人教版九年级数学上册知识点总结史上+九年级数学上期导学案+期中考试试题

最新人教版九年级数学上册

知识点总结史上最全+九年级数学上期导学案+期中考试试题

人教版九年级数学上册知识点总结

21.1一元二次方程

知识点----元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）

的方程，叫做一元二次方程。

注意一下几点：

①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax?+bx+c=0（aW0）.其中，ax?是二次项，a是二次项系数；bx是

一次项，b是一次项系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二

次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直

接开平方。一般地，对于形如x2=a（a与0）的方程，根据平方根的定义可解得

Xi=-\[G,X2=-•

（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或（mx+a）2=p（mro）形式的方程，如果p20,

就可以利用直接开平方法。

(3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平

方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知

数的式子的平方项的系数为1;③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二

次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次,

把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

(1)把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数；

⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等

号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),如果b^Yac＞。，那么方程的

--4ac

两个根为x=—N------，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求

2a

根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解

方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的过程。

(3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a#0),一般a化为正值②确定公式中a,b,c

的值，注意符号；

③求出b?-4ac的值；④若bLjac》。，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求

解，若b2-4acV0,则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b?-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即

△=b2-4ac.

IA>0,方程ax,bx+cRSWO)有两个不相等的实数

根

一元二次方程△=(),方程ax2+bx+c=0(a#0)有两个相等的实数根

根的判别式

△<0,方程ax'bx+cR(aWO)无实数根

21.2.3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一边化为0,而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化

为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的详细步骤：

①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全

平方公式；

③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程;

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二用合适的方法解一元一次方程

方法名理论依据适用范围

称

直接开平平方根的意形如x?=p或(mx+n)2=p(p

方法义20)

配方法完全平方公式所有一元二次方程

公式法配方法所有一元二次方程

因式分解当ab=O,则a=0一边为0,另一边易于分解

法或b=0成两个一次因式的积的一

元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

2

若一元二次方程x+px+q=0的两个根为Xi,X2,则有Xi+x2=-p,XiX2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aW0)有两个实数根Xi,X2,则有xi+x=,XiX=-

2a2a

22.3实际问题与一元二次方程

知识点一列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之

间的等量关系。

(2)设：是指设元，也就是设出未知数。

(3)歹U：就是列方程，这是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个

相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的

等式，即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知数的值。

(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。

(6)答:写出答案。

知识点二列一元二次方程解应用题的几种常见类型

(1)数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x,则另两个数分别为xT,x+lo

三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x,则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数是

100a+10b+c.

(2)增长率问题

设初始量为a,终止量为b,平均增长率或平均降低率为x,则经过两次的增长或降

低后的等量关系为a(l±x)2=bo

(3)利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润X

总销售量；③利润=成本义利润率

(4)图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的

代数式表示出来，建立一元二次方程。

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分基础知识

1.定义：一般地，如果y=or?+Zu+c（a/,c是常数，。声0）,那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=o?的性质

（1）抛物线y=ad的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.

（2）函数y=ad的图像与。的符号关系.

①当a>0时。抛物线开口向上O顶点为其最低点；

②当a<0时=抛物线开口向下=顶点为其最高点.

（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为yj/Qwo）.

3.二次函数y=^2+加+c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

4.二次函数y=a/+bx+c用配方法可化成：y=a（x-〃y+A的形式，其中

.b,Aac-b2

h=，k,—•

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①丫=.；②”内、女；

③y=a（x—〃I；（4）y=a（x-h）2+k；（5）y=ax1+bx+c.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①。的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；

|4相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴（或重合）的直线记作x=〃.特别地，y轴记作直线x=0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数。相同，那么抛物

线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

(1)公式法：y=ax2+bx+c=afx+—~,二顶点是(一>对称轴

2a)4a2a4。

是直线尤=_2.

2a

(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为"小-娟+%的形式，得

到顶点为(力，％),对称轴是直线x=/z.

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称

轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线>=g?+/?x+c中，a,0,c的作用

(1)。决定开口方向及开口大小，这与y=a/中的。完全一样.

(2)人和。共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线ynai+bx+c的对称轴是直线

x=-—,故：①力=0时，对称轴为y轴；(2)->0(即a、b同号)时，对称轴在

2aa

y轴左侧；③&<0(即a、》异号)时，对称轴在)，轴右侧.

a

(3)C的大小决定抛物线y=-+以+C与y轴交点的位置.

当X=O时，y=c,.•.抛物线y=*+以+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：

①c=O,抛物线经过原点；②c>0,与y轴交于正半轴；③c<0,与y轴交于负

半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，

则-<0.

a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2x=0（y轴）（0,0）

y=ax2+kx=0（y轴）（0,k）

y=tz（x-/i）2x=h（〃，0）

y=a^x-hf+k当4>O时x=h（A,k）

b

y=ax2+bx-\-c开口向上x------（b4ac-b2

2a

2a4。

当”0时

）

开口向下

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y="2+以+C.已知图像上三点或三对X、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x-〃)2+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标七、声,通常选用交点式：y=a(x-X1)(x-X2).

12.直线与抛物线的交点

(1)y轴与抛物线y=♦+〃x+c得交点为(0,c).

(2)与y轴平行的直线x=〃与抛物线产加+法+c有且只有一个交点

(h,ah2+bh+c).

(3)抛物线与x轴的交点

二次函数y=+>x+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X|、x2,是对应一元

二次方程以2+以+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的

一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上)=A=Oo抛物线与x轴相切；

③没有交点=A<0=抛物线与X轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有。个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点

的纵坐标相等，设纵坐标为3则横坐标是o?+以+c=k的两个实数根.

(5)一次函数y=Zx+服不0)的图像/与二次函数y=aY+"+c("O)的图像G的交

点，由方丽)'"&：〃的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

一y=ax++c

o/与G有两个交点；②方程组只有一组解时。/与G只有一个交点；③方程

组无解时。/与G没有交点.

(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线、="2+"+'与x轴两交点为

4(孙0),8(%,0),由于阳、当是方程"2+6x+c=0的两个根，故

bc

X]+x=——,x,-x=—

2a2a

AB

=%一%21=7(xi-X2?=J(为一7)2-4X/2=--="「J"=/

第二十三章旋转

23.1图形的旋转

知识点一旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点0转动一个角度，就叫做图形的旋转,

点。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二旋转的性质

旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段

的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。

理解以下几点：

（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中

心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发

生改变，只改变了图形的位置。

知识点三利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为:

①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中

心转过一定角度（作旋转角）

③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；④

接：即连接到所连接的各点。

23.2中心对称

知识点一中心对称的定义

中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那

么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

注意以下几点：

中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180°两

个图形能够完全重合。

知识点二作一个图形关于某点对称的图形

要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于

对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对

称图形。

知识点三中心对称的性质

有以下几点：

(1)关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中

心平分；

(2)关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)且相等。

知识点四中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

知识点五关于原点对称的点的坐标

在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p(x,y)

关于原点对称点为(-x,-y)o

第二十四章圆

24.1圆

24.1.1圆

知识点一圆的定义

圆的定义：第一种：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点0旋转一周，另一

个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点。叫作圆心，线段0A叫作半径。第二种:

圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合

的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

(2)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点

把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

(3)等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。

(4)等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆

中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直

c

径为CD,AB是弦，且CDLAB,

AD=BD

垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条

弧

如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M,

CD±AB

iIAC=BC

AD=BD

注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必

须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

(1)弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的

弧相等，所对的弦也相等。

(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那

么它们所对应的其余的各组量也相等。

(3)注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角

相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，

但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

(1)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半。

(2)圆周角定理的推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对

弦是直径。

(3)圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等

弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周

角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆

内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。

24.2点、直线、圆和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

(2)用数量关系表示：若设。0的半径是r,点P到圆的距离OP=d,则有：

点P在圆外Qd>r；点p在圆上=dr；点p在圆内qdVr。

知识点二过已知点作圆

(1)经过一个点的圆(如点A)

以点A外的任意一点(如点0)为圆心，以0A为半径作圆即可，如图，这样的圆可

•03

（2）经过两点的圆（如点A、B）

以线段AB的垂直平分线上的任意一点（如点0）为圆心，以0A（或0B）为半径作圆

即可，如图，这样的圆可以作无数个。

B

（3）经过三点的圆

①经过在同一条直线上的三个点不能作圆

②不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以

作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点A、B、C作圆，作法:

连接AB、BC（或AB、AC或BC、AC）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相

交于点。，以点。为圆心，以0A（或OB、0C）的长为半径作圆即可，如图，这样

知识点三三角形的外接圆与外心

(1)经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

(2)外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

(1)反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不

正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

(2)反证法的一般步骤：

①假设命题的结论不成立；

②从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等

相矛盾的结论；

③由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。

(2)直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设。。的半径是r,直线1与圆心0的距离为d,则有：

直线1和。夕相交d<r；塞线1和。0相切V=r；直线1和

。。相离d>ro

知识点二切线的判定和性质

(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

(3)切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经

过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆

心。

知识点三切线长定理

(1)切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做

这点到圆的切线长。

(2)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和

圆心的连线平分两条切线的夹角。

(3)注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能

度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另

一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

(1)三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个

三角形叫做圆的外切三角形。

(2)三角形的内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

(3)注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已

知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

24.2.3圆和圆的位置关系

知识点一圆与圆的位置关系

(1)圆与圆的位置关系有五种：

①如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种；

②如果两个圆只有一个公共点，就说这两个圆相切，包括内切和外切两种；

③如果两个圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

(2)圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：

若设两圆圆心之间的距离为d,两圆的半径分别是nn,且nVn,则有

<J=>

两圆外离*d>ri+r2两圆外切d=ri+r2u>两圆相交=r2-ri<d<ri+r2两

圆内切d=r2-ri两圆内匕d<r2-ri

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n(n是大于2的自然数)等份，顺次连接

各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

(1)正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

(2)所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴

都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心

对称图形，正n边形的中心就是对称中心。

(3)正n边形的每一个内角等于("-2)x180。,中心角和外角相等，等于独。

nn

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式1=峭

180

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2nR,所以n°的圆

心角所对的弧长的计算公式1=—X2nR=^。

360180

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=nR2,所以圆心

角为n°的扇形的面积为S扇形=上弦。

360

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

o_n兀R’n7iR1„1匚匚…1

s扇形二行相二而“万""3伏'所以$扇形=3，"

JOU1oU，/Z

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧

面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为1,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半

径为1,扇形的弧长为2Jir,因此圆锥的侧面积§刑制=(2次"="/。圆锥的全面积

为S网锥全=S恻锥侧+5底="/+"°

25.1随机事件与概率

25.1.1随机事件

知识点一必然事件、不可能事件、随机事件

在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事

件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不

会发生的事件称为随机事件。

必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性

事件。

知识点二事件发生的可能性的大小

必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有

小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

25.1.2概率

知识点概率

一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机

事件A发生的概率，记作P(A)。

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等,

事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=依。由m和n的含义可

n

知OWmWn,因此0W丝W1,因此OWP(A)W1.

n

当A为必然事件时，P(A)=1；当A为不可能事件时，P(A)=0.

25.2用列举法求概率

知识点一用列举法求概率

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等,

事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=-

n0

知识点二用列表发求概率

当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所

有可能的结果，通常用列表法。

列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件

发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。

知识点三用树形图求概率

当一次试验要涉及3个或更多的因素时一，列方形表就不方便了，为不重不

漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出

现的次数和方式，并求出概率的方法。

(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。

(2)在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能

性务必相同。

25.3用频率估计概率

知识点

在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上看似无规律可循，

但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试

验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率%稳定于某一个常数P,那

n

么事件A发生的频率P（A）=po

九年级第一学期数学期中测试题

一、选择题（每题3分，共30分）

1.下列图形绕某点旋转180。后，不能与原来图形重合的是（）

ABCD

2.下列方程是关于x的一元二次方程的是()

A.ctx~+hx+c=0B.—―H—=2C.x~+2x=-1D.3(x+1)~=2(x+1)

XX

3.下列函数中，不是二次函数的是()

A.y=l一镜x‘B.y=2(x—l)J+4C.~(x—1)(x+4)D.y=(x-2)'—x"

4.方程（x+l）（x-3）=5的解是（）

=

A.x}=l,x2=—3B.2=4,x2=—2C.x]=—l,x2D.=—4,x2=2

5.把二次函数y=—x+3用配方法化成y=a(x—h)4k的形式()

A.y=一；(x-2"+2B.y=；(x—2)，+4C.y=—；(x+2)。+4D.y=&—^)+3

6.一元二次方程(相一2)--43+2加一6=0有两个相等的实数根，则相等于()

A.-6或1B.1C.-6D.2

7.对抛物线y=—x?+2x—3而言，下列结论正确的是（）

A.与x轴有两个交点B.开口向上

C.与y轴的交点坐标是(0,3)D.顶点坐标是(1,-2)

8.若点A(”,2)与点8(—3,⑼关于原点对称，则〃一加=()

A.-1B.一5C.1D.5

9.如下图的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的

有()__________

HHHS

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.在同一平面直角坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax?+8x+b的图象

、填空题(11——16每题3分，第17题6分，共24分)

11.方程2/-1=岳的二次项系数是,一次项系数是,常数项是。

12.若函数y=(m—3)x"'+2，"T3是二次函数，则皿二

13.已知二次函数的图象过(1,0),(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是()

A.y=2x+%+2B.y=x+3x+2

C.y=/—2x+3D.3%+2

14.如图，将等边△?(劭沿被中点旋转180°得到现给出下列命题：①四边形力质是菱形；②四边形心⑦

是中心对称图形；③四边形/腼是轴对称图形；④其中正确的是(写上正确的序

15.抛物线y=2x?—bx+3的对称轴是直线x=l,则b的值为.

16.如果一元二方程(加一2)/+3彳+疝-4=0有一个根为0,贝!)m=.

17.认真观察图J23-3-3中的四个图案，回答下列问题：

(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征：

特征1：；特征2：.

（2）请你在下图中设计出你心中最美的图案，使它也具备你所写出的上述特征.

二、解答题（共66分）

18、解方程（每题4分，共8分）

（1）x2-2x-S-Q（用因式分解法）(2)(x-2)(x-5)=-2

19.（8分）已知等腰三角形底边长为8,腰长是方程丁-9x+2°=°的一个根,

求这个等腰三角形的腰长。

20.（8分）用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm,面积为yen?。

（1）求出y与x的函数关系式。（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？

K21.（8分）一商店1月份的利润是2500元，3月份的利润达到3025元，这两个月的利润月增长的百分率相同,

求这个百分率。

22、(10分)如图，在菱形A3C。中，对角线AC与8。相交于点O,48=13,80=24,在菱形ABCD的外

部以AB为边作等边三角形ABE。点厂是对角线3。上一动点(点F不与点8、D重合)，将线段AF绕点A顺

时针方向旋转60°得到线段40,连接月0。

(1)求A。的长；

(2)如图2,当点厂在线段80上，且点M,EC三点在同一条直线上时，

求证：ZACM=30°

(3)连接£M,若41£^的面积为40,请画出图形，并直接写出AA月以的周长。

23.(10分)行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要向前方滑行一段距离才

能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号的汽车的刹车性能(车速

不超过140km/h),对这种汽车进行测试，测得数据如下表：

刹车时车速

0102030405060

/km•h

刹车距离/m00.31.02.13.65.57.8

(1)以车速为x轴，以刹车距离为y轴，建立平面直角坐标系，根据上表对应值作出

函数的大致图象；

(2)观察图象估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数解析式;

(3)该型号汽车在国道发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m,推测刹车

时的车速是多少？请问事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶?

24.(14分)已知，如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点，点A在点B左侧.点

B的坐标为(1,0),0C=30B.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上.是

否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.w

新人教版九年级数学上期导学案

班级一学习小组一_学生姓名一

课题一元二次方程(1)课型新授课

年级九年级单元第组单元课时第L课时

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、

学习

目标分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一

元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数

和常数项。

学习重点由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。

学习由实际问题列出一元二次方程。准确认识一元二次方程的二次项和系数以及

难点

一次项和系数还有常数项。

学法指导自主探究，合作交流

知识链接一元一次方程的相关知识

自学课本P27—29页，完成下列要求：

导案1、理解并背诵一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式；

课自学2、准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。

刖

1、自学课本导图，走进一元二次方程

分析：现设雕像下部高x米，则度可列方程

_________________________去括号得_________________①

你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过

自学

什么方程，它的特点是什么？

完成

2、探究新知

自学课本25页问题1、问题2(列方程、整理后与课本对照)，并完成下列

各题：

问题］可列方程_______________整理得________________缸

问题2可列方程_______________整理得________________③

观察上述三个方程以及①②两个方程的结构特征，类比一元一次方程的定

义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。

一元二次方程的是：

1)、只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是___________，

这样的___________方程，叫做一元二次方程。

2)、一元二次方程的一般形式：___________________________，其中

二次项，___________是一次项，_________是常数项，______二次项系数，

一次项系数。

3、展示反馈【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

①41=81；⑵2(1-1)=3了；(3)5丁一1=4%；

12

+ix=°!(5)2X2+3X-1；(6)3X(X-1)=5(X+2)；

(7)关于X的方程⑻关于y的方程

尔2-3x+2=0；(/+l)j?+(2a-l)y+5-a=0.其中为一元二次方

程的是：___________________________0

小结

1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？

1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系

数、一次项系数和常数项：

(1)5X2-1=4X；(2)81=4x>

反

馈(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+l)=8x-3

练

2、列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

习

1、一个正方形的面积的2倍等于50,这个正方形的边长是多少？

2、一个数比另一个数大3,且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？

课课后

后反思

达标测评

1、判断下列方程是否是一元二次方程;

1Q

(1)2x一一%2--=0()(2)2x2-y+5=0()

32

(3)ax2+/?Jt+c=0()(4)4x2——+7=0()

X

2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数

项：

(1)3X-A=2；(2)7x-3=2x(3)(2x—l)—3X(矛-2)=0(4)2x(x—l)=3x.

新人教版九年级数学上期导学案

班级—学习小组_学生姓名_________________

课题一元二次方程(2)课型新授课

年级九年级单元第组单元课时第二课时

学习了解一元二次方程根的用关念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及

目标利用它们解决一些具体N习题.

学习重点判定一个数是否是方程的根；

学习由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际

难点问题的根.

学法指导自主探究，合作交流

知识链」馁一元一次方程的相关知识

课前导自学课本P27—29页，完成下列要求：

案3、理解并背诵一元二次方程的根的定义。

自4、注意一元二次方程的根如何找。

学5、理解一元二次方程的根的定义。

1、前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程X2-X=56

当x=l时，x2-x=O；当x=2时，x2-x=2；......我们可以得出下表的值

X12345678910・・・.

x2-x02・・・

从中发现当x=8时，x2-x=；所以x=8是方程

自一元二次方程的__________也是一元二次方程的根。

学2、归纳一元二次方程的根的定义：_________________

完

成先独立思考，完成下列各题

1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

(1)x2-36=0(2)4x2-9=0(3)x2-3x=0

小你今天学会了解怎样找的一元二次方程的根？步骤是什么?

结_________________________________

1.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.

2.写出下列方程的根

(1)9x2=1(2)25x2-4=0(3)4x2=2

反

Wi

综

习

3.你能想出下列方程的根吗？

(1)(x-2)2=1(2)X2+2X+1=4(3)x2-6x+9=0

课后课

后

反

思

自查自省

选择题

1.方程x(x-1)=2的两根为().

A.xi=O,X2=lB.Xi=O,X2=-lC.Xi=l,X2=2D.XI=-1,X2=2

2.方程2x(x-3)+(3-x)=0的根是().

A.Xi=3,X2=2B.XI=3,X2=—C.XI=2,X2=—D.XI=4,X2=9

22

填空题

1.如果X2-81=0,那么X2-81=0的两个根分别是XI=,x2=

2.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3,则m的值为

3.方程(x+1)2+V2x(x+1)=0,那么方程的根Xi=；X2=

综合提高题

1.如果x=l是方程ax2+bx+3=0的一•个根，求a+b的值.

新人教版九年级数学上期导学案

班级__________学习小组__________学生姓名__________

课题22.2配方法(一)课型新授课

年级九年级单元第组单元课时第L课时

1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如

x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p\0)的方程

学习目标2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两

者之间相互比较和转化的思想方法；

3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。

学习重点掌握用直接开平方法解一元二次方程的步骤。

学习难点理解并应用直接开平方法解特殊的一元二次方程。

学法指导自主探究，合作交流

知识链:馁完全平方公式、平方根的相关知识

课前导自学课本P30—31页，完成下列要求：

案1理解并掌握一元二次方程的解法。

自2注意开平方时有两个根。

学

小交流课前学习内容，互帮互助，提高学习思想，掌握多变的学习方