专题6.7A字型相似三角形综合问题大题专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年九年级数学下册尖子生培优题典

20212022学年九年级数学下册尖子生培优题典【苏科版】专题6.7A字型相似三角形综合问题大题专项提升训练（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、解答题（共24题）1．（2022·安徽·合肥市第三十中学九年级期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高．求证：△【答案】见详解【分析】先证明△ACE∽△ABD，即有AEAD【详解】∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠AEC∵∠A∴△ACE∴AEAD又∵∠A∴△ACB【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2021·江苏·九年级）在△ABC中，AB=mm>0，D为AB上一点，过D作DE∥BC交AC于点E，连接CD【答案】0<【分析】作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，首先结合相似三角形的判定与性质推出DEBC和GF【详解】解：如图所示，作AG⊥BC于F点，交DE于G点，设AD=x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC∴GFAF∴S2整理得：S2∵点D在AB上，m>0∴0<x<m∴抛物线S2S1的开口向下，且当x=m当x=0和x=m综上分析，S2S1【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质运用等，掌握相似三角形的判定与性质推出相关线段的比例，以及熟练运用二次函数的性质分析是解题关键．3．（2021·辽宁丹东·九年级期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的29（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．【答案】（1）t1=4，t2=2；（2）t【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，∴△AMN的面积＝12AN•AM＝12×（12﹣2t）×t＝6t﹣t∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm∴△ABD的面积为12AB•AD＝12×6×12＝∵△AMN的面积是△ABD面积的29∴6t﹣t2＝29∴t2﹣6t+8＝0，解得t1＝4，t2＝2，答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的29（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，若△AMN∽△ABD，则有AMAB=AN解得t＝3，若△AMN∽△ADB，则有AMAD=AN解得t＝245答：当t＝3或245时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键．4．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求证：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得ADBD=AE（2）由（1）及题意可知ADBD=AFEF=【详解】解：（1）∵DE∥BC，∴ADBD∵AFFE∴AFFE∴DF∥BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，ADBD=AFEF∵AB＝63，∴AD=∴AEAB∴AEAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．5．（2021·全国·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵S∴BC∵AC∴S∴BH又∵DE∥AC∴DE∴x52设正方形的边长为x米，如图乙∵DE∥AB∴DE∴x1.5=∵6∴乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．6．（2021·全国·九年级专题练习）如图，Rt△APE，∠AEP＝90°，以AB为直径的⊙O交PE于C，且AC平分∠EAP．连接BC，PB：PC＝1：2．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为52，求AP【答案】（1）见解析；（2）20【分析】（1）连接OC，由AC平分∠EAP，得到∠DAC＝∠OAC，由等腰三角形的性质得到∠CAO＝∠ACO，等量代换得到∠DAC＝∠ACO，根据平行线的性质得到∠E＝∠OCP＝90°，于是得到结论；（2）设PB＝x，PC＝2x，根据勾股定理得到PC=103，PB=5【详解】解：（1）连接OC，∵AC平分∠EAP，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴AE∥OC，∴∠E＝∠OCP＝90°，∵OC是圆O的半径∴PE是⊙O的切线；（2）∵PB：PC＝1：2，∴设PB＝x，PC＝2x，∵OC2+PC2＝OP2，即（52）2+（2x）2＝（52+x∴x=5∴PC=103，PB∴AP=20【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，熟记切线的判定是解题的关键．7．（2021·山东·嘉祥县马集镇中学九年级阶段练习）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似【答案】（1）3秒或5秒；（2）S=20t-4t【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（204t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts，则CP=（204t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；（3）分①Rt△CPQ∽Rt【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（204t）cm，在Rt△CPQ中，CP即20-4t∴t=3秒或t（2）由题意得AP=4t，CQ=2因此Rt△CPQ的面积为（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，因此t=3或t=4011时，以点C、P、【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．8．（2022·山东东营·三模）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，连接AC，将三角形ABC沿AC翻折，使B点落在E点处，连接EC，AE，AE交DC于F点．(1)求DF的长．(2)若将△CEF沿着射线CA方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点C沿CA方向所经过的线段长度）．当点F平移到线段AD上时，如图②，求出相应的m的值．(3)如图③，将△CEF绕点C逆时针旋转一个角a（0°＜a＜∠ECB），记旋转中的△CEF为△CE′F′，过E′作E′G⊥AD于G点，在旋转过程中，当△DCE′为等腰三角形时，求出线段E′G的长度．【答案】(1)7(2)35(3)4或23【分析】（1）利用矩形性质、折叠性质找出DF、AF之间关系，利用勾股定理解RtΔADF（2）利用平移性质、平行线性质，ΔADC、Δ（3）分DE'=CE'（1）解：（1）如图①，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=6，∴AB‖CD，∠由折叠可知∠1=∠2，又∵AB‖CD∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AF=CF，设AF=CF=x，则DF=8-x在RtΔADF中，AD=6，AF=x，由勾股定理得：62+解得x=则DF=8-25（2）设平移中的三角形为△C'E'由勾股定理得：AC=A由（1）知CF=由平移性质可知，CD//C'F∴∠DCA又∠DAC∴Δ∴C∴25解得AC'=∴m（3）①当DE'=CE'时，△E'在DC的垂直平分线上，过E'作E'H⊥CD于点H，则四边形DGE'H为矩形，∴GE②当DE'=CD=8时，过E'作E'H⊥CD于点H，则四边形DGE'H为矩形，连接DE'，设DH=x，则由勾股定理得：DE'综合可得：DE'∴82-∴GE【点睛】本题考查折叠的性质、平移的性质、矩形的性质、等腰三角形判定、勾股定理等知识点，综合性较强，有一定难度，特别是第（3）问需要分类讨论，不要出现遗漏．9．（2021·山东省青岛第二十六中学九年级期中）矩形ABCD中，AB＝CD＝3cm，AD＝BC＝4cm，AC是对角线，动点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；动点Q从点C出发沿CD方向向点D匀速运动，速度为2cm/s．过点P作BC的垂线段PH，运动过程中始终保持PH与BC互相垂直，连接HQ交AC于点O．若点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s）（0＜t＜1.5），解答下列问题：（1）求当t为何值时，四边形PHCQ为矩形；（2）是否存在一个时刻，使HQ与AC互相垂直？如果存在请求出t值；如果不存在请说明理由；（3）是否存在一个时刻，使矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的7544，如果存在请求出t【答案】（1）t=1513；（2）存在，t=【分析】（1）当四边形PHCQ为矩形时，PH=CQ，利用相似三角形的性质求出PH，（2）证明△HCQ∼△ABC（3）根据矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的7544，构建方程求解即可【详解】解：（1）∵AB=3，∴AC由题可得：AP=t，CP=5-∵四边形ABCD是矩形，∴∠B∵PH∴∠CHP∵∠PCH∴△PCH∴PHAB=∴PH=3当四边形PHCQ为矩形时，PH=∴3解得：t=∴当t=1513时，四边形（2）存在一个时刻，使HQ⊥当HQ⊥AC时，∵∠BAC∴∠QHC∵∠HCQ∴△HCQ∴CHAB=∴4解得：t=∴当t=4023（3）存在，由题意得：3×4=75解得：t=1或t∴当t=1时，矩形ABCD的面积是四边形PHCQ面积的75【点睛】本题属于四边形综合问题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识点是解决本题的关键．10．（2021·辽宁丹东·九年级期末）如图，小军、小丽、小华利用晚间放学时间完成一个综合实践活动，活动内容是测量人行路上的路灯高度．小军和小丽分别站在路灯的两侧，小军站在水平地面上的点A处，小丽站在点C处，这时小军的身高AB形成的影子为AE，小丽身高CD形成的影子为CF．（1）请画图确定灯泡P的位置（2）已知小军和小丽的身高分别为1.8米和1.6米，小华测得小军和小丽在路灯下的影子AE和CF分别为1米和2米，小军和小丽之间的距离AC为10米，点E，A，C，F在同一条直线上，请帮助他们3人求出路灯的高度．【答案】（1）见解析；（2）路灯的高度7.2米．【分析】（1）连接EB，FD，延长EB交FD的延长线于点P，点P即为所求作．（2）过点P作PH⊥AC于H．设AH＝x米，则CH＝（10−x）米，利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：（1）作图如下：∴P（2）过P做PH⊥AC于点设AH=x米，则∵PH⊥AC，AB∴△EAB∴EA∴1∴PH同理可证：△FDC∴CF即22+10-解得：x=3∴1解得：PH=7.2答：路灯的高度7.2米．【点睛】本题考查作图−应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交（1）求AGGF（2）如果BD=43，DF=4【答案】（1）3；（2）△BDA【分析】（1）先证明△AGE∽△ADC，再证明△（2）根据题意分别证明△BDA∽△FDB【详解】解：（1）∵D是BC的中点，E是AC∴BD=CD∵GE∴△AGE∴AG∴AG=GD∵GE∴△GEF∴GE∴DF∴AG∴AG（2）当BD=43，由（1）可得GF=12DF=2GE=∵BDDF=∴AD又∵∠BDG∴△BDA∵GEGF=∴AD∵GE∴∠ADB∴△BDA【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．12．（2020·黑龙江哈尔滨·九年级期中）如图，△ABC中，点D在AC边上，且∠

（1）求证：DB=（2）点E在BC边上，连接AE交BD于点F，且∠AFD=∠ABC，BE（3）在（2）的条件下，若BC=16，△ABF的周长等于30，求【答案】（1）见解析；（2）∠ACB＝60°；（3）AF＝【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出∠A=∠BDA（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得∠EAC=∠C，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出∠（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A∴

∠A＝90°－12∠ABD∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD∴

∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴BFBD∴BF=EF=∵△ABF的周长等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋16-xxAB＋x－解得AB＝16－x8在Rt△ACO中，AC＝x2，AO＝3∴BO＝16－x2在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即x4解得x1=0（舍去）∴AC＝25621∴AF＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．13．（2019·海南华侨中学九年级期中）如图，已知矩形ABCD的边长AB=4cm，BC=8cm，动点M从A出发在边AB上以1cm/s的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D出发在边DA上以2cm/（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的1（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t（3）当t=1时，求NQ【答案】（1）2秒；（2）165或2（3）【分析】（1）设时间为t，用t表示出AM和AN的长，根据三角形的面积列式求出t的值；（2）分两种情况进行讨论，△AMN∼△DAC或△（3）过点Q作QP⊥AD于点P，求出t=1时，AN、AM的长，设QP=x，NP=y【详解】解：（1）设时间为t，则AM=t，S△1212t-t=2经过2秒，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的1∵∠ADC∴分两种情况讨论，①△AMN∴AMDA=ANDC，则②△AMN∴AMDC=ANDA，则综上：t为165或2时，以A、M、N为顶点的三角形与△（3）如图，过点Q作QP⊥AD于点当t=1时，DN=2，AN=8-2=6设QP=x，∵QP//∴NPNA=QPMA∵QP//∴APAD=QPCD根据①和②求出x=34则QP=34根据勾股定理NQ=【点睛】本题考查动点问题，解题的关键是掌握设时间t，列式解一元二次方程的方法，利用相似三角形对应边成比例的性质列式求解的方法，再考虑三角形相似的时候要注意分类讨论．14．（2022·上海·九年级专题练习）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．（1）当CF＝2时，求线段BN的长；（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2）y=6x-27x-3，0＜x＜3；y=27-6xx-3，3【分析】（1）由AB∥CD得△CFE∽△AME，△NCF∽△（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，AB∥CD∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，∴CFAM∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，∴25=∴BN＝10；（2）当CF＝BM时，MF∥BC，此时△∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，∴BM＝9﹣2x，由CFBM=NCNB∴BN=18-4∴y＝1＝1＝6x如图3，当3＜x＜4.5时，由BNCN=BNBN∴CN＝2(9-2x)∴y＝1＝27-6xx（3）如图4，∵EG∥∴CGCB=∴CG＝13CB＝2，∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，当BM＝BE＝5时，9﹣2x＝5，∴x＝2，如图5，当EM＝EB＝5时，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x=32，如图6，当EM＝BM时，作MH⊥BE于H，在Rt△BMH中，BH＝12BE=52，cos∠MBH＝cos∠∴BM＝BHcos∴9﹣2x＝256，∴x＝2912综上所述：x＝2或32或29【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．15．（2021·江苏·扬州市梅岭中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，∠ADB=90°，AB=10cm，AD=8cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s.当一个点停止运动，另一个点也停止运动.过点P作PE//BD交AB于点E，连接（1）当t为___________时，PQ//（2）连接EQ，设四边形APQE的面积为ycm2，求y与t（3）当t为何值时，点E在线段PQ的垂直平分线上？（4）若点F关于AB的对称点为F'，是否存在某一时刻t，使得点P，E，F'三点共线？若存在，求出t【答案】（1）83；（2）y=-34t2-3t【分析】（1）由题意得，PQ∥AB，则四边形PABQ是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AP=BQ，即82t=t，解方程即可求解；（2）过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，由勾股定理求出BD=6，证明△ADB∽△BHQ，根据相似三角形的性质可得QH=35t，根据平行线分线段成比例定理可得DPAD=BEAB，可得出BE=52t，根据y=S（3）先证出△APE∽△ABD，根据相似三角形的性质可得PEDB=APAD，可得PE=632t，根据线段垂直平分线的性质得EQ=PE，由（2）得QH=35t，可得出BH=45t（4）连接FF′交AB于点N，由对称及平行线的性质可得∠FEB=∠ABD，由等角对等边得EF=FB，则BN=EN=12BE=54t，再证△DPF∽△BQF，可得DF=2BF，可求出【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，若PQ∥AB，∴四边形PABQ是平行四边形，∴AP=BQ，∴82t=t，∴t=83∴当t=83时，PQ∥AB故答案为：83（2）如图，过点Q作QH⊥AB交AB的延长线于点H，∵∠ADB=90°，∴BD2=AB2AD2=10064=36，即BD=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A=∠QBH，又∵∠ADB=∠BHQ=90°，∴△ADB∽△BHQ，∴BDQH=AB∴QH=∵PE∥BD，∴DPAD=BE∴BE=∴y=S四边形APQBS△BEQ=12（3）如图：∵PE∥BD，∴∠APE=∠ADB，∵∠A=∠A，∴△APE∽△ADB，∴PEDB=AP∴PE=6-∵点E在线段PQ的垂直平分线上，∴EQ=PE=6-由（2）得QH=∴BH=∴EH=Rt△EQH中，EH2+HQ2=EQ2，∴(3310t)2+(解得：t1∴当t=5-1时，点E在（4）连接FF'交AB于点N，∵点F关于AB的对称点为F′，∴∠FEB=∠F′EB，FN⊥EB，∵点P，E，F′三点共线，PE∥AB，∴∠F′EB=∠ABD，∴∠FEB=∠ABD，∴EF=FB，∴BN=∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DPF=∠FQB，∵DFP=∠BFQ，∴△DPF∽△BQF，∴DFBF∴DF=2BF，∴2BF+BF=6，∴BF=2，∵∠FBN=∠ABD，∠FNB=∠ADB，∴△BNF∽△BDA，∴BNBF∴54t2=6∴存在某一时刻t，使得点P，E，F′三点共线，t的值为2425【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．16．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:【答案】1【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDM∽BCH解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出△AHM∽△DBM解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出AN=即可得出答案；【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．因为DH//所以△BDH所以DHCN因为D为BC的中点，所以DHCN因为DH//AN，所以所以DHAN因为M为AD的中点，所以DHAN所以DH=所以ANCN解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．因为DM//CH，所以所以DMCH因为D为BC的中点，所以DMCH因为M为AD的中点，所以AM=所以AMCH因为DM//所以△AMN所以ANCN解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．因为AH//BD，所以所以AHBD因为M为AD的中点，所以AM=DM，所以因为AH//BD，所以所以ANCN因为D为BC的中点，且AH=所以ANCN解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．在△ADH因为M为AD的中点，MN//所以N为AH的中点，即AN=在△CBN中，因为D为BC的中点，DH//BN，所以H为CN所以AN=所以ANCN17．（2021·山东省诸城市树一中学三模）如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CD边的垂直平分线EH交BD于点E，连接AE，CE．（1）过点A作AF//EC交BD于点F，求证：（2）如图2，将△ABE沿AB翻折得到△①求证：BE'//②若AE'//BC，OE=1【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②1+【分析】（1）根据题意证明△COE≌△AOF(AAS)，即可证明ED=（2）①过点A作AF//EC交BD于点F，根据（1）中结论，然后证明②求证△AEF∽△BCE【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF//∴∠CEO=∠AFO∴△COE∴CE=AF，∴ED=∵EH垂直平分CD，∴EC=∴AF=（2）如图2，过点A作AF//EC交BD于点①证明：由（1）可知△AOF≌△COE∴∠ABF∵将△ABE沿AB翻折得到△∴∠ABE∴∠ABE∴BE'//又∵AF//∴BE'//②解：∵AE'//∴∠E由翻折可知∠E∴∠ABC∵AF=∴∠FAB∴∠ABC∴∠EBC∵AF//∴∠AFE∴△AEF∴AFBE设AF=∵OE=∴EF=2∴xx∴x=1+5．经检验：x=1+∴【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，能够根据已知条件证明相关三角形全等和相似是解题的关键．18．（2021·辽宁大连·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，AB=47cm，点D从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，当点D与点A、B不重合时，过点D作DE⊥AB交射线AC于点E，以AD、AE为邻边向上作平行四边形ADFE，设D（1）填空：AC=______cm，BC=______（2）当点F在BC上时，求t的值；（3）求s与t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．【答案】（1）8355，4355；（2）t=879s【分析】（1）在Rt△（2）证△EDA∼△BCA和△ABC∼△（3）分情况讨论①当0<t≤879时，平行四边形ADFE与△ABC的重叠部分图形的面积为s=S▱ADFE，②当879<t<2【详解】（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC∴AB∴BC=4355cm（2）∵DE∴∠设D点的运动时间为t(s∵∠A=∠∴△∴DE∴DE∴AE∴EC∵平行四边形ADFE∴AD∥EF，EF∴△∴EF∴EF∴47-（3）当0<t≤879时，平行四边形ADFE即s当D到达B点停止运动，且与B不重合，则t当879<t<27时，如图，平行四边形由（2）可知，EC=∵平行四边形ADFE∴AD∥EF∴△∴HC∴HC∴S∵AD=2t∴DB∵平行四边形ADFE∴DF∥AC∴△∴DG∴DGBG∴Ss=S==-∴s自变量t的取值范围：0<【点睛】本题是三角形和四边形的综合题．涉及相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、动点问题、求函数解析式等知识点．综合性较强，计算较为复杂．19．（2021·山东东营·八年级期末）有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）．【答案】甲同学【分析】对于甲图：设正方形的边长为x，则DE=DB=x，CD=1.5-x，证明△CDE∽△CBA，利用相似比可计算出x=67；对于乙图：作BH⊥ACN，交DE于N，如图乙，先利用勾股定理计算出AC=2.5，再利用面积法计算出BM=1.2，设正方形的边长为y【详解】解：如图1所示，设甲同学加工的桌面边长为xm，∵DE∥AB∴△CDE∽△CBA∴CD即2-∴x＝67图2所示，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P．由勾股定理得：AC＝A∵1∴BH设乙同学加工的桌面边长为ym，∵DE∥AC∴△BDE∽△BAC∴DE即y∴y＝30∵67＞3037，即x＞y，x2∴甲同学的加工方法更好．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“A”型或“X”型相似图，然后利用三角形相似的性质计算相应线段的长，也考查了正方形的性质．20．（2022·上海·九年级专题练习）已知点P为线段AB上的一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；点M是AD的中点，联结BM、CM．（1）如图1，如果点P在线段CM上，求证：PM//（2）如图1，如果点P在线段CM上，求证：PC=2（3）如果点P不在线段CM上（如图12），当点P在线段AB上运动时，∠BCM的正切值是否发生变化？如果发生变化，简述理由；如果不发生变化，请求出∠【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM∥BD．（2）利用三角形的中位线定理解决问题即可．（3）延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，可得结论．【详解】解：（1）如图1中，由题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM∥BD；（2）如图1中，∵AM=MD，PM∥BD，∴AP=PB，∴PM=12BD∵PA=PC=PB=BD，∴PC=2PM；（3）结论：tan∠BCM=33如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG=BD，AG∥BD，∴∠BAG=180°∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等边三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM=BM，∴∠BCM=12∠BCG=30°∴tan∠BCM=33【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21．（2021·河南新乡·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作NP//AB交AC于点P，连结（1）直接写出OA、AB的长度；（2）试说明△CPN（3）在两点的运动过程中，求△MPA的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出S=32【答案】（1）OA=4,AB=3；（2）见解析；（3）S【分析】（1）根据点A、B的坐标即可得；（2）先根据平行线的性质可得∠CPN（3）先根据矩形的性质、线段的和差可得AM=CN=4-t,AB⊥OA，再根据相似三角形的性质可得PNAB=CNCB，从而可得PN=3-【详解】（1）∵A∴OA（2）∵NP∴∠CPN∴△CPN（3）由题意得：OM=BN=则AM=∵四边形OABC是矩形，∴BC∴CN∵△CPN∴PNAB=CN解得PN=3-∵NP∴NP∴△MPA的AM边上的高为3-∴S即S=-当S=32解得t1故t的值为2．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．22．（2020·河南洛阳·九年级期中）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且ABAM＝m，ACAN＝（1）若点O是线段BC中点．①求证：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若COOB＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k【答案】（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．【分析】设AM＝a，AN＝b．由ABAM＝m，ACAN＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，利用ASA证明△OBH≌△OCN，得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式(1-m)a②由①的结论m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n＝1时，mn有最大值1；（2）若COOB＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，证明△OBG∽△OCN，根据相似三角形对应边成比例得出CNBG＝COOB，那么BG＝n-1kb．由BG∥AN列出比例式(1-m)【详解】解：设AM＝a，AN＝b.∵ABAM＝m，ACAN＝∴AB＝am，AC＝bn，∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，∴∠OBH＝∠OCN.在△OBH与△OCN中，∠OBH∴△OBH≌△OCN（ASA），∴BH＝CN＝（n﹣1）b.∵BH∥AN，∴MBMA＝BHAN，即(1-m∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2；②由①知，m+n＝2，∴m＝2﹣n，∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，∴当n＝1时，mn有最大值1；（2）若COOB＝k（k≠0如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN.在△OBG与△OCN中，∠OBG∴△OBG∽△OCN，∴CNBG＝COOB，即(n∴BG＝n-∵BG∥AN，∴MBMA＝BGAN，即(1-m∴1﹣m＝n-∴n＝k﹣km+1.【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.23．（2020·江苏南通·中考真题）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【答案】（1）23；（2）BF＝3【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG=x，则BG=4x．证明△EGP∽△PHD，推出EGPH=PGDH=EPPD=13，推出P