2025版高中数学一轮复习课时作业梯级练七十三概率与统计的综合问题课时作业理含解析新人教A版

PAGE课时作业梯级练七十三概率与统计的综合问题1．(2024·抚顺模拟)某中学有老师400人，其中中学老师240人．为了了解该校老师每天课外熬炼时间，现利用分层抽样的方法从该校老师中随机抽取了100名老师进行调查，统计其每天课外熬炼时间(全部老师每天课外熬炼时间均在[0，60]分钟内)，将统计数据按[0，10)，[10，20)，[20，30)，…，[50，60]分成6组，制成频率分布直方图如图：假设每位老师每天课外熬炼时间相互独立，并称每天熬炼时间小于20分钟为缺乏熬炼．(1)试估计本校老师中缺乏熬炼的人数；(2)若从参与调查，且每天课外熬炼时间在[50，60]内的该校老师中任取2人，求至少有1名初中老师被选中的概率．【解析】(1)由题意可得样本中初中老师缺乏熬炼的频率为(0.015＋0.020)×10＝0.35，样本中中学老师缺乏熬炼的频率为(0.010＋0.040)×10＝0.5，估计该校老师中缺乏熬炼的人数为160×0.35＋240×0.5＝56＋120＝176.(2)由题意可知，参与调查的初中老师每天课外熬炼时间在[50，60]的人数为40×0.05＝2，记为a，b；中学老师每天课外熬炼时间在[50，60]的人数为60×0.05＝3，记为D，E，F.从这5人中选取2人的状况有(a，b)，(a，D)，(a，E)，(a，F)，(b，D)，(b，E)，(b，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共10种；其中符合条件的状况有(a，b)，(a，D)，(a，E)，(a，F)，(b，D)，(b，E)，(b，F)，共7种．故至少有1名初中老师被选中的概率为p＝eq\f(7,10).2．依据以往的阅历，某建筑工程施工期间的降水量N(单位：mm)对工期的影响如表：降水量NN＜400400≤N＜600600≤N＜1000N≥1000工期延误天数X0136依据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如图所示．(1)求这20天的平均降水量；(2)依据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数X＝0，1，3，6的概率．【解析】(1)这20天的平均降水量为eq\x\to(N)＝eq\f(1,20)×(380＋350×2＋700＋1100＋120×2＋450＋500×5＋850＋1200＋240＋300)＝eq\f(8660,20)＝433(mm).(2)因为N＜400mm的天数为10，所以X＝0的频率为eq\f(10,20)＝0.5，故估计X＝0的概率为0.5.因为400mm≤N＜600mm的天数为6，所以X＝1的频率为eq\f(6,20)＝0.3，故估计X＝1的概率为0.3.因为600mm≤N＜1000mm的天数为2，所以X＝3的频率为eq\f(2,20)＝0.1，故估计X＝3的概率为0.1.因为N≥1000mm的天数为2，所以X＝6的概率为eq\f(2,20)＝0.1，故估计X＝6的概率为0.1.3．(2024·潍坊模拟)区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术、区块链作为构造信任的机器，将可能彻底变更整个人类社会价值传递的方式，2015年至2024年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表．年份20152024202420242024编号12345企业总数量y(单位：千个)2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据eq\i\su(i＝1,5,y)i＝74.691，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝312.761，eq\i\su(i＝1,5,z)i＝10.980，eq\i\su(i＝1,5,x)izi＝40.457(其中z＝lny).附：样本(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的最小二乘法估计公式为＝＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝－．(1)依据表中数据推断，y＝a＋bx与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)，哪一个回来方程类型相宜预料将来几年我国区块链企业总数量？(给出结果即可，不必说明理由)(2)依据(1)的结果，求y关于x的回来方程(结果精确到小数点后第三位)；(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部确定进行一次信息化技术竞赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．竞赛规则如下：①每场竞赛有两个公司参与，并决出输赢；②每场竞赛获胜的公司与未参与此场竞赛的公司进行下一场的竞赛；③在竞赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次竞赛结束，该公司就获得此次信息化竞赛的“优胜公司”，已知在每场竞赛中，甲胜乙的概率为eq\f(1,3)，甲胜丙的概率为eq\f(3,5)，乙胜丙的概率为eq\f(1,2)，请通过计算说明，哪两个公司进行首场竞赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【解析】(1)选择回来方程y＝cedx，相宜预料将来几年我国区块链企业总数量；(2)对y＝cedx两边取自然对数，得lny＝lnc＋dx，令z＝lny，a＝lnc，b＝d，得z＝a＋bx.由于eq\i\su(i＝1,5,x)i＝15，＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝3，＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,z)i＝2.196，因为＝＝eq\f(40.457－5×3×2.196,55－5×32)≈0.752，＝－＝2.196－0.752×3＝－0.060.所以z关于x的回来方程为＝0.752x－0.060，则y关于x的回来方程为＝e0.752x－0.060；(3)对于首场竞赛的选择有以下三种状况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛．由于在每场竞赛中，甲胜乙的概率为eq\f(1,3)，甲胜丙的概率为eq\f(3,5)，乙胜丙的概率为eq\f(1,2)，则甲公司获胜的概率分别是P(A)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(13,45)；P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,25)；P(C)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).由于eq\f(9,25)＞eq\f(13,45)＞eq\f(1,5)，所以甲与丙两公司进行首场竞赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大．【加练备选·拔高】(2024·赣州模拟)2024年是全面建成小康社会目标实现之年,也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有500户,结合当地实际状况实行多项精准扶贫措施,每年新脱贫户数如表:年份20152024202420242024年份代码x12345脱贫户数y55688092100(1)依据2015-2025年的数据,求出y关于x的线性回来方程y=x+,并预料到2024年底该乡镇500户贫困户是否能全部脱贫;(2)2024年的新脱贫户中有20户五保户,20户低保户,60户扶贫户.该乡镇某干部准备依据分层抽样的方法对2024年新脱贫户中的5户进行回访,了解生产生活、帮扶工作开展状况.为防止这些脱贫户再度返贫,随机抽取这5户中的2户进行每月跟踪帮扶，求抽取的2户不都是扶贫户的概率．参考公式：＝＝，＝－．【解析】(1)eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝1×55＋2×68＋3×80＋4×92＋5×100＝1299，＝3，＝eq\f(55＋68＋80＋92＋100,5)＝eq\f(395,5)＝79，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝1＋4＋9＋16＋25＝55，＝eq\f(1299－5×3×79,55－5×32)＝eq\f(114,10)＝11.4，＝－＝79－11.4×3＝44.8，所以y关于x的线性回来方程为＝11.4x＋44.8.当x＝6时，＝11.4×6＋44.8＝113.2.即预料2024年一年内该乡镇有113户贫困户脱贫．所以预料6年内该乡镇脱贫总户数有55＋68＋80＋92＋100＋113＝508＞500.即预料到2024年底该乡镇500户贫困户能全部脱贫；(2)由题意可得：按分层抽样抽取的5户贫困户中，有1户五保户a，1户低保户b，3户扶贫户c，d，e.从这5户中任选2户，共有10种状况：(ab)，(ac)，(ad)，(ae)，(bc)，(bd)，(be)，(cd)，(ce)，(de)，记2户不都是扶贫户为事务A，则事务eq\x\to(A)共有3种状况：(cd)，(ce)，(de).所以P(eq\x\to(A))＝eq\f(3,10)，则P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).故抽取的2户不都是扶贫户的概率为eq\f(7,10).4．随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中．国家统计局数据显示，2024年有4亿国人常常参与体育熬炼．某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2024年在该健身房全部消费金额(单位：元)进行统计，得到统计表及统计图：平均每周健身天数不大于23或4不少于5人数(男)20359人数(女)10206若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”．该健身房规定消费金额不多于1600元的为一般会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员．(1)已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？(3)该健身机构在2024年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：方案一：按分层抽样从一般会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别赐予188元，288元，888元的幸运嘉奖；方案二：每位会员均可参与摸奖嬉戏，嬉戏规则如下：摸奖箱中装有5张形态、大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元嘉奖，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元嘉奖，其他状况不赐予嘉奖．规定每个一般会员只能参与1次摸奖嬉戏，每个银牌会员可参与2次摸奖嬉戏，每个金牌会员可参与3次摸奖嬉戏(每次摸奖结果相互独立).请你比较该健身房采纳哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由．附：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.500.250.100.050.0100.005k00.4551.3232.7063.8416.6357.879【解析】(1)由题表可知，健身达人共有9＋6＝15(人)，由题干直方图可知，金牌会员共有8＋4＝12(人)，所以从健身达人中随机抽取2人，他们均是金牌会员的概率为eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(15)))＝eq\f(22,35).(2)由题表中的数据可制作如下的2×2列联表，是健身达人不是健身达人总计男95564女63036总计1585100所以K2的观测值k＝eq\f(100×（9×30－55×6）2,64×36×15×85)＝eq\f(25,204)≈0.123＜3.841，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系．(3)方案一：25位“幸运之星”中，一般会员人数为25×eq\f(6＋22,100)＝7(人)，银牌会员人数为25×eq\f(25＋35,100)＝15(人)，金牌会员人数为25×eq\f(8＋4,100)＝3(人)，所以健身房的支出为7×188＋15×288＋3×888＝8300(元)；方案二：每次摸卡片，摸到动感单车的概率为eq\f(2,5)，设参与一次嬉戏获得的嘉奖金为X，则X的可能取值为0，100，200，P(X＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(