2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.3函数的奇偶性课时跟踪训练含解析新人教B版必修第一册

PAGE函数的奇偶性一、复习巩固1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必定经过点()A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(eq\f(1,a)))答案：C2．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的全部实根之和是()A．4 B．2C．1 D．0答案：D3．下列说法正确的是()A．假如一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．假如一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．假如一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．假如一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数为奇函数答案：B4．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，则f(－1)＝()A．－2 B．0C．1 D．2解析：∵f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.答案：A5．下列函数中，偶函数是()A．f(x)＝|x＋1|B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x3D．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|解析：由偶函数定义知f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函数．答案：D6．函数f(x)＝eq\f(x,1＋|x|)的图像()A．关于y轴对称 B．关于原点对称C．关于y＝x对称 D．关于y＝－x对称解析：f(－x)＝eq\f(－x,1＋|－x|)＝eq\f(－x,1＋|x|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图像关于原点对称．答案：B7．已知f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，则x<0时，f(x)等于()A．－x(1＋x) B．x(1＋x)C．－x(1－x) D．x(1－x)解析：设x<0，则－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．答案：B8．下面四个命题：①偶函数的图像肯定与y轴相交；②奇函数的图像肯定通过原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数肯定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：偶函数的图像关于y轴对称，但不肯定与y轴相交，如y＝eq\f(1,x2)，故①错误，③正确．奇函数的图像关于原点对称，但不肯定经过原点，如y＝eq\f(1,x)，故②错误．若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)，其定义域为{－1,1}，故④错误．故选A.答案：A9．若奇函数f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[－7，－3]上有()A．最小值5 B．最小值－5C．最大值－5 D．最大值5解析：当3≤x≤7时，f(x)≥5，设－7≤x≤－3，则3≤－x≤7，又∵f(x)是奇函数．∴f(x)＝－f(－x)≤－5.答案：C10．已知f(x)是奇函数，F(x)＝x2＋f(x)，f(2)＝4，则F(－2)＝________.解析：∵f(x)是奇函数且f(2)＝4，∴f(－2)＝－f(2)＝－4.∴F(－2)＝f(－2)＋(－2)2＝－4＋4＝0.答案：0二、综合应用11．y＝x＋eq\f(1,x)的大致图像是()解析：设f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．又x>0时，x>0，eq\f(1,x)>0，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)>0.答案：B12．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：D13．已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是________．解析：本题是利用函数的单调性比较函数值的大小．当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小．因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，所以f(－2)＜f(3)＜f(－π)．答案：f(－2)＜f(3)＜f(－π)14．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴图像关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图像如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.答案：(－1,3)15．已知函数f(x)和g(x)满意f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1解析：∵f(－1)＝2g(－1)∴g(－1)＝eq\f(7,2)，又∵g(x)为奇函数，∴g(－1)＝－g(1)．∴g(1)＝－g(－1)＝－eq\f(7,2)，∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))＋1＝－6.16．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)试推断f(x)的奇偶性；(2)若－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，求f(x)的最小值．解析：(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时，f(x)为偶函数．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此时，f(x)为非奇非偶函数．(2)当x≤a时，f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋a＋eq\f(3,4)；∵a≤eq\f(1,2)，故函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，从而函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1.当x≥a时，函数f(x)＝x2＋x－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co