高等数学 曲线积分与曲面积分

机动目录上页下页返回结束积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法机动目录上页下页返回结束对弧长的曲线积分

第十章一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB,其线密度为“大化小,常代变,近似和,求极限”

可得为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用机动目录上页下页返回结束设

是空间中一条有限长的光滑曲线,义在

上的一个有界函数,都存在,

上对弧长的曲线积分,记作若通过对

的任意分割局部的任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.称为被积函数，

称为积分弧段.曲线形构件的质量和对机动目录上页下页返回结束如果L是xoy

面上的曲线弧,如果L

是闭曲线,则记为则定义对弧长的曲线积分为机动目录上页下页返回结束思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx

可能为负.3.性质（k为常数)(

由组成)(l为曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义机动目录上页下页返回结束点设各分点对应参数为对应参数为则机动目录上页下页返回结束说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此机动目录上页下页返回结束如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:

设空间曲线弧的参数方程为则机动目录上页下页返回结束例1.

计算其中L是抛物线与点

B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)机动目录上页下页返回结束例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:

建立坐标系如图,则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为双纽线解:

在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得机动目录上页下页返回结束例4.计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:

线机动目录上页下页返回结束例5.

计算其中

为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知机动目录上页下页返回结束思考:例5中

改为计算解:

令,则圆

的形心在原点,故,如何机动目录上页下页返回结束例6.计算其中为球面解:化为参数方程则机动目录上页下页返回结束例7.有一半圆弧其线密度解:故所求引力为求它对原点处单位质量质点的引力.

机动目录上页下页返回结束内容小结1.定义2.性质(l

曲线弧

的长度)机动目录上页下页返回结束3.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧机动目录上页下页返回结束思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:机动目录上页下页返回结束2.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z

轴的转动惯量(2)求它的质心.解:

设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)机动目录上页下页返回结束故重心坐标为第二节目录上页下页返回结束P1903(3),(4),(6),(7),4第二节目录上页下页返回结束作业备用题1.

设

C

是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:

分段积分机动目录上页下页返回结束2.

L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:

如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为机动目录上页下页返回结束第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分之间的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲线积分

第十一章一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.

引例:

变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在xoy

平面内从点A沿光滑曲线弧L

移动到点B,求移“大化小”“常代变”“近似和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.机动目录上页下页返回结束1)“大化小”.2)“常代变”把L分成n个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F

沿则用有向线段上任取一点在机动目录上页下页返回结束3)“近似和”4)“取极限”(其中

为n

个小弧段的最大长度)机动目录上页下页返回结束2.定义.设

L

为xoy

平面内从A到B的一条有向光滑弧,若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L

称为积分弧段或积分曲线.称为被积函数,在L上定义了一个向量函数极限记作机动目录上页下页返回结束若

为空间曲线弧,记称为对x的曲线积分;称为对y的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若L

可分成k条有向光滑曲线弧(2)用L－

表示L的反向弧,则则

定积分是第二类曲线积分的特例.说明:

对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向

!机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧L上L的参数方程为则曲线积分有定义且连续,证明:

下面先证存在,且有机动目录上页下页返回结束对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L为光滑弧,同理可证机动目录上页下页返回结束特别是,如果L

的方程为则对空间光滑曲线弧

:类似有定理目录上页下页返回结束例1.计算其中L为沿抛物线解法1

取x

为参数,则解法2取y

为参数,则从点的一段.机动目录上页下页返回结束例2.计算其中L为(1)半径为a

圆心在原点的上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点A(a,0)沿x轴到点

B(–a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取L的方程为则则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中L为(1)抛物线(2)抛物线(3)有向折线

解:

(1)原式(2)原式(3)原式机动目录上页下页返回结束例4.设在力场作用下,质点由沿

移动到解:(1)(2)

的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中

为机动目录上页下页返回结束例5.求其中从

z

轴正向看为顺时针方向.解:取的参数方程机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧L

以弧长为参数

的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动目录上页下页返回结束类似地,在空间曲线

上的两类曲线积分的联系是令记A

在t

上的投影为机动目录上页下页返回结束二者夹角为

例6.设曲线段L

的长度为s,证明续,证:设说明:

上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连机动目录上页下页返回结束例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L沿上半圆周机动目录上页下页返回结束1.定义2.性质(1)L可分成k

条有向光滑曲线弧(2)L－

表示L的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结机动目录上页下页返回结束3.计算•对有向光滑弧•

对有向光滑弧机动目录上页下页返回结束4.两类曲线积分的联系•

对空间有向光滑弧

:机动目录上页下页返回结束原点O

的距离成正比,思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见P139例5)F

的大小与M到原F

的方向力F的作用,求力F

所作的功.思考:

若题中F的方向改为与OM垂直且与

y

轴夹锐角,则机动目录上页下页返回结束2.

已知为折线ABCOA(如图),计算提示:机动目录上页下页返回结束作业P2003(2),(4),(6),(7);

4;5;7;8第三节目录上页下页返回结束备用题

1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到xoy

面的距离成反比.沿直求F所作的功W.已知F

的方向指一质点在力场F

作用下由点机动目录上页下页返回结束2.

设曲线C为曲面与曲面从ox

轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线C

的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动目录上页下页返回结束(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动目录上页下页返回结束第三节一、格林公式

二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件机动目录上页下页返回结束格林公式及其应用

第十一章区域D分类单连通区域(无“洞”区域)多连通区域(有“洞”区域)域D边界L的正向:域的内部靠左定理1.

设区域D

是由分段光滑正向曲线L围成,则有(格林公式)函数在D上具有连续一阶偏导数,或一、格林公式机动目录上页下页返回结束证明:1)若D既是X-型区域,又是

Y-

型区域,且则定理1目录上页下页返回结束即同理可证①②①、②两式相加得:定理1目录上页下页返回结束2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域,如图证毕定理1目录上页下页返回结束推论:正向闭曲线L所围区域D的面积格林公式例如,椭圆所围面积定理1目录上页下页返回结束例1.设L是一条分段光滑的闭曲线,证明证:

令则利用格林公式,得机动目录上页下页返回结束例2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:

令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束例3.

计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解:

令设L所围区域为D,由格林公式知机动目录上页下页返回结束在D内作圆周取逆时针方向,,对区域记L和

lˉ

所围的区域为应用格林公式,得机动目录上页下页返回结束二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理2.

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线

L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即机动目录上页下页返回结束说明:

积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1))定理2目录上页下页返回结束证明(2)(3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),与路径无关,有函数定理2目录上页下页返回结束证明

(3)(4)设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2目录上页下页返回结束证明

(4)(1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图),利用格林公式,得所围区域为证毕定理2目录上页下页返回结束说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束例4.

计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L

所围原式圆周区域为D,

则机动目录上页下页返回结束例5.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束例6.

验证在右半平面(x>0)内存在原函数,并求出它.证:

令则由定理2

可知存在原函数机动目录上页下页返回结束或机动目录上页下页返回结束例7.设质点在力场作用下沿由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.机动目录上页下页返回结束曲线L:思考:积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意,本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关!机动目录上页下页返回结束内容小结1.格林公式2.等价条件在

D

内与路径无关.在

D

内有对D

内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q

在D

内具有一阶连续偏导数,则有机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设且都取正向,问下列计算是否正确?提示:机动目录上页下页返回结束2.设提示:第四节目录上页下页返回结束P2142(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)第四节目录上页下页返回结束作业

备用题1.

设

C

为沿从点依逆时针的半圆,计算解:

添加辅助线如图,利用格林公式.原式=到点机动目录上页下页返回结束2.

质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)运动到点B(3,4),到原点的距离,解:

由图知故所求功为锐角,其方向垂直于OM,且与y

轴正向夹角为求变力F

对质点M

所作的功.(90考研)

F

的大小等于点

M在此过程中受力F作用,机动目录上页下页返回结束第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法机动目录上页下页返回结束对面积的曲面积分

第十一章一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质量M.

“大化小,常代变,近似和,求极限”

的方法,其中,

表示n

小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).机动目录上页下页返回结束定义:设为光滑曲面,局部区域任意取点,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在

上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,

叫做积分曲面.机动目录上页下页返回结束连续,则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.则有•线性性质.在光滑曲面

上对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面机动目录上页下页返回结束定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明:由定义知机动目录上页下页返回结束而(光滑)机动目录上页下页返回结束说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)机动目录上页下页返回结束例1.

计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:机动目录上页下页返回结束思考:若是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则机动目录上页下页返回结束例2.

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:

设上的部分,则与

原式=分别表示

在平面机动目录上页下页返回结束例3.

设计算解:

锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的投影域为则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束思考:

若例3中被积函数改为计算结果如何?例4.

求半径为R

的均匀半球壳

的重心.解:

设的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题:

例3是否可用球面坐标计算

?例3目录上页下页返回结束例5.计算解:取球面坐标系,则机动目录上页下页返回结束例6.计算其中

是球面利用对称性可知解:

显然球心为半径为利用重心公式机动目录上页下页返回结束例7.计算其中

是介之间的圆柱面分析:

若将曲面分为前后(或左右)则解:

取曲面面积元素两片,则计算较繁.机动目录上页下页返回结束于平面例8.

求椭圆柱面位于xoy

面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的侧面积S.解:取机动目录上页下页返回结束例9.

设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度

h=36000km,机动目录上页下页返回结束运行的角速度与地球自转角速度相同,

试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:建立坐标系如图,覆盖曲面的半顶角为

,利用球坐标系,则卫星覆盖面积为机动目录上页下页返回结束故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知,卫星覆盖了地球以上的面积,故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:

此题也可用二重积分求A

(见下册P109例2).内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.机动目录上页下页返回结束作业

P2194(3);5(2);6(1),(3),(4);8第五节目录上页下页返回结束备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上的面密度部分

的质量M.解:

在xoy

面上的投影为

故机动目录上页下页返回结束2.

设是四面体面,计算解:

在四面体的四个面上同上平面方程投影域机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束第五节一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质

三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系机动目录上页下页返回结束对坐标的曲面积分

第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)机动目录上页下页返回结束其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定机动目录上页下页返回结束二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为:求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S

的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

机动目录上页下页返回结束对一般的有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则机动目录上页下页返回结束设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个任意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;

叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对

的则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.机动目录上页下页返回结束引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;若记

正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式机动目录上页下页返回结束3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用

ˉ表示

的反向曲面,则机动目录上页下页返回结束三、对坐标