2时取最大值y二l；

当x=6时取最小值y=1.

3.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()

选B.观察函数图象，f(x)最大值、最小值分别为f(0),后

X+3(X<1),

4.函数、'=r+5(6)的最大值是()

A.3B.4C.5D.6

x+3(x<l),

选B.函数丫=7+5g)的图象如图的:

x+3(x<l),

由图象可得函数尸…5g)的最大值是4

2

5.函数f(x)二3的定义域是(-8,1)U[2,5),则其值域是

x-1

函数f(x)i£(-00,1)上是减函数，在(1,+8)上也是减函数，而x£(-

8,1)“2,5),

所以ye(-8,0)U2

答案：(-8,0)UQ,2

6.已知函数f(x)=

，3-x2,x£[-1,2],

<

X-3,x£(2,5],

(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.

(2)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.

1234

⑴由题意知，当x£［-1,2］时，

f(x)=-x2+3,为二次函数的一部分；

当x£(2,5］时,f(x)=x-3,为一次函数的一部分；

所以，函数f(x)的图象如图所示.

456、

(2)由图象可知，当x=0时,f(x)有最大值3；

当X=2时，f(X)min=-1.

》学情诊断・课时测评《

基础全面练

一、单选题

1.(2021.太原高一检测)下列函数在［1,4］上最大值为3的是()

A.y=(+2B.y=3x-2

C.y=x2D.y=1-x

选A.B,C在［1,4］上均为增函数，A,D在［1,4］上均为减函数，代

入端点值，即可求得最值.

2.函数f(x)=——―7的最大值是()

1-x(1-x)

A-5B4C-4D-3

选D.令1-x(l-x)=(x-当2>|，所以0<f(x)4，即f(x)

4

的最大值为鼻.

3.函数f(x)=-x+：在［-2,局上的最大值是()

38

AA.2B.-

C.-2D.2

选A.因为f(x)=-x+;在，2,-|上单调递减，

所以f(X)max=f(-2)=2-1=|.

4.当0<x<2时，av-x2+2x恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,1］B,(-8,0］

C.(-ooz0)D.(0,+oo)

选C.令f(x)=-x2+2x,则f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1.又因为

x£［0,2］,所以f(x)min=f(0)=f(2)=0.所以a<0.

X+7,x£[-1,1),

5.函数f(x)=]则f(x)的最大值、最小值分别

2x+6,x£[1,2],

为()

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

选A.当-1<X<1时,6<x+7<8,当l<x<2时,8<2x+6勺0.所以f(x)min

=f(-D=6,f(x)max=f(2)=10.

-x+a,x<0)

6.(2021.哈尔滨高一检测)设f(x)=\i若f(0)是f(x)的

x+-,x>0,

最小值，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,2]B.(-co,2)

C.(2z+oo)D.[2,+co)

选A.由题意，当x>0时,f(x)的最小值为f(l)=2,当x<0时,f(x)的

最小值为f(0)=a.若f(0)是f(x)的最小值，则a<2.

二、多选题

2x4-I

7.已知函数f(x)=——，x£[-8,-4)，则下列说法正确的是()

x-1

A.f(x)有最大值|

7

B.f(x)有最小值为5

c.无最小值

D.f(x)有最大值2

2x+13

选AC.f(x)=-----=2+——，它在［-8,-4)上单调递减，因此有

x-1x-1

最大值f(-8)=|,无最小值.

8.已知函数f(x)=X?-2x+2,关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其

中正确的是()

A.f(x)在区间［-1,0］上的最小值为1

B.f(x)在区间［-1,2］上既有最小值，又有最大值

C.f(x)在区间［2,3］上有最小值2,最大值5

D.当0<a<l时,f(x)在区间［0,a］上的最小值为f(a),当a>l时，f(x)

在区间［0,a］上的最小值为1

选BCD.函数f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1的图象开口向上,对称轴

为直线x二L

在选项A中，因为f(x)在区间［-1,0］上单调递减，所以f(x)在区间［-

1,0］上的最小值为f(0)=2,A错误；

在选项B中，因为f(x)在区间［-1,1］上单调递减，在［1,2］上单调

递增，所以f(x)在区间［-1,2］上的最小值为f(l)=l,又因为f(-l)

=5,f⑵=2,f(-l)>f⑵,所以f(x)在区间［-1,2］上的最大值为f(-

1)=5,B正确；

在选项C中，因为f(x)在区间［2,3］上单调递增，所以f(x)在区间［2,

3］上的最小值为f(2)=2,最大值为f(3)=5,C正确；

在选项D中，当0<a<l时,f(x)在区间［0,a］上单调递减，f(x)的最小

值为f(a)，当a>l时，f(x)在区间［0,a］上的最小值为1,D正确.

三、填空题

9,函数f(x)=2x-加+I的最小值为.

因为f(x)=J(x+1)-宗/x+1-2

所以f(X)min={-H17

¥,

口•8

10.对于函数f(x),在使f(x)>M恒成立的所有实数M中，我们把M

2

的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界,则对于aeRzf(a)=a-4a+

6的下确界为.

f(a)=a2-4a+6,f(a)>M,

即f(a)mi„>M.

而f(a)=(a-2>+2,所以f(a)min=f(2)=2.

所以MW2.所以Mmax=2.

答案：2

四、解答题

_1?

11.已知函数f(x)=5x2+------.

求函数f(x)在区间［-3,-1］上的最值.

设X1,X2是［-3,・1］上的任意两个值,

2

=(X1-X2)5(X]+x2)-],

(Xi-1)(X2-1)

又由-3WX1<X2W-1,得Xi-X2<0,-6<X1+x2<-2,4<(X1-l)(x2

—

则有:(XI+X2)-(Xi：、一)

<0,

贝！I有f(Xl)-f(X2)>0,

故函数f(x)在区间[-3,7]上是减函数,

故f(X)max=f(-3)=4,

f(X)min=f(-1)=-2-

12.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),对称轴为直线x=2,且

f(0)=l.

⑴若函数f(x)的最小值为-1,求f(x)的解+析式；

(2)函数f(x)的最小值记为g(a),求函数H(a)=a.g(a)的最大值.

⑴因为f(x)的对称轴为直线x=2,

所以一卷=2,贝(Jb=-4a.

又f(0)=1,所以c=1.

所以f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a,

因为a>0,所以当x=2时f(x)有最小值1-4a=-1,

所以a，所以f(x)=3x2-2x+1.

(2)由⑴知f(x)=ax2-4ax+1=a(x-2)2+1-4a.

所以g(a)=f(2)=1-4a.

所以H(a)=a(l-4a)=-41a-gJ，

a£(0,+oo),

所以H(a)的最大值为七.

综合突破练

一、单选题

1.已知a>|,则函数f(x)=x2+|x-a的最小值是()

、3

A.a2+1B.a+a

八1rl

C.a-2D.a-

选D.函数f(x)=x2+|x-a|二

x2+x-ax>a,

<z

x2-x+a,x<a,

当xNa>；时，函数f(x)=x2+x-a的对称轴方程为x=,

LJ

函数在［a,+oo)上是增函数，其最小值为a2；

当x<a时，f(x)=x?-x+a的对称轴方程为x=1，当x=;时函数

求得最小值为a-1.

D1rz12

为

因2_2+>O

aa-aa4--a-

k

4J,2J

1

以

所2-

aa4

所以函数f(x)=x2+|x-a的最小值是.

_31

2.对任意x£R,函数f(x)表示-x+3,/x+1,x2-4x+3中的最

大者，则f(x)的最小值为()

A.2B.3C.4D.5

31

+3-+

选A.分别作出y=X2X2-,y=x2-4x+3的图象如图(阴

影部分边界对应的曲线为ABCDE),

则由图象可知函数f(x)在C处取得最小值，

y=-x+3,rx=11

由j31得,

y=2x+2'［y=2，

即f(x)的最小值为2.

二、多选题

3.下列关于函数y=ax+1,xe［O,2］的说法正确的是()

A.当a<0时，此函数的最大值为1,最小值为2a+l

B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1,最小值为1

C.当a>0时，此函数的最大值为1,最小值为2a+1

D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1,最小值为1

选AD.当a<0时，函数y=ax+1在区间［0,2］上是减函数，

当x=0时，函数取得最大值为1;当x=2时，函数取得最小值为2a

+1.

当a>0时，函数y=ax+1在区间［0,2］上是增函数，当x=0时，函

数取得最小值为1,当x=2时，函数取得最大值为2a+l.

三、填空题

匕，x21,

4.函数f(x)二r的最大值为.

当X>1时,函数f(x)=;为减函数，所以f(x)在X=1处取得最大值，

为f(l)=1；当X<1时易知函数f(x)=-X?+2在X=0处取得最大值,

为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.

答案：2

5.对于任意的实数Xi,x2,min{xi,X2}表示xj,x2中较小的那个数,

若f(x)=2-x2,g(x)=x，则集合{x|f(x)=g(x)}=；min{f(x),

g(x)}的最大值是_______.

由题作出函数f(x),g(x)的图象,

令f(x)=g(x),即2-x2二x,

解得x=-2或x=1,

则集合{x|f(x)=g(x)}={-2,1},

由题意及图象得

2-x2,x<-2,

min{f(x),g(x)}二<x,-2<x<lz

^2-x2,x>l,

由图象知，当x=1时，min{f(x),g(x)}最大，最大值是1.

答案：{-2,1}1

6.已知函数f(x)=x2・6x+8,x£[1,a],且函数f(x)的最小值为f(a),

则实数a的取值范围是_______.

【解题指南】利用对称轴与区间的关系求范围.

因为函数f(x)=x2-6x+8的图象的对称轴为直线x=3,且在区间[1,

a]±,f(x),nin=f(a),所以aW3又a>l,所以l<a<3.

答案：(1,3]

7.对于函数f(x)=x2+2x,在使f(x)>M成立的所有实数M中,我们

2

把M的最大值Mmax=-1叫做函数f(x)=x+2x的下确界，则对于

R,且a，0,a2-4a+6的下确界为.

a2-4a+6=(a-2)2+2>2,

则a2-4a+6的下确界为2.

答案：2

四、解答题

_3

8,已知函数f(x)=;-----,g(x)=x-1.

2x-1

⑴求解不等式f(x)Ng(x).

(2)若x>2，求y=3f(x)+2g(x)的最小值.

⑴当x>|时，由f(x)>g(x)，得(2x-l)(x-1)<3,解得g<x<2.

当x<1时,由f(x)>g(x),得(2x-l)(x-1)>3，解得心-g.

所以不等式f(x)zg(x)的解集为｛x|；Vxg2或烂.

⑵因为y=3f(x)+2g(x),x>2,

9(

所以3f(x)+2g(x)=p；+2x

2x-5

\L)

(n2।

当且仅当《x-9=9,即X=2(负值舍去)时取等号，故当x>2时,

函数y=3f(x)+2g(x)的最小值为5.

9.已知函数f(x)=ax?+2x+c(a,c£N*),满足：

©f(l)=5；(2)6<f(2)<ll.

⑴求a,c的值.

(2)设g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|,求g(x)的最小值.

(l)f(l)=a+2+c=5,f(2)=4a+4+c£(6,11),

所以c=5-2-a=3-a,

所以4a+4+3-a=3a+7e(6,11),

14

所以，

又a《N*,所以a=1,c=2.

(2)因为f(x)=x2+2x+2,

所以g(x)=f(x)-2x-3+|x-1|=x2+2x+2-2x-3+|x-11=x2+|x

-II-1,

当X>1时,g(x)=X2+X-2,

此时g(x)在［1,+8)上是增函数，

所以g(x)min=g(l)=1+1-2=0,

2

当X<1时，g(x)=X-X/g(x)在(-8,g)上是减函数,在年,1)上

是增函数，

所以g(X)min=g1)二~2~~41

又-;<0,所以g(X)min=g^J=.

为素养培优练《

(60分钟100分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得3分，有选错的得0分)

1.如果函数f(x)=x2+2(a-l)x+2在区间［4,+8)上单调递增,那

么实数a的取值范围是()

A.a<-3B.a>-3

C.a<5D.a>5

_2(a-1)

选B屈数收)=*2+23-1双+2的对称轴是乂==1-

a,开口向上，

所以f(x)=x2+2(a-l)x+2SE[1-a,+8)上单调递增,若f(x)=x2+

2(a-l)x+2在区间[4,+oo)上单调递增，则1・a",解得a>-3.

2.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，A(0,1),B(2,-1)是

其图象上的两点，则不等式|f(x-1)|>1的解集为()

A.(-1,1)

B.(-8,-1)U(1,+oo)

C.(1,3)

D.(-oo,1)U(3,+oo)

选D.据题意知,f(0)=lrf(2)=-1,

因为f(x)是R上的单调函数，

所以f(x)在R上单调递减，所以由|f(x-1)|>1得，

f(x-l)<f⑵或f(x-l)>f(0),

所以x-1>2或x-1<0,解得x>3或x<l,

所以原不等式的解集为(・8,1)U(3,+8).

3.设(a,b),(c,d)都是f(x)的单调递增区间，且x1£(a,b),X2《(c,

d),X|<X2,则f(x。与f(X2)的大小关系为()

A,f(xi)<f(x2)B.f(xi)>f(x2)

c.f(xi)=f(x2)D.不能确定

选D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间

内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题

中的X1,X2不在同一单调区间内，所以f(X|)与f(X2)的大小关系不能

确定.

4.函数y='的单调减区间是()

x-1

A.(-00,1),(1,+8)

B.(-00,1)U(1,+00)

C.{x£R|xrl}

D.R

选A.单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C,D不

对，B表达不当.

5.定义在(0,+8)上的函数f(X)满足：对于定义域上的任意X】，X2,

X2f(X))-Xjf(X2)

当X/X2时，恒有二--------------->0,则称函数f(X)为“理想函

X1-X2

数1给出下列四个定义域为(0,+8)的函数：

①f(x)=1；②f(x)=X2；③f(x)=m；

④f(x)=X2+X；

能被称为“理想函数”的有个.()

A.0B.1C.2D.3

选C.依题意，定义在(0,+⑹上的函数f(x)满足：对于定义域上的任

、_X2f(Xi)-Xif(X2)

意Xi,X2,当X#X2时，恒有>0,

Xi-X2

不妨设Xi>X2>0,可得x2f(xi)-Xif(X2)>0,

即X2f(Xi)>Xif(X2),

f(X])f(X2)

>

即X|X2;

f(X)

所以函数y=在(0,+8)上单调递增.

A.

f(X)

即f(x)为“理想函数，的等价条件是函数y=一^在(0,+8)上单调

A

递增.

f(X)1

①y二一--="(x>0)在(0,+8)上单调递减,不符合；

AA

f(x)

②y二一;—=x(x>o)在(0,+8)上单调递增，符合；

X.

f(X)1

③丫二一-一二近(x>0)在(0,+8)上单调递减，不符合；

f(X)、

@y=—;—=x+i(x>o)在(0,+8)上单调递增，符合.综上所述，

A

②④符合题意.

6.(2021・济南高一检测)已知函数f(x)二

-x2+2x-1x<]

一’’若f(a2-4)>f(3a),则实数a的取值范围是

|x-1|,x>1,

()

A.(-4,1)

B.(-8,-4)U(1,+oo)

C.(-1,4)

D.(-oo,-1)U(4,+oo)

-x2+2x-1x<]

选D.作出f(x)=〈’-'的图象如图，

可知f(x)在R上单调递增，若f(a2-4)>f(3a),

则a2-4>3a,解可得a>4或a<-1.

x2+3x+4

7.(多选)(2021.镇江高一检测)已知函数f(x)=一--,对于任意

A

X2时下列说法正确的是()

A.函数最小值为7

23

B.函数最小值为号

C.函数最大值为7

D,没有最大值

x2+3x+44

选AD.由题意可知，f(x)=-=x+-+3,

AA.

由对勾函数可知，函数f(x)同3,2］上单调递减，在［2,+8)上单调

递增，

所以当x=2时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(2)=7,没有最大

值.

8.(多选)下列结论正确的是()

A.y二；在定义域内不是单调递减函数

B.若f(x)在区间［0,2］上满足f(0)<f(2),则f(x)在［(),2］上是单调递

增的

C.若f(x)在区间［0,3］上单调递减，则f(x)在(1,2)上单调递减

D.若f(x)在区间(1,2),［2,3］上分别单调递减，则f(x)在(1,3］±

单调递减

4

选AC.选项A,y=；在(-8,0),(0,+8)上分别单调递减，但在定

义域内不是单调递减函数，故A正确；

选项B,如函数y=x(x-1)满足f(0)<f(2)，但在［0,2］上不是单调递

增，故B不正确；

选项C,(1,2)c[0,3],故C正确；

1-x,l<x<2,

选项D,如函数y=SK在区间(1,2),[2,3]上分别单

2-2/2<x<3,

调递减，但在(1,3]上不单调递减，故D不正确.

9.侈选)已知f(x)是定义在R上的增函数，则下列结论中不正确的是

()

A.y=[f(x)F是增函数

B.y=--L—(f(x)*O)是减函数

f(x)

C.y二-f(x)是减函数

D.y=|f(x)|是增函数

选ABD.设f(x)=x,在R上递增.

对于A选项，y=x2在(-8,0)上递减，故A选项结论错误.

对于B选项，y4在(-刃，0)和(0,+8)上递减，但不能说y二1是

AA.

减函数，故B选项结论错误.

对于C选项，y=-x是减函数.证明一般性：由于f(x)是定义在R

上的增函数，根据复合函数单调性同增异减可知y=-f(x)是R上的

减函数.故C选项结论正确.

对于D选项，y=|x|在(-oo,0)上递减，故D选项结论错误.

二、填空题(每小题5分，共15分)

X24-1,X>0,

I。.已知函数的=7"二<。则付的单调递增区间是

当x>0时,f(x)=x2+1在［0,+8)上单调递增，且f(0)=1,当x<0

时，f(x)=-x2+1在(-00,0)上单调递增,且X—0时,f(0)Tl,所

以函数f(x)在(-8,+8)上单调递增.

答案：(-8,+00)

11.当X£(1,2)时，不等式x2+mx+4<0恒成立，则m的取值范围

是________•

设f(x)=X?+mx+4,贝uf(x)图象开口向上，对称轴为x=-y.

⑴当一号口时，即m42时，

满足f(2)=4+2m+4《)，

所以m<-4,

又mN-2,所以此时无解.

⑵当-T,即mW-4时，

需满足f⑴=l+m+400,

所以m<-5,

又mW-4,所以m<-5.

⑶当1<-y<2,即-4<m<-2时，

「-4<m<-2,

需满足<f(1)=1+m+4<0,此时无解.

J(2)=4+2m+4<0,

综上所述,m<-5.

答案：m<-5

12.已知f(x)是定义在(-g,0］上的增函数，且f(-2)=3，则满足f(2x

-3)v3的x的取值范围是________.

由题意知，f(2x-3)<f(・2),

因为f(x)ffi(-co,0］上是增函数，

则2x-3<-2,解得x<1.

答案：x<|

三、解答题(每小题10分，共40分)

13.已知函数f(x)=4x2-mx+1在(-8,-2)上递减，在［-2,+oo)

上递增，求f(x)在［1,2］上的值域.

因为f(x)在(-8,-2)上递减，在［-2,+8)上递增，

所以函数f(x)=4x2-mx+1的对称轴x建=-2,BPm=-16.

又［1,2归［-2,+8),且又)在［-2,+8)上递增,所以f(x)在［1,

2］上递增,

所以当X=1时，所)取得最小值f(l)=4-m+1=21；

当x=2时，f(x)取得最大值f(2)=16-2m+l=49所以f(x)在［1,2］

上的值域为［21,49］.

14.已知函数f(x)=;x2-ax-1,xe［-2,4］.

⑴若函数f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；

(2)当a=1时,求函数f(x)的最大值；

⑶对a分类讨论，求函数f(x)的最小值g(a)的表达式.

⑴由题意知，函数对称轴为x=a,因为f(x)在定义域内是单调函数,

所以对称轴x=aE(-2,4),即它-2或吟4.

⑵当a=1时，f(x)=gX?-x-1,对称轴x=1z则函数在定义域内

先减后增，