数学导学案：平面向量基本定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2．3。1平面向量基本定理1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．2．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义．1．平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2,使a＝__________,其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．（1）这个定理告诉我们，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和,且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的,即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0.（2）对于固定的e1,e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．【做一做1】在平面四边形MNPQ中,下列一定可以作为该平面的一组基底的是（）A。eq\o(MN，\s\up6(→))与eq\o(MP，\s\up6(→)） B.eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(QP，\s\up6(→））C。eq\o（MQ，\s\up6（→））与eq\o（PN，\s\up6（→)) D.eq\o（QN，\s\up6(→))与eq\o（NQ，\s\up6(→）)2．向量的夹角（1)定义：两个非零向量a和b,且eq\o(OA,\s\up6（→))＝a,eq\o（OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a和b的夹角(如图所示)，范围是____________．当θ＝0°时，向量a和b______；当θ＝180°时,向量a和b______.(2）垂直：如果向量a和b的夹角是______,我们就说向量a与b垂直，记作__________．【做一做2】在等边三角形ABC中，eq\o（AB，\s\up6（→）)与eq\o（BC,\s\up6（→)）的夹角等于()A．60° B．90° C．120° D．150°答案：1．不共线λ1e1＋λ2e2基底【做一做1】A由于eq\o（QN，\s\up6(→））∥eq\o（NQ,\s\up6（→）），则不能作为基底，所以选项D不能作为基底；当四边形MNPQ是平行四边形时，eq\o（MN,\s\up6(→））∥eq\o（QP,\s\up6(→)），eq\o(MQ,\s\up6(→））∥eq\o(PN，\s\up6（→））,所以选项B和C都不能作为基底;很明显eq\o（MN，\s\up6（→))与eq\o（MP，\s\up6(→）)不共线,则可以作为基底,故选A。2．(1）0°≤θ≤180°同向反向（2）90°a⊥b【做一做2】C延长AB到D,使AB＝BD，如图所示，则eq\o（AB，\s\up6(→））与eq\o（BC,\s\up6（→）)的夹角等于∠CBD.又∠ABC＝60°，则∠CBD＝180°－∠ABC＝180°－60°＝120°，所以eq\o(AB，\s\up6(→））与eq\o（BC，\s\up6（→））的夹角等于120°.1．理解平面向量基本定理剖析:（1）e1，e2是同一平面内的两个不共线向量．(2）对给定的向量a，实数λ1,λ2存在且唯一．实数λ1,λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．（3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不唯一．一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的分解是唯一的．（4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即同一平面内任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合．（5）零向量与任意向量共线，故不能作为基底中的向量．2．理解向量的夹角剖析：(1）由于零向量的方向是任意的,因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直，因此不讨论与零向量有关的夹角问题．（2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC不是eq\o（CA,\s\up6（→))与eq\o(AB，\s\up6(→）)的夹角,∠BAD才是eq\o(CA,\s\up6(→）)与eq\o(AB，\s\up6（→))的夹角．＜0时，θ0=180°－θ；当λ1λ2＞0时,θ0=θ题型一判断向量的基底【例1】设e1，e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量：①e1与e1＋e2;②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是________．(写出所有满足条件的序号）反思：根据平面向量基底的定义知此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题．若不共线,则它们可作为一组基底;若共线，则它们不可能作为一组基底．题型二作两向量线性运算的结果【例2】如图所示,已知基向量a，b，求作向量3a－2b分析：分别作出向量3a和－2b,再用平行四边形法则作出它们的和反思:已知向量a，b，求作λ1a＋λ2b（λ1，λ2∈R）的步骤：(1）作eq\o(OA，\s\up6（→）)＝λ1a，eq\o（OB,\s\up6（→))＝λ2b；（2）作OACB，eq\o(OC,\s\up6(→)）就是求作的向量．题型三用基底表示向量【例3】如图,梯形ABCD中，AB∥CD,且AB＝2CD，M,N分别是DC和AB的中点,若eq\o（AB,\s\up6（→）)＝a，eq\o(AD,\s\up6（→）)＝b，试用a，b表示eq\o（DC,\s\up6(→）），eq\o(BC，\s\up6（→）),eq\o(MN,\s\up6(→))。分析：由于DC∥AB，则eq\o(DC，\s\up6(→)）∥a,eq\o(DC，\s\up6(→）)＝λa；构造三角形和平行四边形，利用向量加法、减法的运算法则来解决．反思：用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来．解决此类题时,首先仔细观察所给图形．借助于平面几何知识和共线向量定理,结合平面向量基本定理解决．题型四易错辨析易错点分不清向量的起点和终点【例4】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,∠ACB＝60°，则eq\o(AC,\s\up6(→）)与eq\o（CB,\s\up6(→）)的夹角θ＝__________。错解：∵∠ACB是eq\o（AC,\s\up6（→)）与eq\o（CB,\s\up6（→))的夹角，∴θ＝60°。错因分析：错解中，误认为∠ACB是eq\o（AC，\s\up6（→））与eq\o（CB，\s\up6（→))的夹角,其实不然，∠ACB是eq\o（CB,\s\up6（→))与eq\o（CA,\s\up6(→））的夹角，eq\o（AC,\s\up6（→)）与eq\o(CB，\s\up6（→))的起点不同，则∠ACB不是其夹角．反思:当且仅当a与b的起点相同，且a＝eq\o（OA,\s\up6（→)），b＝eq\o（OB，\s\up6(→)）时，∠AOB才是向量a与b的夹角．答案：【例1】③①设e1＋e2＝λe1,则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，，1＝0，）)无解，∴e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2可作为一组基底；②设e1－2e2＝λ（e2－2e1），则（1＋2λ)e1－（2＋λ）e2＝0，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＋2λ＝0,,2＋λ＝0，))无解，∴e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1可作为一组基底；③∵e1－2e2＝－eq\f（1,2)（4e2－2e1），∴e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不可作为一组基底;④设e1＋e2＝λ（e1－e2），则(1－λ）e1＋(1＋λ)e2＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－λ＝0，，1＋λ＝0，）)无解，∴e1＋e2与e1－e2不共线,即e1＋e2与e1－e2可作为一组基底．【例2】作法：（1)如图所示，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝3a，eq\o（OB,\s\up6（→））＝－2b.（2）作OACB.eq\o（OC，\s\up6(→）)就是求作的向量．【例3】解：如图所示，连接CN,则四边形ANCD是平行四边形．则eq\o（DC，\s\up6(→））＝eq\o(AN，\s\up6（→))＝eq\f(1，2）eq\o(AB,\s\up6(→)）＝eq\f（1，2）a，eq\o（BC,\s\up6（→)）＝eq\o（NC，\s\up6(→）)－eq\o（NB，\s\up6(→)）＝eq\o（AD，\s\up6（→)）－＝b－eq\f（1，2)a，eq\o（MN,\s\up6（→））＝eq\o（CN,\s\up6(→）)－eq\o（CM，\s\up6（→））＝－eq\o（AD,\s\up6(→）)－eq\f(1,2）eq\o（CD,\s\up6（→）)＝－eq\o（AD,\s\up6（→））－eq\f（1,2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)\o（AB，\s\up6（→））)）＝eq\f（1，4)a－b。【例4】正解：如图所示，延长AC到D，使AC＝CD，则eq\o（AC,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6（→）)，∠BCD是eq\o（AC，\s\up6（→））与eq\o（CB,\s\up6(→））的夹角．由于∠BCD＋∠ACB＝180°，∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°，即θ＝120°.1．如图所示，D是BC边的一个四等分点．试用基底，表示＝__________。2．a与b是一组基底，且p＝a＋mb,q＝ma＋2b，且p与q不能组成一组基底，则实数m＝________.3．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b,M是DC的中点，以a,b为基底表示向量＝__________。4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2,b＝λe1＋e2,且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．5．已知基向量a和b,如图所示,求作向量2a－b答案：1。∵D是BC边的四等分点，∴＝＝,∴