2024-2025学年高中数学第三章概率3.3模拟方法-概率的应用学案含解析北师大版必修3

PAGE3模拟方法——概率的应用考纲定位重难突破1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简洁的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区分与联系.重点：几何概型的特点及概念.难点：应用几何概型的概率公式求概率.授课提示：对应学生用书第48页[自主梳理]1．几何概型(1)向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形态、位置无关．即P(点M落在G1)＝eq\f(G1的面积,G的面积)，则称这种模型为几何概型．(2)几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．2．几何概型概率的计算几何概型的概率公式在几何概型中，事务的概率的计算公式如下：P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度（面积或体积）,试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）)[双基自测]1．几何概型与古典概型的区分是()A．几何概型的基本领件是等可能的B．几何概型的基本领件的个数是有限的C．几何概型的基本领件的个数是无限的D．几何概型的基本领件不是等可能的解析：由几何概型和古典概型各自的特点对比可得答案C.答案：C2．有四个嬉戏盘，将它们水平放稳后，向嬉戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的嬉戏盘是()解析：四个选项中小明中奖的概率分别为eq\f(3,8)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，故应选A中的嬉戏盘．答案：A3．在区间[－1，3]上随机取一个数x，若x满意|x|≤m的概率为eq\f(1,2)，则实数m的值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：区间[－1，3]的区间长度为4.不等式|x|≤m的解集为[－m，m]，区间长度为2m，由eq\f(2m,4)＝eq\f(1,2)，得m＝1.答案：B授课提示：对应学生用书第49页探究一与长度、角度有关的几何概型[典例1]某汽车站每隔15分钟就有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是随意的，求一位乘客到达车站后等车时间大于10分钟的概率．[解析]设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T＝5，T2T＝10，如图．记等车事务大于10分钟为事务A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事务A发生，区域T1T2的长度为15，区域T1T的长度为5.所以P(A)＝eq\f(T1T的长度,T1T2的长度)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(1)与长度有关的几何概型概率的求法①与长度有关的几何概型问题的计算公式假如试验的结果构成的区域的集合度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A)＝eq\f(构成事务A的区域长度,试验的全部结果所构成的区域长度).②与长度有关的几何概型问题的三个解题步骤a．找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，并计算区域D的长度．b．找到事务A发生时对应的区域d，确定d的边界点是问题的关键．c．利用几何概型概率公式求概率．(2)与角度有关的几何概型概率的求法①假如试验的全部结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A)＝eq\f(构成事务A的区域角度,试验的全部结果构成的区域角度).②解决此类问题的关键是事务A在区域角度内是匀称的，进而判定事务的发生是等可能的．1.如图，有一圆盘，其中阴影部分的圆心角为75°，若向圆内投镖，假如某人每次都投入圆内，且投到任何位置都有等可能的．那么他投中阴影部分的概率为________．解析：圆盘对应的圆心角为360°，阴影部分对应的圆心角为75°，故投中阴影部分的概率P＝eq\f(75°,360°)＝eq\f(5,24).答案：eq\f(5,24)探究二与面积有关的几何概型[典例2]一只受伤的丹顶鹤在如图所示(直角梯形)的草原上飞过，其中AD＝eq\r(2)，DC＝2，BC＝1.它可随机落在该草原上任何一处，若落在扇形沼泽区域ADE以外，丹顶鹤能生还，求该丹顶鹤生还的概率．[解析]过点D作DF⊥AB于点F，如图所示．在Rt△AFD中，因为AD＝eq\r(2)，DF＝BC＝1，所以AF＝1，∠A＝eq\f(π,4)，所以梯形ABCD的面积S1＝eq\f(1,2)×(2＋2＋1)×1＝eq\f(5,2).扇形DAE的面积S2＝π×(eq\r(2))2×eq\f(\f(π,4),2π)＝eq\f(π,4).依据几何概型的概率计算公式，得丹顶鹤生还的概率P＝eq\f(S1－S2,S1)＝eq\f(\f(5,2)－\f(π,4),\f(5,2))＝1－eq\f(π,10).在探讨射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P(A)＝eq\f(构成事务A的区域面积,试验的全部结果构成的区域面积)计算事务的概率即可．2.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为()A.eq\f(\r(3),12π) B.eq\f(3\r(3),4π)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),π)解析：设正三角形的边长为a，圆的半径为R，则R＝eq\f(\r(3),3)a，所以正三角形的面积为eq\f(\r(3),4)a2，圆的面积S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π)，故选B.答案：B探究三与体积有关的几何概型[典例3]正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，在正方体内随机取一点M.求点M落在三棱锥B′－A′BC内的概率．[解析]记“点M落在三棱锥B′－A′BC内”为事务E.因为棱长为a的正方体的体积V＝a3，由正方体的性质可知VB′－A′BC＝eq\f(1,3)SB′BC·A′B′＝eq\f(1,6)a3.故P(E)＝eq\f(VB′－A′BC,V)＝eq\f(\f(1,6)a3,a3)＝eq\f(1,6).假如试验的结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好视察角度，精确找出基本领件所占的总的体积及事务A所分布的体积．其概率的计算公式为P(A)＝eq\f(构成事务A的区域体积,试验的全部结果构成的区域体积).3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取一点M，求使四棱锥M­ABCD的体积不超过eq\f(1,6)(事务A)的概率．解析：设M到平面ABCD的距离为h，则VM­ABCD＝eq\f(1,3)S底面ABCD·h≤eq\f(1,6).又S底面ABCD＝1，所以只要h≤eq\f(1,2)即可．全部满意h≤eq\f(1,2)的点组成以正方形ABCD为底面，eq\f(1,2)为高的长方体，其体积为eq\f(1,2)，又正方体的体积为1，所以使四棱锥M­ABCD的体积不超过eq\f(1,6)(事务A)的概率为P(A)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).古典概型与几何概型的综合问题[典例](本题满分12分)已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)．(1)当x，y∈Z时，求点P满意(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)当x，y∈R时，求点P满意(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．[规范解答](1)由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，得基本领件总数n＝25，满意(x－2)2＋(y－2)2≤4的点P的坐标有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6个，故所求概率P1＝eq\f(6,25).…………………6分(2)如图所示，由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，则构成该事务的总区域是边长为4的正方形，其面积为16，其中满意(x－2)2＋(y－2)2≤4的点构成所求事务的区域如图所示的阴影部分，其面积为eq\f(1,4)×π×22＝π，故所求概率P2＝eq\f(π,16).………………12分[规范与警示]1.本题正确区分(1)(2)两问题是古典概型还是几何概型是解决本题的难点，也是易错点．2．在问题(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本领件的个数是有限的，且是等可能的，明显属于古典概型；正确求解基本领件总数及点P满意(x－2)2＋(y－2)2≤4，基本领件个数是求解本题的关键．3．在问题(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本领件的个数是无限的，且是等可能的，故其属于几何概型，正确将其转化为面积之比是解决本题的关键．[随堂训练]对应学生用书第50页1．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,8)解析：因为N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率为eq\f(2－1,6＋2)＝eq\f(1,8).答案：B2.随意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到其次个正方形，依次类推，这样一共画了3个正方形，如图所示．若向图形中随机投一点，则所投点落在第三个正方形内的概率是________．解析：利用几何概型，其测度为面积．设大正方形的边长为1，面积为1，∵第三个正方形的边长为eq\f(1,2)，所以面积为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴所投点落在第三个正方形内的概率为eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，望见下列三种状况的概率各是多少