第8讲向量问题(原卷版+解析)

专题八向量问题考情分析1.给出,等于已知与的中点三点共线;2.给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；二、经验分享1.三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.2.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：（1）利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；（2）向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，①如果点在圆内；②点在圆外；③点在圆上．（3）方程法，已知圆的方程，点，①如果点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.三、题型分析（一）向量法判断定点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：（1）利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；（2）向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，①如果点在圆内；②点在圆外；③点在圆上．（3）方程法，已知圆的方程，点，①如果点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.例1【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．

【变式训练1】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点.（Ⅰ）求与的标准方程；（Ⅱ）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【变式训练2】已知抛物线C：的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.

（二）利用向量转化几何条件例2．如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点.（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；（2）当时，求直线的方程；（3）设，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.【变式训练1】已知、分别是椭圆的两焦点，点是该椭圆上一动点，则_________.

【变式训练2】已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；（3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【变式训练3】已知点为椭圆的两个焦点，其中左焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，为椭圆上一点。（1）求椭圆的标准方程；（2）若，且点在第一象限，求点的坐标；（3）若线段中点在轴上，求的值.

迁移应用1.已知斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为()(A)(B)(C)(D)2.设A,B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线于S,T两点，且,则的面积()(A)(B)(C)(D)3.已知在抛物线上，如图，直线和都通过抛物线的焦点,若，则的最小值是（）A.2B.4C.6D.84.设抛物线的焦点为，准线为，过F点的直线交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为.若,则三角形的面积为.5．已知双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，作直线与圆相切于点T，交双曲线的右支于点P，若，则（）A．B．C．D．6.已知为坐标原点,椭圆的方程为,若、为椭圆的两个动点且,则的最小值是（）277.设双曲线的中心为点,若直线和相交于点,直线交双曲线于、,直线交双曲线于、,且使,则称和为“直线对”.现有所成的角为的“直线对”只有两对,且在右支上存在一点,使,则该双曲线的离心率的取值范围是（）8.已知是边长为2的正三角形，是平面内一点，则的最小值是（）9．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线：，过点的直线交与，两点，圆是以线段为直径的圆．(1)证明：坐标原点在圆上；(2)设圆过点，求直线与圆的方程．专题八向量问题考情分析1.给出,等于已知与的中点三点共线;2.给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；二、经验分享1.三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.2.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：（1）利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；（2）向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，①如果点在圆内；②点在圆外；③点在圆上．（3）方程法，已知圆的方程，点，①如果点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.四点共圆问题的解题策略：①利用四点构成的四边形的对角互补；②利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程，然后证明第四点坐标满足圆的方程.三、题型分析（一）向量法判断定点与圆的位置关系1.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种：（1）利用设而不求思想求出圆心坐标，然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解；（2）向量法，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：如已知是圆的直径，是平面内一点，①如果点在圆内；②点在圆外；③点在圆上．（3）方程法，已知圆的方程，点，①如果点在圆内；②点在圆上；③点在圆外.例1【2015高考福建，理18】已知椭圆E：过点，且离心率为．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设直线交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得解得，所以椭圆E的方程为．(Ⅱ)设点AB中点为．由所以从而.所以.,故所以，故G在以AB为直径的圆外．【变式训练1】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点.（Ⅰ）求与的标准方程；（Ⅱ）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.【分析】（Ⅰ）椭圆的焦距为,,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得,,在以为直径的圆内,得结果.【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为,依题意有,,解得,,故椭圆的标准方程为,又抛物线开口向上,故是椭圆的上顶点,,,故抛物线的标准方程为.（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：,设点,,联立得,由韦达定理得,.在以为直径的圆内.【变式训练2】已知抛物线C：的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.（I）求C的方程；（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.【解析】（I）设,代入,得．由题设得,解得（舍去）或,∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得．设则．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入,并整理得．设则．故的中点为．由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或．所求直线的方程为或．（二）利用向量转化几何条件例2．如图，已知满足条件（其中为虚数单位）的复数在复平面上的对应点的轨迹为圆（圆心为），定直线的方程为，过斜率为的直线与直线相交于点，与圆相交于两点，是弦中点.（1）若直线经过圆心，求证：与垂直；（2）当时，求直线的方程；（3）设，试问是否为定值？若为定值，请求出的值，若不为定值，请说明理由.【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）为定值且【解析】（1）证明如下：因为，所以，所以圆心，半径；又因为，所以且，所以，所以与垂直；（2）当直线的斜率不存在时，，此时，所以，所以，满足题意；当的斜率存在且为时，，，所以，解得：，此时；综上：直线的方程为或；（3）当直线的斜率不存在时，可知：，所以，所以，即；当直线的斜率存在且为时，设，，联立可得：，所以，，即，所以；又由可得：，所以，故，综上可知：为定值，且.【变式训练1】已知、分别是椭圆的两焦点，点是该椭圆上一动点，则_________.【答案】【解析】由椭圆知，焦点，，设，则，，，故，故答案为：【变式训练2】已知椭圆：的右焦点为点的坐标为，为坐标原点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）经过点作直线交椭圆于两点，求面积的最大值；（3）是否存在直线交椭圆于两点，使点为的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由是等腰直角三角形，可得，故椭圆方程为；

（2）设过点的直线的方程为，的横坐标分别为，

将线的方程为代入椭圆方程，消元可得，∴，，

，

令，则

令，则（当且仅当时取等号）

又面积，∴△AOB面积的最大值为；

（3）假设存在直线交椭圆于两点，且使点为的垂心，

设，

因为，所以．

于是设直线的方程为，代入椭圆方程，消元可得．

由，得，且,由题意应有，所以，

所以．

整理得．

解得或．

经检验，当时，不存在，故舍去．

∴当时，所求直线存在，且直线l的方程【变式训练3】已知点为椭圆的两个焦点，其中左焦点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，为椭圆上一点。（1）求椭圆的标准方程；（2）若，且点在第一象限，求点的坐标；（3）若线段中点在轴上，求的值.【答案】（1）；(2)；（3）7【解析】（1），；（2）设因为（3）因为线段中点在轴上，所以轴，因为点在第一象限，所以设，代入椭圆方程，得，所以，因为，所以所以迁移应用1.已知斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点，线段AB中点M纵坐标为，点在椭圆上，若的平分线交线段AB于点N，则的值为()(A)(B)(C)(D)【答案】C【解析】由题意可设，联立，设，即所以，此时化简为所以直线PA,PB的倾斜角互补，其角平分线轴所以，把代入得故选C.2.设A,B分别是双曲线的左右顶点，设过的直线PA,PB与双曲线分别交于点M,N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线于S,T两点，且,则的面积()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由题意可得双曲线的左右顶点A(-1，0),B(1，0)，则，联立，代入可得，所以，同理可得，设Q(s,0),因为M,N,Q三点共线，所以，设过Q的直线方程为恒成立,由得代入韦达定理的，所以，故选A.【点评】本题考察双曲线的方程和性质，直线方程和双曲线方程联立，求交点和运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查化简运算能力，属于难题.3.已知在抛物线上，如图，直线和都通过抛物线的焦点,若，则的最小值是（）A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】由题意得：设的直线方程：与抛物线相交于两点，联立方程得到：，故此韦达定理：；再设的直线方程：与抛物线相交于两点，同理：4.设抛物线的焦点为，准线为，过F点的直线交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为.若,则三角形的面积为.【答案】【解析】由题意得:抛物线的经典结论：及，联立可以得到：，设，根据抛物线的性质，得到：，从而得到，5．已知双曲线的左、右焦点为，渐近线方程为，作直线与圆相切于点T，交双曲线的右支于点P，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】：易知：，,，选D．6.已知为坐标原点,椭圆的方程为,若、为椭圆的两个动点且,则的最小值是（）27【答案】【解析】当直线，的斜率一条不存在，一条为零满足，此时设直线斜率为，则直线斜率为，联立，解得，代入求得点，则，不妨令，则原式，当时原式有最小值