二次函数压轴题型解读

二次函数压轴题型解读二次函数在中考中占的比重还是比较大的，一般在选择填空部分出题会相对基础比较容易得分，在解答题中会出一道中等难度实际应用问题，考察二次函数的图像性质以及在实际问题中的应用，26题可以说是代数部分最难的一道题了，这道题想要得满分比较困难，需要学生熟练掌握二次函数基础知识以及函数区间最值、分段函数、新定义函数、交点问题等。【知识点1】二次函数交点问题：问题引入：平面直角坐标系中xOy中，已知点A(-1，2)，点B(3，2)，若直线y=kx+3【解析】可将A、B两点坐标代入一次函数解析式中，求出对应的k值，即为k的取值范围。在二次函数中：（1）抛物线的解析式系数不全为定值时，分类讨论，确定函数图像怎么变化，进而确定与线段交点。（2）利用函数中的特殊值：对称轴（确定a、b关系），与y轴交点纵坐标（确定c值），顶点轨迹等。（3）解题思路：确定三个临界点，及抛物线过线段两端点以及与线段所在直线只有一个交点时的点。例题1、在平面直角坐标系xOy中，已知点A-1，2，点B3，2，若抛物线y=【答案】c的取值范围为0≤c≤9．【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图像求解．【解析】解：∵抛物线的解析式为y=x24x3+c=（x-2）27+c,

∴抛物线的顶点坐标为（2，c7），

如解图，

①当抛物线的顶点在线段AB上时，c7=2，

解得c=9；

②当抛物线过点A时，将A（1，2）代入y=x24x3+c中，

解得c=0；

③当抛物线过点B时，将B（3，2）代入y=x24x变式练习1、已知点A-1，2，点B3，2，若抛物线y=x【答案】-【分析】先求得顶点的坐标，可知抛物线的顶点在直线y=1上移动，分别求出抛物线过点A、点B时b的值，画出此时函数的图像，结合图像即可求出b的取值范围．【解析】解：如图：

y=x22bx+b21=（xb）21，

∴抛物线顶点坐标为（b,1），

∴抛物线y=x22bx+b21的顶点在直线y=1上，

把A（1，2）的坐标代入y=x22bx+b21，

得2=1+2b+b21，即b2+2b2=0，

解得b=b=3-1把B（3，2）的坐标代入y=x22bx+b21，

得2=322b×3+b21，即b26b+6=0，

解得b=3+3或b=结合函数图像可知：-变式练习2、已知点A-1，2，点B3，2，若抛物线y=a【答案】a=29或a＜【分析】将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线顶点所在直线及抛物线经过定点，结合图像求解．【解析】∵y=ax24ax5a=a（x2）29a,

∴抛物线顶点坐标为（2，9a），

当9a=2时，a=29抛物线顶点在线段AB上，符合题意，

∵y=ax24ax5a=a（x+1）（x5），

∴抛物线经过定点（1，0），（5，0），

a减小，抛物线顶点上升，当点B（3，2）经过抛物线时，2=9a12a5a,

解得a=14，

∴a＜14时满足题意，

综上所述，a=29或a＜1【知识点2】区间最值问题： 解题思路：（1）二次函数区间最值问题的核心思想：数形结合（2）找对称轴，找到顶点、交点，根据a的值（判断开口方向）画出图像。（3）判断给出的区间x值距对称轴的远近求出最大值最小值。分情况讨论：①取值范围包含对称轴；②取值范围在对称轴左侧；③取值范围在对称轴右侧，判断y随x的变化情况求最值。例题1、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知点A(1,0)、B(4,0)(1)求二次函数的解析式；(2)当y>0时，请直接写出自变量x的取值范围；(3)当3≤x≤4时，求函数y的最大与最小值【分析】通过已知三点坐标抛物线解析式可求；由图像可以看出y＞0时x的取值范围，并且也能够看出3≤x≤4这个区间上的增减性，从而确定y的最值【答案】（1）y=34x²94x3（2）x＜1或x＞4 （3）【解析】（1）二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点A（1，0）和点B（4,0），设函数解析式为y=a（x+1）（x4）代入点C（0，3）解得：a=3∴二次函数解析式为：y=34x²94(2)当y>0时，x＜1或x＞4(3)函数对称轴为x=32，当32＜3≤x≤4时，由∴x=3时，y有最小值；x=4时，y有最大值 y最小值为3，y最大值为0.变式练习1、在平面直角坐标系中，直线l1：y=12mx+mm≠0与直线l2：y=nxn≠0且n≠12m相交于点A，直线l1与x轴相交于点B，直线（1）①点B的坐标是_____________;②点P的坐标是_____________(用含m、n的代数式表示)；（2）求a的值(用含m、n的代数式表示)；（3）若n=1，当2≤x≤1时，ax2+bx+c【答案】（1）（2,0）（1，m-2n4） （2）a=2n-m4 （【解析】（2）设抛物线的解析式为y=a(x+1)²+m∵直线l1：y=1∴y=12mx+m∴点A的坐标是（2m2n-m∴2m解得：a=2n（3）当n=1时，a=2n-m∴抛物线解析式可以转化为y=a(x+1)²a=ax²+2ax∴点P的坐标可以表示为（1，a）。当a<0时，抛物线开口向下，∴当x=1时，ax²+bx+c有最大值，最大值为a,∴a≤1,解得a≥1.∴1≤a<0,即1≤2-解得2<m≤6当a>0时，抛物线开口向上，∴当x=1时，ax²+bx+c有最大值，最大值为a+2a=3a∴3a≤1,解得a≤10<a≤13,即0<2-解得：23综上，m的取值范围是23≤m<2或变式练习2、已知二次函数y=-x2+bx(1)当b=2，c=3时，此二次函数图像的顶点坐标是_______.(2)当c=5时，若在函数值y=9的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的表达式.(3)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为15【答案】（1）（﹣1，4）；（2）y＝﹣x2+4x+5或y＝﹣x2﹣4x+5；（3）y＝﹣x2+15x+15或y＝﹣x2﹣23x+12．【解析】（1）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴二次函数图像的顶点坐标是：（﹣1，4）；故答案为：（﹣1，4）；（2）当c＝5时，二次函数的表达式为y＝﹣x2+bx+5，由题意，得方程﹣x2+bx+5＝9有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得：b＝±4，∴此时二次函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5或y＝﹣x2﹣4x+5；（3）当c＝b2时，y＝﹣x2+bx+b2，它的图像开口向下，对称轴为：x＝b2①若b2＜b，即b＞0在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而减小故当x＝b时，y＝﹣b2+b•b+b2＝b2为最大值，∴b2＝15，解得：b＝15或b＝﹣15（舍去），②若b≤b2≤b+3，即﹣6≤b≤0故当x＝b2时，y＝﹣（b2）2+b•b2+b2＝5∴54b2＝15解得：b＝23（舍去）或b＝﹣23，③若b2＞b+3，即b＜﹣6在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大故当x＝b+3时，y＝﹣（b+3）2+b•（b+3）+b2＝b2﹣3b﹣9为最大值，∴b2﹣3b﹣9＝15，解得：b＝3±105综上所述，b＝15或b＝﹣23，此时二次函数的表达式为：y＝﹣x2+15x+15或y＝﹣x2﹣23x+12．【知识点3】双抛问题：（1）解二次函数双抛问题一般性步骤：①审题，审清题意，求解析式；②数形结合，画出图形，利用图像性质进行解题；③对于计算能力的考查，“快、准”。（2）解题过程中使用数形结合，对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，在代数和几何的结合上找出解题思路。例题1、定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0（1）已知二次函数y=x①直接写出这个二次函数的衍生函数的表达式：②若点P(m，-32)在这个二次函数的衍生函数的图像上，求m③当时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值；（2）①当二次函数y=1ax2+2x-2（a＜0）的衍生函数的图像与以A(②当a=1时，当t1≤x≤t+1时，伴随抛物线的最大值为1，直接写出t的值或t的取值范围.【答案】（1）①y=x2-2x-2（x≥0）-x③最大值为1，最小值为3 （2）①a＝－4或a＜-256或-910≤a＜0 【解析】（1）①y=②当m≥0时，m解得：m1=1+6当m＜0时，-解得：m1=-1+综上所述，m的值为1+62或-1+2③当2≤x＜0时，y=x=1时，y的最大值为1；x=2时，y的最小值为y=11=2.当2≤x≤3时，y=x=1时，y的最小值为3；x=3时，y的最大值为1综上所述，当2≤x≤3时，这个二次函数的最大值为1，最小值为3．（2）如图，二次函数y=1a∵a＜0，即1a＜0，1a＞∴当x≥0时，即y轴右侧，y=1ax2+2x-2=1当x＜0时，=-1ax2+2x由题意，得－a－2＝2，a＝－4，此时抛物线与AB只有一个交点；B(5，2)代入y=1a∵顶点(a，a2)，a越小，顶点越往上，∴a＜-25A（－3,2）在伴随抛物线y=-1ax2+2x-2上时，代入得∴当伴随抛物线y=1ax2+2x-2（x≥0）-1ax2+2x-2（x＜0）与线段AB有一个公共点时，∵对称轴为x＝1，∴当t－1≤1，且t－1≥0,即1≤t≤2时满足条件.当t＜0时，y=1ax2+2x-2=1ax+a2∴满足条件的t的值或范围为1≤t≤2或t=-2.变式练习1、已知函数y=（1)若n=5，①点P(4,b)在此函数图像上，求b的值：②求此函数的最大值。（2)已知线段AB的两个端点坐标分别为A(2，2)、B(4，2)，当此函数的图像与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围；（3)当此函数图像上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围，【答案】（1）①b=92 ②458 （2）185＜n＜4【解析】（1)当n=5时，①将P(4,b)代入得b=9②当x≥5时，y=-x-52当x＜5时，y=-12x-5综上所述，y的最大值为45（2）185＜n（3）n＞0时，n＞n2，函数图像①如图1中，当点A的纵坐标为4时，将点（4，2）代入y=−18则有−18n2+n24+n2=n28+n2=4时，解得n=4或n=8（舍去），

观察图像可知：n=4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．

②如图2中，观察图像可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是A、B、C、D．

n＜0时，n＜n2，函数图像如图中实线．④如图4中，当n≤8时，观察图像可知，恰好有四个点满足条件，分别为A，B，C，D．

综上所述，函数图像上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤8或n=225或n=4或n≥8．变式练习2、如图在平面直角坐标系中，抛物线y=ax24ax+3（a≠0）与抛物线y=12（x+1）2+k均经过点A（1,0）。直线x=m在着两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴结合），函数y=ax24ax+3（x≥m）的图像记为G1，函数y=12（x+1）（1）求a、k的值；（2）当m=12（3）当2≤x≤72（4）当直线y=2m1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围.【答案】（1）a=1,k=2. （2）x≤1或12≤x≤2. （3） （4【解析】（1）抛物线ya24ax+3(a≠0)与抛物线y=(x+1)2+k图像G1与G2均经过点，A(1.0)，∴a4a+3=0,解得a=1,k=2.（2）∵y=x24x+3=(x2)21∴图像G1的对称轴为直线x=2图像G2的对称轴为直线x=1.当m=12时，图形G上y随的增大而减小时x的取值范围是x≤1或1(3)当1<m<1时,m24m+3=2解得.m2=>1(舍去).当1<m<2时，解得；<1(舍去)(4)当直线y=2m1与y=(x2)21,x=m相交时，2m1=(m2)21,解得；当直线y=2m1与y=(x+1)22,x=m相交时，2m1=(m+1)22，解得,.当y=2m1=2时,m=2当y=2m1=1时,m=0.∵x=m在两条抛物线中间，∴1/2＜m≤，m=0,≤m＜2.变式练习3、定义:点P（m,m）是平面直角坐标系内一点，将函数l的图像位于直线x=m左侧部分，以直线y=m为对称轴翻折，得到新的函数l'的图像，我们称函数l'是函数l的相关函数，函数l'的图像记作F1,函数l的图像未翻折的部分记作F2,图像F1和图像F2合起来记作图像F，例如函数l的解析式为y=x2-1,当(1)如图，函数l的解析式为y=-12x+2,当m=1时，求(2)函数l的解析式为y=-3x，当m=0时，图像F上某点的纵坐标为(3)已知函数l的解析式为y=x已知点A、B坐标分别为（0，2）、（6，2），当图像F与线段AB只有一个公共点时，结合函数图像，求的取值范围m;若点C（x，n）是图像F上任意一点，当m2≤x≤5时，n的最小值始终保持不变，求m的取值范围（直接写出结果）.【答案】（1） （2）；（3）①，或②【解析】(1);(2)图像:,当时，，解得:，该点的横坐标为或；(3)①图像:当经过点或当时,,解得:;当经过点或当时，,解得:或;6分当经过点时，,解得:当经过点时，,解得:随着的增大，图像的左端点先落在上(两个交点)，的端点落在上(一个交点)，图像经过点(两个交点),图像的左端点再次落在上(一个交点),图像的端点落在上(无交点)，图像经过点(一个交点),的取值范围为:，或，1、把函数C1：y=ax2-2ax-3a（a≠0）的图像绕点P（m，0）旋转180°得到新函数C2的图像，我们称C（1）填空：t的值为（用含m的代数式表示）（2）若a=1，当12≤x≤t时，函数C1的最大值为y1【答案】（1）t＝2m﹣1；（2）C2的解析式y＝x2﹣4x【解析】（1）∵函数C1的顶点坐标为（1，﹣4a），∴顶点y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图像绕点P（m，0）旋转180°后的顶点坐标为（2m﹣1，4a），∵C2图像的对称轴与x轴交点坐标为（t，0），∴t＝2m﹣1，（2）∵a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3，∴函数的对称轴为x＝1，①当12≤t＜1时，x＝t时，有最大值y1＝﹣t2+2tx＝12时，有最小值y2＝15∵y1﹣y2＝1，∴﹣t2+2t+3﹣154＝1，此时t②当1≤t≤32时，x＝1时，有最大值y1x＝32时，有最小值y2＝15∴y1﹣y2＝14③当t＞32时，x＝1时，有最大值y1x＝t时，有最小值y2＝﹣t2+2t+3，∵y1﹣y2＝1，∴4﹣t2﹣2t﹣3＝1，∴t＝2或t＝0（舍），∴C2的解析式y＝x2﹣4x．2、在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图像关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）相交于点P、Q．（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为；（2）函数F1为y＝，当PQ＝6时，t的值为；（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），①当t＝时，求△OPQ的面积；②若c＞0，函数F1和F2的图像与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．【答案】（1）4 （2）1 （3）①S△OPQ＝1 ②h=【解析】（1）∵F1：y＝x+1，F1和F2关于y轴对称，∴F2：y＝﹣x+1，分别令x＝2，则2+1＝3，﹣2+1＝﹣1，∴P（2，3），Q（2，﹣1），∴PQ＝3﹣（﹣1）＝4，（2）∵F1：，可得：F2：，∵x＝t，可得：P（t，），Q（t，），∴PQ＝﹣＝＝6，解得：t＝1，经检验：t＝1是原方程的解，（3）①∵F1：y＝ax2+bx+c，∴F2：y＝ax2﹣bx+c，∵t＝，分别代入F1，F2，可得：P（，），Q（，），∴PQ＝||＝，∴S△OPQ＝1；②∵函数F1和F2的图像与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），而函数F1和F2的图像关于y轴对称，∴函数F1的图像经过A（5，0）和（﹣1，0），∴设F1：y＝a（x+1）（x﹣5）＝ax2﹣4ax﹣5a，则F2：y＝ax2+4ax﹣5a，∴F1的图像的对称轴是直线x＝2，且c＝﹣5a，∴a＝，∵c＞0，则a＜0，c+1＞1，而F2的图像在x＞0时，y随x的增大而减小，当0＜c＜1时，F1的图像y随x的增大而增大，F2的图像y随x的增大而减小，∴当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，y＝ax2+4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，则h＝a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣8ac﹣8a，又∵a＝，∴h＝；当1≤c≤2时，F1的最大值为＝﹣9a，F2的图像y随x的增大而减小，∴F2的最小值为：a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a，则h＝﹣9a﹣[a（c+1）2+4a（c+1）﹣5a]＝﹣a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣4a＝﹣ac2﹣6ac﹣9a，又∵a＝，∴h＝当c＞2时，F1的图像y随x的增大而减小，F2的图像y随x的增大而减小，∴当x＝c时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最大值为ac2﹣4ac﹣5a，当x＝c+1时，y＝ax2﹣4ax﹣5a的最小值为a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a，则h＝ac2﹣4ac﹣5a﹣[a（c+1）2﹣4a（c+1）﹣5a]，又∵a＝，∴h＝2c2+c；综上所述，h关于c的解析式为：h=．3、已知函数y＝-12x2+（1）当m＝2时，①已知M（4，n）在该函数图像上，求n的值；②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．（2）当m＞0时，作直线x＝12m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m（3）当m≤3时，设图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．【答案】（1）①10 ②178 （2）6或14 （3）209【解答】（1）当m＝2时，y＝-1①∵M（4，n）在该函数图象上，∴n＝42﹣2×4+2＝10；②当0≤x＜2时，y＝﹣12x2+12x+2＝﹣12（x﹣12）∵﹣12∴当x＝12时，y有最大值是21当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，∵2＜218∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是218（2）分两种情况：①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝12∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝PQ，∴12m＝﹣12·解得：m1＝0，m2＝6，∵m＞0，∴m＝6；②当Q在x轴下方时，同理得：12m＝12·解得：m1＝0，m2＝14，∵m＞0，∴m＝14；综上，m的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，当x＝0时，y＝m，∴OB＝m，∵CD＝m，∴CD＝OB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△ABO≌△BCD（ASA），∴OA＝BD，当x＜m时，y＝0，即﹣12x2+1x2﹣x﹣2m＝0，解得：x1＝1-1+8m2，x2∴OA＝1+8m-12∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，∴OD＝c＝﹣13∴BD＝m﹣OD＝m+13∵OA＝BD，∴1+8m-12解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝209②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，同理得：OA＝BD，当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，解得：x1＝m+m2-4m2∴OA＝m+m∴m+m2-解得：m1＝0，m2＝﹣1621综上，m的值是209或﹣164、在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y于点C，连接AC．（1）求点B、点C的坐标；（2）如图1，点E（m，0）在线段OB上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，OE＝OF，连接AF，BF，EF，设△ACF的面积为S1，△BEF的面积为S2，S＝S1+S2，当（3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P在第一象限的抛物线上，PD与BC相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）B（3，0），C （0，﹣3） （2）1 （3）（4，5）【解答】（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；当x＝0时，y＝02﹣2×0﹣3＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．（2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴OA＝1，OB＝OC＝3．∵点E的坐标为（m，0），OE＝OF，∴OE＝OF＝m，BE＝CF＝3﹣m，∴S＝S1+S2＝12•CF•OA+1＝12×（3﹣m）×1+12×（3﹣m＝﹣12m2+m+＝﹣12（m﹣1）2+2∵﹣12＜0∴当m＝1时，S取得最大值，即当S取最大值时，m的值为1．（3）存在，设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3）．在图（2）中，连接BD，过点Q作QM⊥x轴于点M，过点D作DN∥x轴，过点P作PN∥y轴交DN于点N．∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，BC＝32．∵抛物线的顶点为D，∴点D的坐标为（1，﹣4），∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴BD＝（3-1）2+0-