机械振动学课件

《机械振动学》（研究生）（46学时）

内容与实施计划：

PartI.线弹性系统的振动

Chapterl.多自由度系统的振动分析

Chapter.弹性体的振动分析

Chapter.多自由度系统的特征值、特征向量的计算

Chapter.振动分析的数值方法

PartII.随机振动

Chapter!.随机过程概论

Chapter2.随机过程的时域分析

Chapter.随机过程的频域分析

Chapter4.系统的响应函数

Chapter5.系统的随机振动分析

Chapter6.结构随机响应的安全评估

PartHL系统的参数识别（4学时）

参考文献：

[1]季文美《机械振动》科学出版社

[2]郑兆昌等《机械振动》（上、中册）机械出版社

[3]Meirovitch.LElementofVibrationAnalysisMcGrow-Hi11

PartI第一篇线弹性系统的振动

特点：(1)系统的恢复力和阻力分别于位移和速度成线性关系：

kxex

(2)迭加原理成立；

第一章多自由度系统的振动

研究对象：多自由度系统-----有限多自由度的离散系统

离散系统-----其运动力学模型以集中参数表示，弹性元件无惯性，

惯性元件无弹性

数学工具：常微分方程、线性代数

§1.系统运动微分方程

一、方程：

对于n个自由度系统，其振动微分方程的最一般形式为：

[M]{%}+[C]{x}+[KiX}={F}(1)运动平衡方程

这是一个二阶常系数线性非齐次微分方程，称之为阻尼受迫振动方

程

一般地，对于线弹性系统，[M]、[c]、[K]均为实对称矩阵，即：

[MJ=[M],[cr=[c]^w=w

说明：下面的讲解中，x=x(f),W=W(f),无=地)，T7二人。

(1)若系统无干扰，即忸}={0},则方程为：

MH—}+[K]{x}={0}(2)

(2)式为阻尼衰减自由振动方程(在初始干扰下的振动)

若系统无阻尼,即仁卜{0},则方程为：

[M]{X}+[K]{X}={/}(3)

(3)式为无阻尼受迫振动方程(忽略阻尼的理想系统)

若系统既无阻尼又无干扰，即{川={0}，[C卜{0},则方程变为

[M]{X}+[K]{X}={O}(4)

(4)式为无阻尼自由振动方程，这是运动方程的最简形式

可见：[〃]、[K]是产生振动的最基本的原因

二、建立方程的方法

1、牛顿第二定律及其推论(质心、动量矩定理，动静法)一理论力

学中方法，适用于质点系和刚体。

例1.图示三自由度系统：

以系统的静平衡位置为坐标原点，取分离体:

XXi

KgX）

C3

由牛顿第二定律，即：核=，f

有：相比丁一亿%+42&2一%）-6为+£2&2-元）+/

根212二一左2Gt：?一元）+攵3（¥3一12）-CGa一元）+C3G3一'2）+/2

加3工3=一左3&3一12）一。3&3—几）+/3

用矩阵表示为:

0000

m]XiG+G-GXik、+k]—k2X

00—C2C2+C3+-%3%2

m2X2T一。3x2+-k2k2k32

00.焉0—C3焉0

m3_c..—k?.k、.X3.3.

可以简记为:

W{x}+[c]{x}+[K]{X}={F}

由此可见，［M］、仁］、［K］均为实对称矩阵。

2、影响系数法（柔度法、刚度法）--结构力学中的方法，适用于

以集中质量表示的弹性体作自由运动的情况。

（1）柔度法：通过弹性体的柔度影响系数建立位移（变形）与外

力之间的联系一力法

例2.图示具有2个集中质量的简支梁，设在集中力力，作用

下，nil、加2处的挠度分别为、工2。

由结构力学的力法方程（位移分别迭加）可得正则方程（位移方

程）为:x^rnf+r^f.

%2=心/+%2/

矩阵表示为：JX，

I-X2J

即：｛%｝=网｛/｝一位移方程，其中因为柔度矩阵，其元素.称为

柔度影响系数，表示仅在系统的第j个坐标上作用单位力，在第i

个坐标上引起的位移。

由位移互易定理（麦克斯韦尔定理）

••・冈=阿

（柔度影响系数几可以通过实测或单位力法计算获得）

若此梁作自由振动，则梁上的作用力只有惯性力，由动静法（达

伦贝尔原理）：/=-m,x（i=l,2…），代入位移方程（5）中，经

o

n,八2帆XiO-

整理，得到:Xi<>(6)

00

r2im2X.

x2.

即：[R][M胀}+{x}={0}--以柔度矩阵表示的系统自振动方程

（2）刚度法

通过弹性体的刚度影响系数建立外力与位移（变形）之间的联系

一位移法

例3同前例2,

由结构力学的位移法可得正则方程（力方程）为：（力的分解与迭

.「乙X+左2X2

九=匕西+匕212

kwkn

矩阵表示为：.?(7)

J2.ki\kn_X2.

{7}=[K]{1}——力方程

其中[K]表示为刚度矩阵，其元素K称为刚度影响系数，表示仅使第

j个坐标上产生单位位移，需在第i个坐标上施加的力。它可以通过

单位位移计算获得。

由反力互易定理:

,ky~kj,

若此梁作自由振动，作用梁上的力只有惯性力，且/「-想北

ki2X\。

<>=<>(8)

oW2JIX2J1^21k?2_工2.Q

即：|/n]㈤+同{%}={0}

关于［K］、同阵的讨论：

①国］为正定或半正定阵，即|［灯20

证明：用g(x)7■左乘方程(7),得到：

=g(x)T［K］{x}

V________7____________________7___________/

左端是外力功之和系统的弹性势能U

*/W>0

•.U=^x］T［K］{x}>0

即二次型对应的矩阵为正定阵或半正定矩阵。

若系统约束充分，无刚体运动，［K］为正定；

若系统约束不足，有刚体运动，［K］为半正定；

②［K］与网阵的关系

对于同一问题，虽然以柔度和刚度矩阵表示的系统的自由振动的

微分方程的形式不同，但二者的本质是相同的，因为它们描述的是同

一系统的振动规律。事实上，二者是可以相互转化的：

将方程6改写成如下的形式：{x}=-［即0］{母，并代入方程8中，

得到：

［M网-团同加］{X}={0},（［小［灯硼“陶={0}

•••［加卜0,

・•.［K］因=［/］

即［K］、四互为逆阵，［K］=［R『

若系统有刚体运动（约束不足），则对应的矩阵国］为半正定的，

即因=0,其逆阵网=/『将不存在。

因此，对于弹性体正定或半正定的系统，其［K］存在，但对于半

正定系统，其冈将不存在。

3、拉格朗日方程方法--分析力学中的方法，它是利用广义坐标、

广义力，以能量的观点来研究系统的动力学问题，从而具有较大的普

遍性，适用于复杂的多自由度系统（关于拉氏方程的推导，可参阅季

文美《机械振动》Ch8,P318）

拉氏方程的一般形式为：（对于n自由度的系统）

ddTSTdUS3八/・io\/\

-------；---------+——+（j=l,2n）（9n）

dd

以［河JQ）网」Q,，

其中?、〃表示第j个广义位移和速度。

T=g£[囚]£J为广义坐标下系统的动能

U='{q}7[K]{q}为广义坐标下系统的势能

2表示第j个广义非势力（重力外的力），

1

E〃0

-C炉

夕=2初，[,向＞=iZ•

由此拉氏方程可导出振动系统运动微分方程的一般形式一阻尼受

迫振动方程。

若系统无阻尼，即[c]=0,则3=0

若系统为保守系统，贝“夕=0,Q=0（j=l,2……n）（无非势力）

特别说明：

（1）若系统的静平衡位置为势能零点，则U中只需计算弹性势能；

（2）计算T时需用绝对速度

（3）阻尼力和相对速度成正比

例4同例1的三自由度弹簧一质量系统

解：用拉氏方程建立系统的运动方程：

取：H、羽、阳、羽为广义坐标，以静平衡位置为势能零点

+

动能为：TY+Y2+T3^^kiXi'^k2X2

势能为：u=Ui+a+a=；左产;+；匕（明-匕（为一%）2（以静

平衡位置为势能零点）

耗散函数S=]ClX：+C2（X2—X1）2+C3Q3—X2）2（阻尼力与相对速

度成正比）

非势广义力：Q=f,（j=l,2,3）

代人拉氏方程（9）

“空］."+也+皿

或［殉Jdq8%dqj

得到系统的运动方程为（以矩阵形式表出）

o0+—kio

m1无a+C2一。2XxkikiXi

++

m"+~cCiC3一。3x2—kk2k3-k3\x2•

222

o0o

m3_焉一。3C3X,一匕

例5自由度转子系统（半正定系统），用拉氏方程建立系统运动方程

解：取各转子的转角o、a、&、a为广义坐标，以静平衡位置为势能

J3J4

r*-i

K\K.

吊占&02&a

夺点。

动能：TjjidJ+Jz"+"32+^42

\/

势能：u=；k（%-ej+k用-幻2+L®「幻2]

因为是保守系统，所以3=0,Q；=0（j=l,2,3,4）

代入拉氏方程得到系统扭转自由振动方程:

e、

-一

盛

E。r

oKGo

—1

J.e

O亿o

22-此2-2

、+.

<>=<

左

e二o

33223

OO上

J。4O

4-3一<

-X一

显然因系统的约束不足，具有刚体运动（整体转动）一自由转子

故刚度矩阵［K］为半正定矩阵，其逆阵因不存在

§2方程的静、动力耦合

一、静、动力耦合

在系统运动方程［M］八］+仁］"卜［K］{x}={F}中：

1.若［K］为非对角阵，即上产0,则系统为（静力耦合）弹性

耦合的，例4、例5中的［K］阵均是三对角阵，这反映了串

联质量系统的弹性耦合特性。

2.若［M］为非对角阵，即〃2产。，则系统是（惯性耦合）动力

耦合的，对于串联质量系统，［M］是对角阵，如例1、2；

对于非串联系统，囚］通常不是对角阵。

3.［C］为非对角阵，即C,产。，则系统是（速度耦合）动力耦

合的，如例1系统。

显然，对应于具有耦合关系的系统运动方程是一个联立的二

阶微分方程组，需要注意的是：方程耦合与否取决于选定的广义

坐标系，而与系统的固有特性无关。为了说明之，现举一个简单

的例子。

例6.汽车车体用质量为m的刚性梁表示，轮子简化为弹簧七、k1，

建立车体在铅垂平面内的运动方程。

解：取静平衡位置为坐标原点，因为只考虑车体在铅垂方向的上下

运动和俯仰运动，因而在运动过程的任一时刻，可用车体上某一点的

铅垂坐标与车体绕该点的转角就可以完全确定车体的位置，这样车体

可简化为一个二自由度的系统。

(1)以质心C的铅垂坐标儿和转角。为广义坐标，即(x，6)

以系统的静平衡位置为坐标原点，由拉氏方程建立系统的运动方程,

用矩阵表示为:

代人保守拉氏方程中得:

TkL-kJ)Jx0

0JjlJ[-出心-左/)亿/「+江一)向0

可见,由于二“ku。rj),故以为广义坐标建工的系统运

动方程是弹性（静力）耦合的。弹性耦合的含义是，每一个广义坐标

的运动不能独立发生，即每个坐标值的改变将必然引起其余坐标值的

改变。

若仅有平移运动王，则引起弹性力怎％和总%，它们对质心C点

之力矩为：£m<=-kixji+k2xj2=（kj「k,l）x1°，（除非

（攵2/2-4|/）=0）由于力矩不为零，必然要引起刚体的转动，从而必然

会引起转角0.

反之，若仅有转动运动6,则必然引起弹性力_/16人]和八夕上，

它们在铅垂方向上投影之后，£匕=-1*3+12心6」「鼠1他八

（除非々2,2-4/）=。）由于合力不为零，必然要使刚体在X方向上

发生位移，从而引起位移x。

（2）以刚体的刚度中心E点的纵向坐标元和转角。位广义坐标，

（元超）

心为刚度中心，是刚体作平移x时两弹簧力合力的作用点。可由理

论力学中两同向平移引起之合力性质确定。

有坐标转换关系：

l'=l「eh=l1+e

+el=<

'li=l2^h=l「e

+eee0

XE=X,[X<=XK-

2

由惯性平移定理得：JE=J+me

]21*21*/,J-5*2

T=2机北「+耳=2m（XE_®+3（”，叱）6

++力=；%刈匕。］2

U=^k\xEl\\kSxE~h1kg+Qi-eLvE-Qz+e）

对E点建立系统的运动方程为：

m0UIo

12.25><>

-me+0

kd}kll2

可见，由于乂=0,加产0小力，故以刚度中心和转角（咒⑼为广义

坐标系建立的系统的运动方程是惯性（动力）耦合的。

与弹性体耦合的意义相类似，惯性耦合的力学含义是：每一个广

义坐标的加速度是不能独立发生的。

（3）以刚体的一端A的坐标羽和转角。为广义坐标，即（元,6）

|羽=乂+'/|,

+m

[JA=JcC

代入T,U中，再代入方程（9）,得到最终的矩阵形式表达的运动方

程为:

m焉]+[左+七l

k2XxLf°\

叫LkkFeJ[o

可见，左产。,〃2产0，。工）），即以（X.,。）为广义坐标建立的系统的运动

方程既有静力（弹性）耦合，又有动力（惯性）耦合。这是方程耦合

最一般的形式。

从上例讨论可知，对于同一系统，由于选取的广义坐标系不同，所

建立的系统运动方程的表达形式也是不同的，即方程表达式取决于坐

标系的选取。但是，由这些不同坐标系所求的系统的运动特性（固有

频率、振型）都是相同的，因为系统的固有特性是由系统的物理参数

决定的，而与坐标的选取无关。

这类似于一个既定物体的运动（如圆周、曲线运动），对于不同的坐

标系（如直角、自然、极坐标系），其运动方程和轨迹方程的表达形

式是不尽相同的，但是所描述的物体的运动规律是相同的。轨迹曲线

的形状只有一个，它不因坐标系的选取而改变。

事实上，一个系统的运动方程的表达式随不同的坐标而改变，恰恰

体现了系统本身力特性不随坐标而改变的重要本质一形式变而本质

不变的辩证思想。（变是为了不变的思想）

二、主坐标一使运动方程既无静力耦合又无动力耦合的一组广义

坐标，即成为无耦合的坐标系

在主坐标中，系统运动方程中的［M］、［c］、国］都成为对角阵，从而

系统微分方程成为一组彼此独立的微分方程组，每一方程（成为单

自由度系统运动方程）可独立求解。

对于任何振动系统，总存在着主标系，有些且不止一组。利用线性

变换的方法，将其变换成主坐标系，即通过线性变换可使方程组去

耦，这类似于解析几何中二次曲线的标准化过程（二次型化为标准

的过程）。

22

在oxy坐标系下，Ax+By+Cxy+Dx+Ey+F=0,通过坐标

变换，使原方程在主坐标系o'x'y'下，成为如下的形式：

ax'2+by'2~\=0

当然对于多自由度系统的线性变换没有这样简单，具体的方法将在

学至主振型时再详细介绍，这里先给出方法。

示意图：

非主坐标系3^1主坐标系与此同时，耦合方程—』非耦合方程

这是一个同步的过程。

第一讲结束！

§3.固有频率、主振型(特征值、特征向量)

系统在无阻尼自由振动时的动力特性---固有特性(固有频率、主

振型)是多自由度系统振动的关键，故先讨论之。

n个系统的无阻尼自由振动方程式：

[MK+[K]{X}={0}(1)

无阻尼自由振动也成为简谐振动，故设解的形式为：

{x(f)}={x}sin(pf+。)(2)

其中{X}一振幅列向量，p—固有频率，0—初相角

即各坐标以不同振幅、同频率、同相位做简谐运动

将(2)式代入方程(1)中得：

-p'\M]{X}sin(pt+</))+\K]{X}sin(pt+</>)-{o}

([K]-p2[M]){x}={0}(3)振型方程

{X}={O}表示静止的状态，因此(3)是以{X}为未知解向量的线性齐

次方程组，{X}有非零解的充要条件是：

|[/C]-P2[M]=O（4）（特征方程或频率方程），以p?为未知量的n次

代数方程，从中解出方程的n个根（特征值）为：

p<p<p<p<p（按从小到大的顺序排列）

数学上可以证明：当系统为正定系统时，其特征值〃,〉O（i=l…〃）

p,为系统的第i阶固有圆频率，固有频率计算公式为：

力备=1…〃）

将p,«=1…〃）分别代入线性方程组（3）中，求得解向量（特征向

量）为：

{x}j（i=l…〃）一系统的第i阶主振型，表示系统以第i阶固有频率

作自由振动时各点的振幅比值（振动模态）

例,=（耳,羽,羽7,"尸其分量为X.,天釐:宿

」u一衣不蜘军阴双

由线性方程组理论可知，若{X},是方程组（3）的解向量，则a{x}j（a

是任意常数）也是方程组的解向量。为此可将每一个解向量（主振型）

做归一化处理，如用每一个解向量中的最大（小）元素通除向量中各

元素。

将n阶主振型向量，按固有频率顺序组成一个n阶方阵，记为：

忸卜[闺依为……{X}}一振型矩阵

注：（1）n个自由度的系统有n阶固有频率和11阶主振型（数学上

称为特征值与特征向量问题，是线性代数计算方法研究的主要内容，

在实际中常用数值方法求解）

(2)固有频率和主振型仅由系统本身的物理参数([〃]、[K])确定,

而与初始条件和干扰力无关

(3)主振型表示系统以某一固有频率振动时各点振幅相对值(振动

模态)，而并非为各点振幅的绝对值。

例7.图TF弹黄质量系统：已知：加।=2m,加，=1.5见加③=m，

k、=3k，k[=2k，k3=k

求系统的各固有频率p,和主振型｛X，

解：选取系统的静平衡位置为坐标原点，取刘为广义坐标

系统的自由振动方程为:

2m0X^Xio'

1.5mX1二<0>

0m

x3J1°

其对应的振型方程为：肉-/丹町=0(*)

5k-Imp2-2k

其特征方程为：一2k3k-1.5mp2-k=0

-kk-mp~

展开后，整理得：

p6-5.5-p，+7.5(-)2p2一2(-)3=0

mmtn

用数值方法解得三个根(固有频率)为：

2k2k2k

n=0.351—,n=1.61—,n=3.54—

123

卜加卜m卜m

将p：(i=1,2,3)分别代入线性方程组(*)中，即(四-p：[M])｛X｝尸｛0｝,

解得对应的特征向量（主振型）为：（为了便于比较，将每一主振型

中的第三个分量取基准1）:

{X(0.302,0.649,1)7=(羽，心，汝了

{Xk=(-0.679,-0.607,1/=(y2,%2，％J

r

{X}3=(2.440,-2.542,l)=(X13,X23,X3y

[p]=[{x},,{x}2...{x}„]

主振图（模态图）为:

结论：节点数=振型阶数-1

对于位移方程（运动微分方程的反形），亦可进行类似上述的分析。

设系统为正定系统，方程为：

[RfM]{珀)}+{x(f)}={0}(4-20)

令其解为：{x(f)}={x}sin(pf+0),代入上式，得:

-p2[R^M]{X}sin(pf+°)+{X}sin(pf+0)={o}

—p2因M{x}+{x}={0}

(P2[4M]-[/]){X}={0}

（[D]--^[/]）{x}={0}

其中，为系统的动力矩阵

令:4=则（回-4/]双}={0}（*）（振型方程）

P

{x}w{0}的充要条件为：g]-4[/]=0此即为频率方程、特征方程

展开后为几的n次代数方程，可解得特征根为4：

A,>/U>••->A,（从大到小排列）

由于4=3，有

Pi

将4（i=l.2……n）依次代入到方程（*）中，解得对应的主振型为：

{x}„{x}2..■{%}„

从而振型矩阵为[p]=[{x},{x}2…{x}"]

例8.-一个三自由度的简支梁，已知=m2=根3=机，求

解：以系统的静平衡位置为坐标原点，取广义坐标为次],工2，工3

用柔度法建立梁的自由振动方程：

闻团{而）}+{刈）}={0}

补充知识：由材料力学公式，各柔度系数为：

A△

1

工

(i=1,2,3)

3EJI

(i=1,2,3)

6EJI

9117

rn3

因此，得到：因11,非奇异阵

r>1116

2768EJ

心7119

mi0

=mm[I]

m2

o根31

9117

ml3

动力矩阵［。］=111611

768£J

7119

振型方程：（网-々［〃心上新（*）

如前所述，特征方程为：（⑸-zl［/］）{x}={0}（A萼冬），从中解得2

mlp~

的三个根：%=31.556,九=2,九=0.444

・0=4L6EJ

Pi=4.935'A=196

ml2

将%«=1,2,3）分别代入振型方程，解得对应的主振型:

㈤尸。V21)

因2=(-101)

⑻3=(1-/if

1-11

则对应的振型矩阵为：[p]=[{X{x}2,{x}3]V20-V2

111

主振图（模态图）为:

无节点

P1振型

一结点

P2振型

二结点

P3振型

振型的对称、反对称是由于结构的对称性（刚度、质量、约束）而

造成的。

结论2：对称结构，其奇数次振型均为对称的，其偶数次振型均为

反对称的。

关于对称结构，有3种对称类型：（1）几何对称：形状、尺寸等;

（2）物理对称：刚度、质量（惯量）；（3）约束的对称性

§4主振型的正交性、方程解耦

一、正交性

设n个自由度的正定系统，其n个特征对为:

222

0<<<

P,<P2-Pn

{x}„{x}2,..•{%}„

由系统的特征对应满足的齐次线性方程组(振型方程)为：

(由-p2[M]){xH0}n[K]{x}=p2M阿}

对第i个特征时：阳{X'=P2M{X}，(1)

对第j个特征时：[KRX}/=P2M{x},(2)

用{x}[前乘(1),得：{X}L[K]{X}产p2{x}lM{x},(3)

T

用{X。前乘(2),得：{X}\[K]{x}j^p{x}i[M]{x}j(4)

因为M=、优卜[灯,因此⑶、(4)式中的二次型({Lr[L{L.)

均是个1x1矩阵(即为一个数)，其转置就是其本身，即：

{X}八K]{X},=({X}/[K]{X}J={X}：[灯网={x}：[K]{x}j

TTT

{X}/[M]{X},=({x}J[M][x}i)={X},[M^{x}j={XV[M]{X}

利用上述2式，由(3)-(4)式得：

(p；-p》{x}：M{x}j=0(i*j=1,2…〃)(5)

因为无重根，即P/P,-2…〃)

故{X}：[M]{X}J=O,(iwj=l,2…“)(6)

这表明：各阶振型是关于正交的

将(6)式代入(4)式中，有:{X}：[K]{X}J=O,(iwj=l,2…〃)(7)

这表明：各阶振型矩阵是关于[K]正交的。

正交性的物理意义是：各阶主振型关于囚]和[K]阵的加权正交性反

映各个不同的主振型之间既无惯性耦合又无弹性耦合。

(6)式反映了各主振型振动之间无惯性耦合；

(7)式反映了各主振型振动之间无弹性耦合；

例：设系统的第i阶主振动位移为：{X(t)},.={X},sin(pj),速度为：

={%},p,cos(pj),加速度为：仅(理=-{%},p：sin(pj),系统的

惯性力为：{/'},=-［M］{其(f)}=［M］{X}‘p：sin(p/),第j阶主振动的微位

移为：{dX}/={又}"={X}//CospM，则第i阶惯性力{/},在第j阶

位移{dX},上所做功为：

MX}：{7},.=|X}；M{X}‘pp「cosp/sinpj=0

―^0-

这说明：各主振型之间不存在惯性耦合。同理，由［K］的正交性可得

各主振型之间亦不存在弹性耦合。

将;M{X}J，；［K］{X}冷别视为第j阶的广义惯性力和广义弹性力向

量(均差系数为1/2),则:

」{x}；M{x},=o,(i”-第j阶广义惯性力在第j阶主振型上做功为零

2

g{x}1K］{x}j=0,(iHj)-第j阶广义弹性力在第j阶主振型上做功为零

即：第j阶广义惯性力对于其他主振型不发生作用，即任何两个主

振型之间不存在惯性耦合和弹性耦合，从而各阶主振型的能量(动能、

势能)彼此独立，各主振型之间不发生能量的交换。

二、主质量、主刚度矩阵

用{X}：前乘(1)式，得：{X}：［K］{X},=p；{x}；M{x}j(8)

由于系统为正定的，即［〃］、［K］均为正定阵，则上式两端均恒大于

0。

左端：{X}：[K]{X},=(££M,X“X加)>0

Im

0

右端：{x}；[M]{Xt£mh„XnxJ>

Im

定义如下:

{x}；［〃］{x},gA/,（i=l,2,…”）为系统的第i阶主质量（广义质量）

{x}；［K］{x}£K,（i=l，2,…〃）为系统的第i阶主刚度（广义刚度）

将（9）、（10）代入（8）中，得:

r_Ki6=12…

八一丽丽厂加）(ID

即系统的第i阶固有频率的平方等于第i阶主刚度与主质量之比。

若主刚度K,Tn

若主质量Tnp；J

这与单自由度系统固有频率与刚度、质量之间的关系完全相同。

用振型矩阵用和其转置阵［P『分别左乘和右乘［M］,则有:

T

IP][M}P]=[M][{%},{X}2-{X}n]

■{X}[[M]{X},{X}；M{X%…{X}[[M]{X}„

={X}[[M]{X},{X}^[M]{X}2…

(12)

_{X}：[M]{X},.........................{X}[M]{X}“

M.o-

由正交性(6)和定义式(9>"2.

一°M

=diag(加JJ，。=1,2…”)

主质量矩阵（广义质量矩阵）

从数学角度看，上式即用振型矩阵［p］对［M］阵进行线性变换（正交

变换），使其变成对角阵，该对角阵即为主质量矩阵。

同理，利用振型矩阵关于刚度阵的正交性，可对［K］进行对角化，即：

［尸叫打尸］=」*}；阳［用{X%…{X},』

={X}；［K］{X}{X}；［K］{X}2…；

：；•.：（13）

_{X}：［K］{X}.....................{X}；［K］{X}“_

K。-

由正交性（7）和定义式（10）K?.

一。K“一

=diag（K）=［Kp］，*=12…〃）

主刚度矩阵（广义刚度阵）

将系统的n个特征值排成n个对角阵（特征值矩阵）

o

M,

K?

M2

K„

M..

o

田0-

i

K

拓2

1[0KN_

o而二

M,］'IK^［K,］M71（又寸B车芯、五\彳聿）

即特征值矩阵等于主刚度矩阵与主质量矩阵的逆阵的乘积，故若可

求得系统的主刚度和主质量阵，可由此式求得系统的全部固有频率。

三、正则（标准）振型矩阵

由于主振型{X},中的各分量仅反映了系统以第i阶固有频率振动时，

各质点振幅的相对比值的大小，故各分量均增大或减小若干倍时，并

不能改变各质点振幅的相对比值的大小，即若{X},.是系统的一个特征

向量，则a{x}j（awO）也是系统的一个特征向量。因此将{x},.做如下所

谓的正则化（标准化）处理：

令：—{X}IA{X},.（?=l,2---n）（15）

M=

其中，第i阶正则化因子，取其值使得：

例=1,（，=1,2…〃）（16）

国-第i阶正则振型

若使得{%}：［〃］{%},=l,（i=l,2…〃），将（15）代入（16）,则有：

—T屋}；M{夕}=­T〃；=1，（i=1,2…〃）

2

=冉=Mi,从中解得：M=±Jj^,（i=i2-〃），计算时取正值，

〃,=麻,（i=l,2…〃），即第i阶正则化（标准化）因子等于第i个主

质量（广义质量）的平方根。

将n个正则振型列阵按序排成矩阵，就组成了系统的正则振型矩阵，

称：同=［用，闻…闻］为系统的正则振型矩阵。

同仅是将［P］中的各列分别进行了正则化处理的结果，而并不改变振

型关于以［M］和［K］阵为权的正交性，故有：

［PJ［M］［户珈阵分块.囚]版}{X}2-{%}„]

—UK

■Mx*

.[/wj—{X},-{X}2…—{%}„

4.

%

—{x}I

A

—^{X}：[M]{X}2

A,4N

—^{X}；[M]{X}.]

{X}：[M]{X}2

44.

1

{X}：[M]{X}2-Mxgh},

4,—

-FMi0(17)

A.

10

—M2

1

〃2=[/]

1

工Ma

01

]

0M

4：4

由（17）可知，用正则振型矩阵同对［M］阵进行线性变换得到的正

则质量矩阵为同阶的单位矩阵。

同理，用同对［K］阵进行线性变换，则有:

闻-

-

口

4{X

-UK

山3

4{X}；[K]{X}二一{x}；[K]{xk...」一{x}：[K]{x}.

A,氏L"MK

-^-{X}；[K]{X}-L{x)n^]{x}2--^侨；网俗“

以从%"从

—^{x}：[K]{x}」一黑}：四团2…-1T{X}；[K]{X}“

以串\44

&0

M.(18)

K22

由正交性及/2=MjM亿

22

JGp.

M.

o旦

由（18）式可见，用正则振型矩阵同对［K］阵进行线性变换得到的正

则刚度矩阵即为特征值矩阵［A］。

四、方程解耦（坐标变换）

设n个自由度系统的自由振动方程为:

［〃］便}+［K］{x}={0}（19）

由于［M］、［K］一般都是非对称阵，故上式为n个既有惯性耦合又有

弹性耦合的联立的二阶线性微分方程组，直接求解是非常困难的。

由§2可知，若用一组坐标来描述系统的运动方程，是既无惯性耦

合又无弹性耦合的，即可使方程解耦。

对于任何振动问题，总存在着主坐标，有些且不止一组。问题的关

键是：如何寻求一组主坐标？而这可以通过坐标变换（线性变换）

来实现，即通过线性变换使得方程解耦。实行何种的线性变换？我

们由系统振型［P］关于［〃］和［K］的正交性得到启发，可令线性变换的

关系式为:｛x（f）｝=［p］｛z（f）｝（20）

其中｛z（t）｝是系统的主坐标

将（20）代入到（19）,并前乘伊匚则有:

［P『［M］［P磔）｝+同因忸^⑴｝=｛0｝

利用振型矩阵以囚］和［K］为权的正交性，即（12）、（13）式，则得

去耦方程为：［肘次）｝+卜上0）｝=｛0｝（21）

M,

展开后，M。（21）

0

由于主质量矩阵同和主刚度矩阵间均为对角阵，因此方程（21）（以

主坐标忆⑴｝表示的系统运动方程）是一组彼此独立的二阶微分方程

组，既无惯性耦合，又无弹性耦合，（21）式的分量表达式为：

MZ,+KiZt=00=12•••«）（21-a）-单自由度系统自由振动方程

%+令2/0（1=12-〃）2

即：2+p,Zj=0（i=l，2…〃）

解方程（21）相当于解n个单自由度系统的自由振动方程，解忆⑺｝

易于求解，但是这些解是利用主坐标描述的系统的振动规律，主坐标

的解并不是系统在振动中的真实位移，而原物理坐标的每一分量才明

确代表一质点的运动。为了求得系统在原物理坐标下的运动卜⑺},只

需再次利用线性变换关系式（20）,当忆（川求得后，系统在原物理坐

标系下的运动即得:{x（r）}=[p]{z（z）}

为了理解线性变换（20）的意义，将其展开表为：

[{x},{x%…仰,,归"=/网+与（汹2+...+&（妙}“=/，（网,⑵）

•/=1

可见系统在原物理坐标系下的任一时刻的位移{x（f»总是可以表示为

n个主振型的线性组合，而组合系数就是n个主坐标Z,（山=L2…〃），

它们分别表示对应的主振型在位移{3）}中所占有的比重，例如：

若Z,=l，其余全为零，则有：

{x}=o.{x}+o.{x}2+...i.{x}j+o.{x}”..+o.{x}“={x}j

即此时系统位移{X}就等于第i阶主振型{X},之值

在线性变换式（20）中，若将振型矩阵取为系统的正则矩阵，即令

线性变换为：{£/）}=同Z（f）}（20，）

代入系统方程（19）中，并前乘同，则有：

同M同之}+同的回忆}={0}

由（17）、（18）式，则有解耦方程为：团团+[A]{z}={0}（2r）

其分量表达式为：Z+p：Z,=0，G=l，2…〃）（21'-a）

（21，）式亦可由（21）式直接推得，即用何『前乘（21）,则：

方胆}+.础z}={0}

即得：{2}+[ARZ}={O}

例(季文美《机械振动》P218)对于2自由度的复摆，参数见图

求复摆自由振动的解耦方程

解：取广义坐标为：(x,,X2)

(IX复摆的微幅自由振动方程为:

/°国+超3T卜“二°

丫IL-i1JU2Jloj

也(a)

(2)、求R,{%},.(i=l,2)

由特征