概率初步（9个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年九年级数学上学期期中期末考点大串讲（人教版）（解析版）

专题05概率初步（9个考点）

【知识梳理+解题方法】

一.随机事件

（1）确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可

能事件，必然事件和不可能事件都是确定的.

（2）随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，

其中，

①必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0,即尸（不可能事件）=0;

③如果A为不确定事件（随机事件），那么0<P（A）<1.

二.可能性的大小

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（1）理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一

类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上

实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算.

（2）实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件

发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率.

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.

三.概率的意义

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率如会稳定在某个常数p附近，那

n

么这个常数p就叫做事件A的概率，记为=p.

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现.

（3）概率取值范围：OWpWl.

（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率尸（A）=0.

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与11事件发生的可能性越小，概率越接近于0.

（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系

密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计

游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际

问题.

四.概率公式

「事件可能出现的结果数

（1）随机事件A的概率P（A）A

所有可能出现的结果数

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

五.几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一

区域G,又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），

现随机地向G内投掷一点M,假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域

g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关.具有

这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.关于几何概型的随机事件”向区域G中任意

投掷一个点点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，

即P=g的测度G的测度

简单来说：求概率时，己知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比，

体积比等.

六.列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出

所有可能的结果，再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出〃，再从中选出符合事件4或

8的结果数目相，求出概率.

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当

一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形

式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

七.游戏公平性

（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平,

否则就不公平.

所求情况数

（2）概率=

总情况数.

八.利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是

这个事件的概率.

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不

相等时，一般通过统计频率来估计概率.

九.模拟试验

（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验

称为模拟试验.

（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，

目的在于省时、省力，但能达到同样的效果.

（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容

根据《新课标》要求，只要设计出一个模拟试验即可.

【专题过关】

一.随机事件（共4小题）

1.（2022春•龙岗区校级期中）将2个红球、3个白球、2个黑球放入一个不透明袋子里，

从中摸出6个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这个事件是（）

A.不太可能事件B.不可能事件

C.随机事件D.必然事件

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：由题意可知，从中摸出6个球，红球、白球、黑球都可以摸到，

.•.这个事件是必然事件，

故选：D.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件

下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即

随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

2.（2022春•杨浦区校级期中）下列事件是必然事件的是（）

A.疫情期间参加聚会会感染新冠病毒

B.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上

C.打开的电视机正在播放新闻

D.13个同学中至少有两个同学同一个月生日

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：A、疫情期间参加聚会会感染新冠病毒，是随机事件，不符合题意；

3、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；

C、打开的电视机正在播放新闻，是随机事件，不符合题意；

。、一年有12个月，所以13个同学中至少有两个同学同一个月生日，是必然事件，符合

题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件

下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即

随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

3.（2022春•润州区校级期中）数学课上，师生进行了摸球试验：一只不透明的袋子中装有

编号分别为1、2、3、…、，"的小球（除编号外完全相同）：

活动一：当〃?=2时，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个

球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现两个相同

的编号”是必然事件，则最少需摸3次.

活动二：当初=3时一，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个

球记录下编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作.

（1）若事件4"记录的编号中出现两个相同的编号”是必然事件，则最少需摸4次.

（2）若事件8：“记录的编号中出现三个相同的编号”是必然事件，则最少需摸7次.

活动三：在这只装有编号分别为1、2、3、…、加的小球（除编号外完全相同）的不透明

的袋子中，从中随机摸出一个球记录编号后放回袋中并摇匀，再随机摸出一个球记录下

编号后放回袋中并摇匀，重复上述操作，若事件：“记录的编号中出现4个相同的编号”

是必然事件至少需要摸100次，则袋中有多少个小球？

【分析】活动一：通过例举得出答案；

活动二：通过例举得出答案；

活动三：总结规律，列出方程求解即可得出答案.

【解答】解：活动一：仅摸一次，不可能出现两相同编号，

摸两次，有可能出现不同的编号，如2,I或1,2,不符合必然事件，

摸三次，才能保证出现两个相同的编号为必然事件，

故答案为：3；

活动二：有编号为1,2,3三个小球，

（1）摸两次时，不符合题意，如摸到1,2,

摸三次时，不符合题意，如摸到1,2,3,

摸四次时，一定会出现两个相同的编号，为必然事件，

故答案为：4；

（2）摸六次时，不符合题意，如1,2,3,1,2,3,

摸七次时，符合题意，一定会摸到三个相同的编号为必然事件，

故答案为：7：

活动三：根据题意得："?+"?+，〃+1=100,

解得：加=33,

答：袋中有33个小球.

【点评】本题考查随机事件，探索规律，通过例举，寻找规律是解题的关键.

4.（2021春•盐都区期中）近期教育局将要举办“文学名著阅读分享大赛”，某校从3名男

生（含小强）和5名女生中选4名学生参加全区比赛，规定其中女生选”名.

（1）当"为何值时，“男生小强参加”是必然事件？

（2）当"为何值时，“男生小强参加”是随机事件？

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，判断即可.

【解答】解：（1）当〃=1时，“男生小强参加”是必然事件；

（2）当“=2或”=3时，“男生小强参加”是随机事件.

【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题

的关键.

二.可能性的大小（共4小题）

5.（2022春•裸阳市期中）一个黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的5个红球和

2个白球，那么从这个袋子中摸出一个红球的可能性和摸出一个白球的可能性相比（）

A.摸出一个红球的可能性大

B.摸出一个白球的可能性大

C.两种可能性一样大

D.无法确定

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者

的比值就是其发生的概率.

【解答】解：；黑色不透明的袋子里装有除颜色外其余都相同的5个红球和2个白球，

共7个球，

.••摸出一个红球的概率是§，摸出一个白球的概率是2,

77

.•.摸出一个红球的可能性大；

故选：A.

【点评】本题主要考查了概率的求法：如果•个事件有〃种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现切种结果，那么事件4的概率P（A）=典.

n

6.（2022春•六盘水期末）昆昆沉迷游戏，有个人加了他好友，哄骗他能送游戏英雄和皮肤，

并要求加他为QQ好友，这位“游戏好友”告知其现在有个“扫码转账返利”活动，充值

300元可返利500元，充值700元可返利1000元，如果你是昆昆你会（）

A.这么划算，赶紧充值后可以购买更多游戏装备和皮肤

B.天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”

C.立即和喜欢玩游戏的同学分享这么好的事情

D.对这种事情一直抱着期待

【分析】根据生活经验、事件发生的可能性大小解答.

【解答】解：天上没有掉馅饼的事，肯定是骗子，必须立马删除“好友”，

故选：B.

【点评】本题考查的是可能性的大小，通过解答本题，使学生了解一些防诈骗知识.

7.（2022春•余江区期末）口袋里有除颜色外其它都相同的6个红球和4个白球.

（1）先从袋子里取出〃？（m》l）个白球，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”

记为事件A、如果事件A是随机事件，则加=1或2或3；

（2）先从袋子中取出小个白球，再放入加个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的

可能性大小是屋，求”的值.

5

【分析】（1）根据随机事件的定义和可能性的大小即可得出答案；

（2）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案.

【解答】解：（1）如果事件A是随机事件，，"=1或2或3；

故答案为：1或2或3；

（2）根据题意得：

m+64

解得m=2,

则m的值是2.

【点评】此题考查「基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于

所求情况数与总情况数之比.

8.（2022春•于洪区期末）甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个；乙袋中有红球18个、

白球9个和黑球23个.（每个球除颜色外都相同）

（1）若从中任意摸出一个球是红球，选哪袋成功的机会大？请说明理由；

（2）“从乙袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此

时若从中任意摸出一个球是红球，选甲、乙两袋成功的机会相同”.你认为这种说法正确

吗？为什么？

【分析】（1）首先求得从甲袋中摸到红球的可能性，从乙袋中摸到红球的可能性，比较得

到结论；

（2）分别求得从甲袋中摸到红球的可能性，从乙袋中摸到红球的可能性，做判断即可.

【解答］解：（［）甲袋中有红球8个、白球5个和黑球12个，从甲袋中摸到红球的可能

性为•88

8+5+12=25'

乙袋中有红球18个、白球9个和黑球23个，从乙袋中摸到红球的可能性为一位一1

18+9+2350

_9

——-1

25

因为旦

2525

故从中任意摸出一个球是红球，选乙袋成功的机会大；

（2）从乙袋中取出10个红球后，从乙袋中摸到红球的可能性为一—

8+9+23405

因为旦力工，

25.5

所以选甲、乙两袋成功的机会不相同，故说法不正确.

【点评】此题考查了可能性的大小，概率公式，正确的理解题意是解题的关键.一般地，

如果在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其

中的，"种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=卫且OWP（A）W1.

n

三.概率的意义（共4小题）

9.（2022•思明区校级二模）下列说法正确的是（）

A.甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2=3,S乙2=%说明乙的跳远成绩比甲稳定

B.了解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查

C.一组数据2,2,3,4的众数是2,中位数是2.5

D.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生

【分析】根据方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查分别对每一项进

行分想，即可得出答案.

【解答】解：A、甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2=3,S乙2=4,说明甲的跳远成

绩比乙稳定，故本选项错误，不符合题意；

8、J'解某市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，故本选项错误，不

符合题意;

C、一组数据2,2,3,4的众数是2,中位数是&3=2.5,故本选项正确，符合题意：

2

。、可能性是1%的事件在一次试验中也可能发生，只是发生的可能性很小，故本选项错

误，不符合题意；

故选：C.

【点评】此题考查了方差、中位数、众数、概率的意义以及全面调查与抽样调查，熟记定

义与公式是解题的关键.

10.（2022春•巴中期末）下列说法中，正确的是（）

A.“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件

B.任意买一张电影票，座位号是2的倍数是必然事件

C.“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件

D.可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生

【分析】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答.

【解答】解：4、“任意画一个多边形，其内角和是360°”是随机事件，故A不符合题

意；

8、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件，故8不符合题意；

C、“从一副扑克牌中抽一张，恰好是红桃”是随机事件，故C符合题意：

D、可能性是50%的事件，但是在两次试验中不一定有一次会发生，故。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件

的特点是解题的关键.

II.（2022•丰顺县校级开学）一则广告声称本次活动的中奖率为20%,其中一等奖的中奖率

为1%.小明看到这则广告后，想：“我抽5张就会有1张中奖，抽100张就会有1张中

一等奖你认为小明的想法对吗？

【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大

也不一定发生.

【解答】解：小明的想法不对.

因为小明将本次抽奖活动中奖率为20%,一等奖中奖率为1%,理解错了，其中的20%、

1%是针对所有的奖券而言，而不是任抽几张，这几张的1%为一等奖，20%都获奖，所抽

取的几张，可能都有奖，也可能都没有中奖.

【点评】本题考查了概率的意义.正确理解概率的含义是解决本题的关键.

12.（2021•仓山区校级三模）甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司

规定底薪70元，每单抽成1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无抽成，超过45

单的部分每单抽成6元.

（1）求甲、乙快递公司的“快递小哥”一日工资y（单位：元）与送货单数〃的函数关

系式；

（2）假设同一公司的“快递小哥”一日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快

递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：

若将频率视为概率，回答下列问题：

小赵拟到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你

利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.

□甲频数（天）□乙频数（天）

【分析】（I）根据甲、乙两个公司的日工资方案即可得出函数关系式;

（2）求出甲、乙两个公司的日工资的平均数，再作出判断即可.

【解答】解：（1）由甲、乙两个公司的II工资方案可知,

y甲=70+〃（n>0）,

当0<〃W45时，y=100,

当”>45时，y乙=100+6（n-45）=6"-170,

甲=70+〃（〃>0）,

；100（0<n<45）

y乙=<7；

6n-170（n〉45）

（2）选择甲公司，理由如下：

甲公司日销售单数平均数为42*2°+44><40+46X2°+48X10+50X1（=45（单），

100

甲公司日销售工资为70+45=115元，

乙公司日销售工资为1°OXl°x2+1°6乂30+1田X40+130X乂口口（元），

100

V115>112,

二选择甲公司，

【点评】本题考查条形统计图、概率的意义以及函数关系式，求出甲、乙公司的平均日工

资是正确判断的关键.

四.概率公式（共4小题）

13.（2022•温州校级模拟）在一个不透明的口袋中装有3个白球和4个黄球这些球除颜色不

同外其他完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为（）

A.3B.Ac.—D.A

4377

【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：•.•一个不透明的袋子中有3个白球、4个黄球，

球的总数=3+4=7,

从袋子中随机摸出一个球，则它是白球的概率为旦.

7

故选：c.

【点评】此题考查了概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相

同，其中事件4出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=段.

14.（2022•南岗区校级模拟）在一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个黄

球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球

的概率是（）

A.AB.1C.AD.2

4323

【分析】用黄色球的个数除以球的总个数即可.

【解答】解：；袋子中共有9个除颜色外其它都相同的球，其中黄球有3个，

从袋子中随机摸出一个小球，摸出的球是红球的概率是g=工，

93

故选:B.

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A

可能出现的结果数+所有可能出现的结果数.

15.（2022•丰泽区校级模拟）今年是脱贫攻坚决胜之年，我市某乡为了增加农民收入，决定

利用当地优质山林土地资源发展园林绿化树苗培育产业.前期由乡农技站引进“银杏”、

“罗汉松”、“广玉兰”、“竹柏”四品种共300棵幼苗进行试育成苗实验，并把实验数据

绘制成如图所示的扇形统计图和不完整的条形统计图，已知实验中竹柏的成苗率是80%.

四个品种幼苗成苗数条形图

300棵幼苗中四个品种幼苗扇形统计图

（1）请你补全条形统计图;

（2）如果从这300棵实验幼苗中随机抽取一棵幼苗，求它能成苗的概率;

（3）根据市场调查，这四个品种的树苗的幼苗进价、成苗售价和市场需求如下表所示:

树苗品种银杏罗汉松广玉兰竹柏

每棵幼苗进价2815816

（元）

每棵幼苗售价60504050

（元）

市场需求（万20.4193025

颗）

假设除了购买幼苗外，培育每棵成苗还需肥料等支出10元（未成功培育成成苗的此项支

出忽略不计），该乡根据市场需求组织A村农民培育银杏树苗和罗汉松树苗并将全部成苗

销售完成后，可为本乡A村农民增加收入多少万元？

【分析】（1）实验中竹柏的成苗数=幼苗的总棵数X0.25X成苗率，依此求出竹柏的成苗

数，再补全条形统计图；

（2）根据概率公式求解可得；

（3）先分别求得该乡A村培育银杏树苗和罗汉松树苗并将全部成苗销售完成后的总销售

收入，以及该乡A村培育银杏树苗和罗汉松树苗的总成本，相减即可求解.

【解答】解：⑴竹柏的成苗数：300X0.25X0.8=60（棵）,补全条形统计图如图:

四个品种的幼苗成苗数条形图

⑵™^=o,8.

故它能成苗的概率是0.8；

（3）该乡A村培育银杏树苗和罗汉松树苗并将全部成苗销售完成后，总销售收入yi万

元,

贝i」yi=20.4X60+50X19=2174（万元），

该乡A村培育银杏树苗和罗汉松树苗的总成本”万元，

则*=（20.4+$1x28+19+且•X15）+（20.4+19）X10=1441（万元），

6075

y\-y2=2174-1441=733（万元）.

故可为本乡4村农民增加收入733万元.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计

图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出

每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

16.（2022•晋江市校级模拟）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率0.40.2m0.250.20.1

说明：好评率是指一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

（1）己知第三类电影获得好评的有45部，则，〃=0.15；

（2）如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，求抽到的这部电影是第四类电影中的

好评电影的概率；

（3）根据前期调查反馈：第一类电影上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率X

1.5+0.1,第二类电影上座率与好评率的关系约为：上座率=好评率XI.5+0.45.现有一部

第一类的A电影和一部第二类的B电影将同时在某影院上映.A电影的票价为45元，B

电影的票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，公司要求排片经理将

这两部电影安排在最大放映厅放映，且两部电影每天都要有排片.现有3个场次可供排

片，仅从该放映厅的票房收入最高考虑，排片经理应如何分配A、8两部电影的场次，以

使得当天的票房收入最高？

【分析】（1）根据所有好评率的定义计算即可；

（2）根据占典概型公式计算；

（3）求得第一类的A电影和第二类的B电影上座率，第一类的4电影和第二类的B电

影的收入，即可得到答案

【解答】解：（1）胆=型-=015.

300

故答案为:0.15.

（2）由题意，200X0.25=工

200040

,如果电影公司从收集的电影中随机选取1部，抽到的这部电影是获得好评的第四类电

影的概率为：」一

40

（3）第一类电影上座率=04X1.5+0.1=0.7,

第二类电影上座率=0.2X1.5+0.45=0.75,

第一类的A电影收入=0.7X1000X45=31500（元），

第二类的B电影收入=0.75X1000X40=30000（元），

由于有3个场次可供排片，为使当天的票房收入最高，应安排第一类的4电影两个场次，

第二类的B电影一个场次.

【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；读

懂图表，从图表中找到必要的数据是解题的关键.

五.几何概率（共4小题）

17.（2022•阜新）如图，是由12个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取

点，那么这个点取在阴影部分的概率是（）

A.AB.3c.2D.A

4432

【分析】先设每个小等边三角的面积为x,则阴影部分的面积是6x,得出整个图形的面

积是12x,再根据几何概率的求法即可得出答案.

【解答】解：先设每个小等边三角的面积为X,

则阴影部分的面积是6x,得出整个图形的面积是12%,

则这个点取在阴影部分的概率是其=▲.

12x2

故选：D.

【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用

阴影区域表示所求事件（A）;然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例

即事件（A）发生的概率.

18.（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，一只蚂蚁在如图所示的地板上自由爬行，并随机停

留在某处，那么这只蚂蚁停留在阴影部分的概率是1.

一2一

【分析】大正方形被分成8个全等的等腰直角三角形，而阴影部分占4个等腰直角三角

形，然后根据几何概率的方法计算这只蚂蚁停留在阴影部分的概率.

【解答】解：根据题意，这只蚂蚁停留在阴影部分的概率=2=上.

82

故答案为：—.

2

【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率=这个三角形所对应的面积与总面积之比.

19.（2022春•陈仓区期末）如图为多个小等边三角形组成的六芒星图案，其中有三个三角

形已涂为灰色.

（1）请你在每个图形中再将一个或两个小等边三角形涂为灰色，使其成为轴对称图形;

（2）--颗玻璃弹子在纸上自由滚动，选择你涂好的其中一个图形，计算它停留在灰色区

域的概率.

①②③

【分析】（1）根据轴对称图形的定义进行设计即可；

（2）选择图形，计算阴影部分占整体的几分之几即可.

【解答】解：（1）添加的情况如图所示，答案不唯一；

①②③

（2）若选择图①，则停留在灰色区域的概率为_±=工，

123

若选择图③，则停留在灰色区域的概率为§.

12

【点评】本题考查轴对称图形，概率的计算，理解轴对称图形的定义，掌握概率的计算方

法是正确解答的前提.

20.（2022春•锦州期末）如图，是一个材质均匀的转盘，转盘分成8个全等的扇形，颜色

分为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，（若指针指向两个扇

形的交线时，当作指向右边的扇形），转动一次转盘：

（1）求指针指向绿色扇形的概率；

（2）指针指向红色扇形的概率大，还是绿色扇形概率大？为什么？

【分析】（1）将所用可能结果和指针指向绿色的结果列举出来，后者除以前者即可；

（2）将所用可能结果和指针指向红色的结果列举出来，求出指针指向红色扇形的概率，

进而比较即可.

【解答】解：按颜色把8个扇形分为2红、3绿、3黄，所有可能结果的总数为8,

（1）指针指向绿色的结果有3个，

：.p（指针指向绿色）=3；

8

（2）指针指向红色的结果有2个，

则?（指针指向红色）=2=工，

84

由（1）得：指针指向绿色扇形的概率大.

【点评】本题考查了几何概率的求法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，

适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

六.列表法与树状图法（共4小题）

21.（2022•杏花岭区校级模拟）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开

关S1,52,S3中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（)

Si

A.0B.AC.1D.1

234

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：把开关Si,S2,S3分别记为A、B、C,

画树状图如图：

AAA

BCACAB

共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，

,能让两个小灯泡同时发光的概率为2=工，

63

故选：C.

【点评】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

22.（2022•金凤区校级三模）在元旦游园晚会上有一个闯关活动：将5张分别画有正方形、

圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片任意摆放（卡片大小、质地、颜色完全相同），

将有图形的一面朝下，从中任意翻开2张，如果翻开的图形都是中心对称图形，就可以

过关.那么一次过关的概率是（）

A.AB.2C.3D.A

5555

【分析】画树状图，共有20种等可能的情况，其中一次过关的情况有12种，再由概率

公式求解即可.

【解答】解：正方形、圆、平行四边形、菱形是中心对称图形，

将5张分别画有正方形、圆、平行四边形、等边三角形、菱形的卡片分别记为4、B、C、

D、E,

画树状图如下：

共有20种等可能的情况，其中一次过关的情况有12种,

一次过关的概率为」2=3

205

故选：C.

【点评】本题考查的是用树状图法求概率以及中心对称图形.树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率

=所求情况数与总情况数之比.

23.（2022•乌鲁木齐模拟）为在中小学生心中厚植变党情怀，某市开展“重心向党”教育实

践活动.有舞蹈、书法、唱歌、国学诵读四项.为了解学生的参与情况，该校随机抽取了

部分学生进行“你愿意参加哪一项活动（必选且只选一种）的调查，部分信息如统计图所

示，请回答下列问题:

人数/人

90F

80l-

70F

60h

50l-

心

孙

如

心

（1）这次抽样调查的总人数为200人,扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为

108°:

（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？

（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或列

表法求恰为一男一女的概率.

【分析】（1）由参加唱歌的人数和所占百分比求出这次抽样调查的总人数，即可解决问

题：

（2）由该校学生人数乘以参加书法的学生所占的比例即可；

（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2人恰为一男一女的结果有8种，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）这次抽样调查的总人数为：36+18%=200（人），

则参加舞蹈”的学生人数为:200-36-80-24=60（人），

扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为:360°X也=108。，

200

故答案为：200,108°；

（2）1400X-^-=560（人），

200

答：估计选择参加书法有560人；

（3）画树状图如下:

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，其中选取的2人恰为一男一女的结果有8种，

•••选取的2人恰为一男一女的概率为@=2.

123

【点评】此题考查了树状图法求概率以及以及条形统计图和扇形统计图等知识.树状图

法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的

知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

24.（2022•庐阳区校级三模）为了疫情防控，合肥某商场的家装节开通了1、2、3、4号四

个入口，参加入员领取入场券后，由电脑随机安排其由某个入口进场.

（1）小明领取入场券后，被安排从3号入口进场的概率是多少？

（2）某品牌瓷砖的商家开展了“买瓷砖砸金蛋”的活动，即购买该品牌瓷砖的顾客有一

次砸金蛋的机会.小明和小亮同时购买了该品牌的瓷砖，商家提供了五个金蛋，只有一

个是一等奖，其余都是二等奖.商家让小明执锤先砸，小亮认为商家这种做法对他不公

平.请从两人获得一等奖的概率的角度说明小亮的质疑是否合理.

【分析】（I）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有4种，小亮获

得一等奖的结果有4种，再由概率公式求出小明和小亮获得一等奖的概率，即可得出结

论.

【解答】解：（1）小明领取入场券后，被安排从3号入口进场的概率是上;

4

（2）小亮的质疑不合理，理由如下:

画树状图如下:

开始

小亮22221222122212221222

共有20种等可能的结果，其中小明获得一等奖的结果有4种，小亮获得一等奖的结果有

4种,

...小明获得•等奖的概率为一上=工，小亮获得一等奖的概率为_£=上，

205205

•••小明获得一等奖的概率=小亮获得一等奖的概率，

.••小亮的质疑不合理.

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出

所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

七.游戏公平性（共3小题）

25.（2022•汉阳区校级模拟）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描

述错误的是（）

A.甲，乙获胜的概率均低于0.5

B.甲，乙获胜的概率相同

C.甲，乙获胜的概率均高于0.5

D.游戏公平

【分析】列表得出所有等可能结果数，再根据概率公式求出甲、乙获胜的概率，从而得出

答案.

【解答】解：由题意，列表如下:

石剪布

石（石，石）（石，剪）（石，布）

剪（剪，石）（剪，剪）（剪，布）

布（布，石）（布，剪）（布，布）

由表格可知，共有9种等可能的结果，其中甲获胜的有3种结果，乙获胜的有3种结果,

所以甲获胜的概率=乙获胜的概率=旦=工，

93

故选：A.

【点评】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然

后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

26.（2022春•顺义区期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片.甲、乙两人玩一个游戏,

规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张

卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获

胜.

12345678

若甲先取走标记2,3的卡片，乙又取走标记7,8的卡片，接着甲取走两张卡片，则

（填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1,2,3的卡片，乙要保证一定

获胜，则乙首次取卡片的方案是5,6,7（答案不唯一）.（只填一种方案即可）

【分析】由游戏规则分别分析判断，即可得出结论.

【解答】解：若甲先取走标记2,3的卡片，乙乂取走标记7,8的卡片，接着甲取走两

张卡片，为4,5或5,6,

然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜：

若甲首次取走标记数字1,2,3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙苜次取卡片的方案5,

6,7,理由如下:

乙取走5,6,7,则甲再取走4或8,最后乙取走8或4,则乙一定获胜；

故答案为：甲；5,6,7（答案不唯一）.

【点评】本题考查了游戏公平性，理解游戏规则是解题的关键.

27.（2022•雁塔区模拟）在一次数学小组活动中，小亮和小明都想去参加，但是只剩下一个

名额，于是他们决定采用摸球的办法决定胜负，获胜者去参加，游戏规则如下：在一个不

透明的袋子中装有编号为1,2,3,4的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个

球，记下数字后不放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5,则小亮

获胜，若两次数字之和小于5,则小明获胜.

（1）随机摸出一个球，则摸到偶数的概率是A；

~2~

（2）请用列表或画树状图的方法分析这个游戏对小亮和小明是否公平？

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次数字之和小于5和大于5的结果有

4种，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（I）随机摸出一个球，则摸到偶数的概率是2=工，

42

故答案为：—;

2

（2）画树状图如下:

开始

2个一个小G

和345356457567

共有12种等可能的结果，其中小亮获胜的有4种结果，小明获胜的有4种结果,

所以小亮获胜的概念=小明获胜的概率=-左=」.

123

【点评】本题考查了树状图法以及条形统计图和扇形统计图，树状图法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回

试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

八.利用频率估计概率（共3小题）

28.（2022•思明区校级二模）厦门在形式上助手数学社团的同学做了估算ir的实验.方法如

下：

第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：OVxVl,

0<y<l；

第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x,y,1为三条边长能构成锐角三角形”为事

件A：

第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；

第四步：估算出n的值.

为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：

①如果一次试验中，结果落在区域。中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落

在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）=吧画鳌;

D的面积

②若x,y,1三个数据能构成锐角三角形，则需满足*2+V>1.

根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的，"份数据中能和“1”构成锐角三

角形的数据有〃份，则可以估计u的值为（）

c.生D4m-4n

mmmm

【分析】根据“以x,y,1为三条边长能构成锐角三角形”则需满足，+）,2>1,可以用图

中（3）区域表示，再根据①几何概率的计算方法得到满足题意的概率，最后通过共搜集

上来的m份数据中能和“1”构成锐角三角形的数据有〃份的条件得到用m,n表示上述

方法计算的概率，即可求解.

【解答】解：根据第一步，0<x<l,0<y<l,

可以用图中正方形区域表示,

正=1X1=1,

再根据“以x,y,1为三条边长能构成锐角三角形”

则需满足

可以用图中（3）区域表示，

.,.面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，

设''以X,>•,1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A,

n-12

e1--------

...根据①概率计算方法可以得到：p（A）=_@=-----—=纪