2025届四川省资阳市雁江区丰裕高中高三数学第一学期期末经典试题含解析

2025届四川省资阳市雁江区丰裕高中高三数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知奇函数是上的减函数，若满足不等式组，则的最小值为（）A．-4 B．-2 C．0 D．42．已知数列满足：，则()A．16 B．25 C．28 D．333．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（）A．0 B．2 C．4 D．15．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（）A． B．2 C．3 D．6．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（）A． B． C． D．7．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A． B． C． D．8．已知等差数列的前项和为，，，则（）A．25 B．32 C．35 D．409．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：①是奇函数时，是奇函数；②是偶函数时，是奇函数；③是偶函数时，是偶函数；④是奇函数时，是偶函数⑤是偶函数；⑥对任意的实数，．那么正确论断的编号是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤10．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A． B． C． D．11．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．12．已知函数若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.14．如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为.15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．16．设为互不相等的正实数，随机变量和的分布列如下表，若记，分别为的方差，则_____．（填>，<，=）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）当x>0时，若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面．求证：平面；若，，求证：平面平面.19．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，，为线段上一点，满足，为的中点，现将梯形沿折叠（如图2），使平面平面.（1）求证：平面平面；（2）能否在线段上找到一点（端点除外）使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.20．（12分）已知，均为正数，且.证明：（1）；（2）.21．（12分）已知函数f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+22．（10分）的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，点为边的中点，且，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数，则，且，画出可行域和目标函数，，即，表示直线与轴截距的相反数，根据平移得到：当直线过点，即时，有最小值为.故选：.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.2、C【解析】

依次递推求出得解.【详解】n=1时，，n=2时，，n=3时，，n=4时，，n=5时，.故选：C【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、D【解析】

圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．【详解】圆的圆心为，由题意可得，即，，，则，当且仅当且即时取等号，故选：．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．4、C【解析】

根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，所以为上的奇函数.由可得，故，故是周期为4的周期函数.因为，所以.因为，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.5、B【解析】

由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解.【详解】因为点为中点，所以，又因为，，所以．因为，，三点共线，所以，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为1．故选：B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.6、D【解析】

由半圆面积之比，可求出两个直角边的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出.【详解】解：由题意知，以为直径的半圆面积，以为直径的半圆面积，则，即.由，得，所以.故选:D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.7、A【解析】

详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。8、C【解析】

设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，∴，即有．故选：C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．9、A【解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数，则，所以，所以是偶函数；当是奇函数时，则，所以，所以是偶函数；当为非奇非偶函数时，例如：，则，，此时，故⑥错误；故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.10、D【解析】

与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小．【详解】，，又，∴，即，∴．故选：D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较．11、B【解析】

试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B．考点：抛物线的性质．【名师点晴】在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系．12、D【解析】

由恒成立，等价于的图像在的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.【详解】因为由恒成立，分别作出及的图象，由图知，当时，不符合题意，只须考虑的情形，当与图象相切于时，由导数几何意义，此时，故.故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意可在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.【详解】已知定义在上的函数若在定义域上有四个不同的解等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，联立可得有两个解，即可设，则，进而且不恒为零，可得在单调递增.由可得时，单调递减；时，单调递增，即在处取得极小值且为作出的图象，可得时，有两个解.故答案为：【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.14、.【解析】.15、【解析】乙不输的概率为，填.16、>【解析】

根据方差计算公式，计算出的表达式，由此利用差比较法，比较出两者的大小关系.【详解】，故.，.要比较的大小，只需比较与，两者作差并化简得①，由于为互不相等的正实数，故，也即，也即.故答案为：【点睛】本小题主要考查随机变量期望和方差的计算，考查差比较法比较大小，考查运算求解能力，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）。【解析】

（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集；（Ⅱ）由条件利用基本不等式求得，，再由，求得的范围．【详解】（Ⅰ）当时，原不等式可化为，此时不成立；当时，原不等式可化为，解得，即；当时，原不等式可化为，解得.综上，原不等式的解集是．（Ⅱ）因为，当且仅当时等号成立，所以.当时，，所以．所以，解得，故实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．18、证明见解析；证明见解析.【解析】

利用线面平行的判定定理求证即可；为中点，为中点，可得，，，可知，故为直角三角形，，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解：证明：为中点，为中点，，又平面，平面，平面；证明：为中点，为中点，，又，，则，故为直角三角形，，平面平面，平面平面，，平面，平面，又∵平面，平面平面.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.19、（1）证明见解析；（2）存在点是线段的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.【解析】

（1）在直角梯形中，根据，，得为等边三角形，再由余弦定理求得，满足，得到，再根据平面平面，利用面面垂直的性质定理证明.（2）建立空间直角坐标系：假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为，且，，求得平面的一个法向量，再利用线面角公式求解.【详解】（1）证明：在直角梯形中，，，因此为等边三角形，从而，又，由余弦定理得：，∴，即，且折叠后与位置关系不变，又∵平面平面，且平面平面.∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵为等边三角形，为的中点，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，取的中点，连结，则，从而，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系：则，，则，假设在上存在一点使直线与平面所成角的正弦值为，且，，∵，∴，故，∴，又，该平面的法向量为，，令得，∴，解得或（舍），综上可知，存在点是线段的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理和向量法研究线面角问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）由进行变换，得到，两边开方并化简，证得不等式成立.（2）将化为，然后利用基本不等式，证得不等式成立.【详解】（1），两边加上得，即，当且仅当时取等号，∴.（2）.当且仅当时取等号.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21、（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由题意不等式化为|1-2a|-|1-a|>1，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由题意把问题转化为[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分别求出【详解】（Ⅰ）由题意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，则不等式化为1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，则不等式化为2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，则不等式化为2a-1+1-a>1，解得a>1，综上所述，a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由题意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max当x∈(-∞,a]时，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因为|y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以当(y+2020)(y-a)≤0时，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，结合a<0，所以a的取值范围是[-1010,0).【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用