河南省郑州市第一〇六中学2025届数学高二上期末学业质量监测试题含解析

河南省郑州市第一〇六中学2025届数学高二上期末学业质量监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点，均在y轴上，椭圆C的面积为，且短轴长为，则椭圆C的标准方程为（）A. B.C. D.2．已知椭圆的两焦点分别为，，P为椭圆上一点，且，则的面积等于（）A.6 B.C. D.3．设、是椭圆：的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为A. B.C. D.4．圆的圆心坐标和半径分别为（）A.和 B.和C.和 D.和5．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.86．在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.7．已知，则条件“”是条件“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.8．若函数，满足且，则（）A.1 B.2C.3 D.49．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（）A. B.C. D.10．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（）A.153 B.190C.231 D.27611．已知抛物线的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为（）A.1 B.C. D.12．已知两个向量，，且，则的值为（）A.-2 B.2C.10 D.-10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________14．直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，若，则直线l的斜率为______15．椭圆的右焦点为，过原点的直线与椭圆交于两点、，则的面积的最大值为___________.16．若函数的递增区间是，则实数______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，P为圆上一动点，点A坐标为，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）过点A的直线l交E于C，D两点，若△BCD内切圆的半径为，求直线l的方程.18．（12分）在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离之比为.动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么图形；（2）已知曲线与轴的交点分别为，点是曲线上异于的一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.19．（12分）已知函数．其中e为然对数的底数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，讨论函数的零点个数20．（12分）已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）在锐角中，，，分别为角，，的对边，且满足，求的取值范围.21．（12分）已知空间三点.（1）求以为邻边平行四边形的周长和面积;（2）若，且分别与垂直，求向量的坐标.22．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】设出椭圆的标准方程，根据已知条件，求得，即可求得结果.【详解】因为椭圆的焦点在轴上，故可设其方程为，根据题意可得，，故可得，故所求椭圆方程为：.故选：C.2、B【解析】根据椭圆定义和余弦定理解得，结合三解形面积公式即可求解【详解】由与是椭圆上一点，∴，两边平方可得，即，由于，，∴根据余弦定理可得，综上可解得，∴的面积等于，故选：B3、C【解析】如下图所示，是底角为的等腰三角形，则有所以，所以又因为，所以，，所以所以答案选C.考点：椭圆的简单几何性质.4、C【解析】利用圆的一般方程的圆心和半径公式，即得解【详解】可化为，由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为.故选：C5、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C6、D【解析】根据正方体的性质，在直角△中应用等面积法求到直线的距离.【详解】由正方体的性质：面，又面，故，直角△中，若到上的高为，∴，而，，，∴.故选：D.7、A【解析】若命题，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件【详解】因为，所以，所以.故选：A8、C【解析】先取，得与之间的关系，然后根据导数的运算直接求导，代值可得.【详解】取，则有，即，又因为所以，所以，所以.故选：C9、C【解析】由几何关系先求出一个正四面体的高，再结合锥体体积公式即可求解正八面体的体积.【详解】如图，设底面中心为，连接，由几何关系知，，则正八面体体积为.故选：C10、B【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故选：B【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.11、C【解析】作垂直准线于，垂直准线于，作于，结合抛物线定义得出斜率为可求.【详解】如图：作垂直准线于，垂直准线于，作于，因为，，，由抛物线的定义可知：，，，所以，直线斜率为：.故选：C.12、C【解析】根据向量共线可得满足的关系，从而可求它们的值，据此可得正确的选项.【详解】因为，故存在常数，使得，所以，故，所以，故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、405【解析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，14、【解析】如图，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，利用在直角三角形中，求得，从而得出直线的斜率【详解】解：如图，当在第一象限时，设，两点的抛物线的准线上的射影分别为，，过作的垂线，在三角形中，等于直线的倾斜角，其正切值即为值，由抛物线的定义可知：设，则，，，在直角三角形中，，所以，则直线的斜率；当在第四象限时，同理可得，直线的斜率，综上可得直线l的斜率为；故答案为：15、【解析】分析可知点、关于原点对称，可知当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值.【详解】椭圆中，，，则，则，由题意可知，、关于原点对称，当、为椭圆短轴的端点时，的面积取得最大值，且最大值为.故答案为：.16、【解析】求得二次函数的单调增区间，即可求得参数的值.【详解】因为二次函数开口向上，对称轴为，故其单调增区间为，又由题可知：其递增区间是，故.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）连接，由，利用椭圆的定义求解；（2）设点，，直线的方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，利用等面积法求解.【小问1详解】解：连接，由题意知：，，即的轨迹为椭圆，其中，，，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】设点，，直线的方程为，与椭圆联立，消去整理得，显然成立，故，，由椭圆定义得的周长为，则的面积，又由，得，从而得，即，整理得，解得，故，故直线的方程为.18、（1），曲线是以为焦点的椭圆；（2）证明见解析.【解析】（1）由题可得，即求；（2）利用斜率公式及椭圆方程计算即得.【小问1详解】设点坐标为，根据题意，得，左右同时平方，得，整理得，，即，所以曲线的方程是，曲线是以为焦点的椭圆.【小问2详解】由题意得，设的坐标是，因为点在曲线上，所以，因为，所以，所以为定值.19、（1）单调递减区间为，单调递增区间为和；（2）当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点.【解析】(1)求导，令导数大于零求增区间，令导数小于零求减区间；(2)求导数，分、、a＞2讨论函数f(x)单调性和零点即可.【小问1详解】当时，，易知定义域为R，，当时，；当或时，故的单调递减区间为，单调递增区间为和；【小问2详解】当时，x正0负0正单增极大值单减极小值单增当时，恒成立，∴；当时，①当时，，∴无零点；②当时，，∴有1个零点；③当时，，又当时，单调递增，，∴有2个零点；综上所述：当时，无零点；当时，有1个零点；当时，有2个零点【点睛】结论点睛：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用20、（1）（2）【解析】（1）根据降幂公式化简的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；（2）由正弦定理边化角，从而可求得，根据锐角三角形可得从而可求出答案【详解】解：（1），由得所以的单调递减区间为；（2）由正弦定理得，∵∴，即，，得，或，解得，或（舍），∵为锐角三角形，∴解得∴∴的取值范围为【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题21、（1）周长为，面积为7.（2）或.【解析】（1）根据点，求出向量，利用向量的摸公式即可求出的距离，可以求出周长，再利用向量的夹角公式求出夹角的余弦值，根据平方关系得到正弦值，再利用即可求解；（2）首先设出，根据题意可得出的方程组，解出满足条件所有的值即可求解.【小问1详解】由题中条件可知，，,，.所以以为邻边的平行四边形的周长为.因为，因为，所以.所以.故以以为邻边的平行四边形的面积为：.【小问2详解】设，则，，因为，且分别与垂直，得，解得或所以向