2024-2025学年高中数学第三章导数应用2.2最大值最小值问题课后作业含解析北师大版选修2-2VIP

PAGE第三章导数应用[A组基础巩固]1．函数f(x)＝2x3－6x2－18x－7在[1,4]上的最小值为()A．－64 B．－51C．－56 D．－61解析：f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，f(3)＝－61，f(1)＝－29，f(4)＝－47.所以所求的最小值为－61.答案：D2．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为eq\f(15,4)，则a的值为()A．－eq\f(3,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)或－eq\f(3,2)解析：当a≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是减函数，此时f(a)最大，所以－a2－2a＋3＝eq\f(15,4)，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝－eq\f(3,2)(舍去)．答案：C3．若函数f(x)＝asinx＋eq\f(1,3)sin3x在x＝eq\f(π,3)处有最值，那么a等于()A．2 B．1C.eq\f(2\r(3),3) D．0解析：∵f′(x)＝acosx＋cos3x(x∈R)，又f(x)在x＝eq\f(π,3)处有最值，故x＝eq\f(π,3)是函数f(x)的极值点，所以f′(eq\f(π,3))＝acoseq\f(π,3)＋cosπ＝0，即a＝2，故选A.答案：A4．函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e\f(π,2)))C．[1，eeq\f(π,2)] D．(1，eeq\f(π,2))解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤eq\f(π,2)时，f′(x)≥0，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数．∴f(x)的最大值为f(eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)eeq\f(π,2)，f(x)的最小值为f(0)＝eq\f(1,2).答案：A5．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k＞0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A.eq\f(d,3) B.eq\f(d,2)C.eq\f(\r(3),3)d D.eq\f(\r(2),2)d解析：设断面高为h，则h2＝d2－x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0＜x＜d.令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝±eq\f(\r(3),3)d(舍去负值)．当0＜x＜eq\f(\r(3),3)d时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当eq\f(\r(3),3)d＜x＜d时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝eq\f(\r(3),3)d.所以x＝eq\f(\r(3),3)d时，f(x)有最大值，故选C.答案：C6．设x0是函数f(x)＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．解析：f′(x)＝eq\f(1,2)(ex－e－x)，令f′(x)＝0，∴x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0,1)，f′(0)＝0为切线斜率，∴切线方程为y＝1.答案：y＝17．函数f(x)＝4x2(x－2)在[－1,1]上的最小值为______，最大值为________．解析：∵f(x)＝4x3－8x2，∴f′(x)＝12x2－16x＝4x(3x－4)．令f′(x)＝0，则x＝0或x＝eq\f(4,3).又x∈[－1,1]，∴f(1)＝－4，f(0)＝0，f(－1)＝－12.∴f(x)的最大值为0，最小值为－12.答案：－1208．设f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)<m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2－x－2＝(x－1)(3x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(1)＝1－eq\f(1,2)－2＋5＝eq\f(7,2)，f(－eq\f(2,3))＝－eq\f(8,27)－eq\f(2,9)＋eq\f(4,3)＋5＝5eq\f(22,27).又f(－1)＝－1－eq\f(1,2)＋2＋5＝eq\f(11,2)，f(2)＝8－2－4＋5＝7.所以f(x)max＝f(2)＝7.所以m>7.答案：(7，＋∞)9．求函数y＝f(x)＝eq\f(x－1,x2＋1)在区间[0,4]上的最值．解析：y′＝eq\f((x2＋1)－(x－1)·2x,(x2＋1)2)＝eq\f(－x2＋2x＋1,(x2＋1)2).令y′＝0，即－x2＋2x＋1＝0，得x＝1±eq\r(2)，而x＝1－eq\r(2)∉[0,4]．∴当x∈(0,1＋eq\r(2))时，f′(x)>0；当x∈(1＋eq\r(2)，4)时，f′(x)<0.∴x＝1＋eq\r(2)是f(x)的极大值点，f(x)极大值＝f(1＋eq\r(2))＝eq\f(\r(2)－1,2).∵f(0)＝－1，f(4)＝eq\f(3,17)，∴函数的最大值为eq\f(\r(2)－1,2)，最小值为－1.10．某单位用2160万元购得一块空地，安排在该地块上建立一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，假如将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq\f(购地总费用,建筑总面积))解析：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N＋)，f′(x)＝48－eq\f(10800,x2)，令f′(x)＝0，得x＝15或x＝－15(舍去)，当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0.因此当x＝15时，f(x)取最小值f(15)＝2000.故为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．[B组实力提升]1．已知f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对解析：∵f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，由f′(x)＝0，解得x＝0或x＝4(舍)，又f(－1)＝b－7a，f(0)＝b，f(2)＝b－16a，∴f(x)min＝b－16a，f(x)max＝b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－16a＝－29,b＝3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3.))故选C.答案：C2．函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间[0，eq\f(π,2)]上的值域为()A．[] B．()C．[] D．()解析：f′(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＋eq\f(1,2)ex(cosx－sinx)＝excosx.当x∈[0，eq\f(π,2)]时，f′(x)≥0，即f(x)在[0，eq\f(π,2)]上是增加的．∴f(x)max＝f(eq\f(π,2))＝eq\f(1,2)eeq\f(π,2)，f(x)min＝f(0)＝eq\f(1,2).答案：A3．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x＞6)，年销量为u万件，若已知eq\f(585,8)－u与(x－eq\f(21,4))2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件，则该产品的年最大利润为__________万元．解析：设eq\f(585,8)－u＝k(x－eq\f(21,4))2，因为售价为10元时，年销量为28万件，所以eq\f(585,8)－28＝k(10－eq\f(21,4))2，解得k＝2，所以u＝－2＋eq\f(585,8)＝－2x2＋21x＋18，所以年利润f(x)＝(x－6)(－2x2＋21x＋18)＝－2x3＋33x2－108x－108，则f′(x)＝－6x2＋66x－108＝－6(x－2)(x－9)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝9，因为x＞6，所以x＝9.当6＜x＜9时，f′(x)＞0；当x＞9时，f′(x)＜0，所以x＝9为f(x)的极大值点，所以当x＝9时，年利润最大，最大年利润为f(9)＝135万元．答案：1354．等腰梯形ABCD中，上底CD＝40，腰AD＝40，则AB＝__________时，等腰梯形面积最大．解析：如图，设∠A＝θ，则h＝AD·sinθ，AB＝40＋2ADcosθ，故S＝eq\f(1,2)AD·sinθ(40＋40＋2ADcosθ)＝20(80＋80cosθ)sinθ＝1600(1＋cosθ)sinθ.S′＝1600[cosθ(1＋cosθ)－sinθsinθ]，令S′＝0得cosθ＝－1，cosθ＝eq\f(1,2).因为0＜θ＜eq\f(π,2)，所以cosθ＞0.所以cosθ＝eq\f(1,2).即θ＝eq\f(π,3)时，等腰梯形的面积最大，此时AB＝40＋2×40×eq\f(1,2)＝80.答案：805．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得微小值－eq\f(4,3).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若x∈[－4,3]时，有f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)恒成立，求实数m的取值范围．解析：(1)f′(x)＝x2＋a，由题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′(2)＝4＋a＝0,f(2)＝\f(8,3)＋2a＋b＝－\f(4,3)))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，))令f′(x)＝x2－4>0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．(2)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，当x改变时，f′(x)与f(x)的改变状况如下表：x－4(－4，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－eq\f(4,3)eq\f(28,3)－eq\f(4,3)1所以x∈[－4,3]时，f(x)max＝eq\f(28,3).于是f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)在x∈[－4,3]上恒成立，等价于m2＋m＋eq\f(10,3)≥eq\f(28,3)，解得m∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)．6．已知函数f(x)＝ex－kx，x∈R.(1)若k＝e，试确定函数y＝f(x)的单调区间；(2)若k>0，且对于随意x∈R，y＝f(|x|)>0恒成立，试确定实数k的取值范围．解析：(1)由k＝e得f(x)＝ex－ex，所以f′(x)＝ex－e.由f′(x)>0得x>1，故y＝f(x)的递增区间是(1，＋∞)，由f′(x)<0得x<1，故y＝f(x)的递减区间是(－∞，1)．(2)由f(|－x|)＝f(|x|)可知y＝f(|x|)是偶函数，于是y＝f(|x|)>0对随意x∈R成立等价于y＝f