(完整版)高等数学课后习题答案-20211108152903

高等数学课后习题答案第一部分：极限与连续1.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$解：由洛必达法则，我们有：$$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos0=1$$2.判断函数的连续性：$f(x)=\begin{cases}x^2&\text{if}x\text{isrational}\\0&\text{if}x\text{isirrational}\end{cases}$解：函数$f(x)$在$x=0$处连续，但在其他点不连续。因为当$x$趋近于0时，$f(x)$趋近于0，所以$\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0$，即$f(x)$在$x=0$处连续。但对于其他点，$f(x)$的值依赖于$x$是否为有理数，因此不满足连续性的定义。3.求极限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^37x^2+12x1}{3x^3+2x^25x+1}$解：将分子分母同时除以$x^3$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^37x^2+12x1}{3x^3+2x^25x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}\frac{1}{x^3}}{3+\frac{2}{x}\frac{5}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$$当$x$趋向于无穷大时，$\frac{7}{x}$，$\frac{12}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$，$\frac{2}{x}$，$\frac{5}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$都趋向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^37x^2+12x1}{3x^3+2x^25x+1}=\frac{1}{3}$$4.求极限：$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}$解：这个极限可以通过因式分解来求解：$$\lim_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim_{x\to1}\frac{(x1)(x+1)}{x1}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$$5.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}$解：这个极限可以通过洛必达法则来求解：$$\lim_{x\to0}\frac{e^x1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$$这些是高等数学课后习题答案的第一部分，希望对你有所帮助。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系我。高等数学课后习题答案第一部分：极限与连续（续）6.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}$解：由洛必达法则，我们有：$$\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sec^2x}{1}=\sec^20=1$$7.判断函数的连续性：$g(x)=\begin{cases}x&\text{if}x\text{isrational}\\0&\text{if}x\text{isirrational}\end{cases}$解：函数$g(x)$在任何有理数点$x$处连续，但在任何无理数点$x$处不连续。因为当$x$趋近于某个有理数$a$时，$g(x)$趋近于$a$，所以$\lim_{x\toa}g(x)=g(a)=a$，即$g(x)$在有理数点连续。但对于无理数点，$g(x)$的值始终为0，因此不满足连续性的定义。8.求极限：$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}$解：将分子分母同时除以$x$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0$$9.求极限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^25x+6}{x^2+3x4}$解：将分子分母同时除以$x^2$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^25x+6}{x^2+3x4}=\lim_{x\to\infty}\frac{1\frac{5}{x}+\frac{6}{x^2}}{1+\frac{3}{x}\frac{4}{x^2}}$$当$x$趋向于无穷大时，$\frac{5}{x}$，$\frac{6}{x^2}$，$\frac{3}{x}$，$\frac{4}{x^2}$都趋向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^25x+6}{x^2+3x4}=\frac{1}{1}=1$$10.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}$解：这个极限可以通过洛必达法则来求解：$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{1}=\frac{1}{2\sqrt{1+0}}=\frac{1}{2}$$这些是高等数学课后习题答案的第一部分的续集，希望对你有所帮助。如果有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时联系我。高等数学课后习题答案第一部分：极限与连续（续）11.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinhx}{x}$解：由洛必达法则，我们有：$$\lim_{x\to0}\frac{\sinhx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\coshx}{1}=\cosh0=1$$12.判断函数的连续性：$h(x)=\begin{cases}x^3&\text{if}x\text{isrational}\\0&\text{if}x\text{isirrational}\end{cases}$解：函数$h(x)$在任何有理数点$x$处连续，但在任何无理数点$x$处不连续。因为当$x$趋近于某个有理数$a$时，$h(x)$趋近于$a^3$，所以$\lim_{x\toa}h(x)=h(a)=a^3$，即$h(x)$在有理数点连续。但对于无理数点，$h(x)$的值始终为0，因此不满足连续性的定义。13.求极限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{e^x}$解：将分子分母同时除以$e^x$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^2}{e^x}+\frac{1}{e^x}}{1}$$当$x$趋向于无穷大时，$\frac{x^2}{e^x}$和$\frac{1}{e^x}$都趋向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{e^x}=0$$14.求极限：$\lim_{x\to\infty}\frac{x^33x^2+2x1}{x^3+4x^27x+1}$解：将分子分母同时除以$x^3$，得到：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^33x^2+2x1}{x^3+4x^27x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1\frac{3}{x}+\frac{2}{x^2}\frac{1}{x^3}}{1+\frac{4}{x}\frac{7}{x^2}+\frac{1}{x^3}}$$当$x$趋向于无穷大时，$\frac{3}{x}$，$\frac{2}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$，$\frac{4}{x}$，$\frac{7}{x^2}$，$\frac{1}{x^3}$都趋向于0，所以：$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^33x^2+2x1}{x^3+4x^27x+1}=\frac{1}{1}=1$$15.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{e^x1x}{x^2}$解：这个极