2024-2025学年高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE平面对量的实际背景及基本概念(15分钟30分)1.若a,b为非零向量且a∥b,则下列说法错误的是 ()A.a=bB.a,b方向相同或相反C.a,b共线D.a,b都与零向量共线【解析】选A.因为两个非零向量平行,即它们的方向相同或相反,也叫共线向量,但它们的长度不肯定相等,故两向量不肯定相等,它们都与零向量共线.2.如图,在四边形ABCD中,=,则相等的向量是 ()A.与B.与C.与D.与【解析】选D.由=知四边形ABCD是平行四边形.由平行四边形的性质知,||=||,且方向相同.3.如图,△ABC和△A′B′C′是在各边的QUOTE处相交的两个全等的等边三角形,设△ABC的边长为a,图中列出了长度均为QUOTE的若干个向量,则(1)与向量相等的向量有.

(2)与向量共线,且模相等的向量有.

(3)与向量共线,且模相等的向量有.

【解析】向量相等⇔向量方向相同且模相等.向量共线⇔表示与有向线段所在的直线平行或重合.答案:(1),(2),,,,(3),,,,4.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.

【解析】因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又因为m∥且m∥,所以m=0.答案:0【补偿训练】在四边形ABCD中,=且||=||,则四边形的形态为.

【解析】因为=,所以ABDC.所以四边形ABCD是平行四边形.又||=||,即AB=AD,所以该四边形是菱形.答案:菱形5.如图所示,在长、宽、高分别为AB=3,AD=2,AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1(1)单位向量共有多少个?(2)试写出模为QUOTE的全部向量.(3)试写出与相等的全部向量.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以向量,,,,,,,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左右两侧的对角线长均为QUOTE,故模为QUOTE的向量有,,,,,,,,共8个.(3)与向量相等的全部向量(除它自身之外)共有,及共3个.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在平面内,已知点O固定,且||=2,则A点构成的图形是 ()A.一个点 B.一条直线C.一个圆 D.不能确定【解析】选C.由于||=2,所以A点构成一个以O为圆心,2为半径的圆.2.如图所示,在菱形ABCD中∠DAB=120°,则以下说法错误的是 ()A.与相等的向量只有一个(不含)B.与的模相等的向量有9个(不含)C.的模恰为的模的QUOTE倍D.与不共线【解析】选D.与相等的向量只有;在菱形ABCD中,AC=AB=BC=CD=DA,每一条线段可得方向相反的两个向量,它们的模都相等,故有5×2-1=9(个);计算得DO=QUOTEDA,所以BD=QUOTEDA,即||=QUOTE||;由AD∥BC知与共线,故D错误.3.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点,则的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】选C.因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.4.已知在边长为2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,则||= ()A.1 B.QUOTE C.2 D.2QUOTE【解析】选D.易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,设AC与BD交于点O,则AO=QUOTEAB=1.在Rt△ABO中,易得||=QUOTE,则||=2||=2QUOTE.【补偿训练】下列说法中正确的是 ()A.||=||B.对任一向量a,|a|>0总是成立的C.||与线段BA的长度不相等D.若a∥b,且|a|=1009,|b|=1011,则|a+b|=2020【解析】选A.A正确;|0|=0,对任一向量a,|a|≥0总成立,所以B不正确;||与线段BA的长度相等,所以C不正确;对于D,当a与b方向相反时,|a+b|=2,故D不正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.有下列说法:①若a≠b,则a肯定不与b共线;②若a=b,b=c,则a=c;③共线向量是在一条直线上的向量.其中,正确的说法是.

【解析】对于①,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故①不正确;对于②,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故②正确;对于③,共线向量可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线相互平行的向量,故③不正确.答案:②6.如图,四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.(1)与向量相等的向量有.

(2)若||=3,则向量的模为.

【解析】(1)在平行四边形ABCD和ABDE中,=,=,所以=.(2)由(1)知=,所以||=||+||=2||=6.答案:(1),(2)6【补偿训练】假如在一个边长为5的正△ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为.

【解析】依据题意,在正△ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高,为QUOTE.答案:QUOTE三、解答题7.(10分)设在平面内给定一个四边形AB