第5讲最值问题(原卷版+解析)

第5讲最值问题考情分析与解析几何有关的范围、最值问题,高考中屡屡皆是,面对此类题目，往往无从下手。考查最值问题，不仅对圆锥曲线的基本性质的考查，而=更是涉及到对其他章节知识的考查。它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．二、经验分享1.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【知识拓展】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则①.②.③.④.；⑤.；⑥.；三、题型分析（一）利用题设条件，结合几何特征与性质求范围1.【2020北京石景山一模】如图，已知线段上有一动点（异于，），线段，且满足是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【变式训练1】【2020陕西延安二模】已知，为双曲线，的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【变式训练2】【2020福建龙岩毕业班质检】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（）A.B.C.D.【变式训练3】【2018-2020学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆：作切线,切点分别为,,则的最小值为（）A．10B．13C．16D．19（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围例2.【2020河南八市下学期第一次测评】已知抛物线:与圆:，直线与交于，两点，与交于，两点，且，位于轴的上方，则_________．【变式训练1】【2020福建龙岩三月质检】已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线绕点运动时，试求的取值范围.【变式训练2】【2020山东济南一模】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为.（1）求和的值；（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.【变式训练3】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.（三）利用基本不等式求范围例3.【2020陕西榆林二模】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．【变式训练1】已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．（四）求解函数值域得范围例4.已知抛物线：，为轴负半轴上的动点，、为抛物线的切线，、分别为切点，则的最小值为（）A.B.C.D.【变式训练1】已知椭圆：经过点，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点且与椭圆交于，两点，求的最大值.（五）利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围例5.已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（）A．B．C．或D．或【变式训练1】【2020四川雅安中学3月考】已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点，、是椭圆的左右焦点，为的内切圆圆心，若，则的值是（）A.B.C.D.四、迁移应用1.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.2．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）A．3B．C．D．23．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或4．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，5．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）A．B．C．D．6．【2018全国卷Ⅲ】已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．(1)证明：；(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．7．设椭圆()的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，点的坐标为，且．(1)求椭圆的方程；(2)设直线：与椭圆在第一象限的交点为，且与直线交于点．若(O为原点)，求k的值．

8．平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、．以QUOTE为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆QUOTE上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点．(i)求QUOTE的值；（ii）求△面积的最大值．第5讲最值问题考情分析与解析几何有关的范围、最值问题,高考中屡屡皆是,面对此类题目，往往无从下手。考查最值问题，不仅对圆锥曲线的基本性质的考查，而=更是涉及到对其他章节知识的考查。它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用．二、经验分享1.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；③利用基本不等式求出取值范围；④利用函数的值域的求法，确定取值范围2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【知识拓展】1.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：①；②同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2.过椭圆左焦点的焦点弦为,则；过右焦点的弦.抛物线与直线相交于且该直线与轴交于点，则有.4.设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则①.②.③.④.；⑤.；⑥.；

三、题型分析（一）利用题设条件，结合几何特征与性质求范围1.【2018北京石景山一模】如图，已知线段上有一动点（异于，），线段，且满足是大于且不等于的常数），则点的运动轨迹为（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分【答案】B【解析】以线段所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设是运动轨迹上任一点，且，则，.所以，，所以，即，即且，所以点的运动轨迹为椭圆的一部分，故选B．【变式训练1】【2018陕西延安二模】已知，为双曲线，的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设，，由过的直线与圆相切，可得圆心到直线的距离，过向直线作垂线，垂足为，在直角三角形中，可得，，，，即有，由OM为三角形的中线，可得，即，即有，再根据得到双曲线的离心率为.故选D．【变式训练2】【2018福建龙岩毕业班质检】已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示，当点位于第二象限时，过点作于点，轴于点，由抛物线的定义可得，由平行线的性质结合相似三角形的性质可得：，据此有：，所以，则，直线的方程为：，代入抛物线方程得.结合焦点弦公式可得：.结合对称性可知，当点位于第三象限时仍然有.故选C.【变式训练3】【2018-2020学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆：作切线,切点分别为,,则的最小值为（）A．10B．13C．16D．19【答案】B【解析】由题可知,,因此.故选B．（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围例2.【2018河南八市下学期第一次测评】已知抛物线:与圆:，直线与交于，两点，与交于，两点，且，位于轴的上方，则_________．【答案】【解析】圆的方程化为，直线过抛物线焦点，结合抛物线定义，可得，由，得，所以，即.【变式训练1】【2018福建龙岩三月质检】已知椭圆：的左、右焦点分别为和，离心率是，直线过点交椭圆于，两点，当直线过点时，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线绕点运动时，试求的取值范围.【解析】（1）因为的周长为，所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设，两点坐标分别为，，当直线与轴重合，点与上顶点重合时，，当直线与轴重合，点与下顶点重合时，，当直线斜率为时，，当直线斜率存在且不为时，不妨设直线方程为，由，得，则有，①②设，则，代入①②得③④所以，即，解得，综上，.【变式训练2】【2018山东济南一模】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线：上，直线：与抛物线交于，两点，且直线，的斜率之和为.（1）求和的值；（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线，与轴围成的三角形面积为，求的最小值.【解析】（1）将点代入抛物线：，得，由，得，设，，则，，，由已知得.（2）在直线的方程中，令得，，直线的方程为：，即，由，得，解得：，或，所以，由，得，求导得，切线的斜率，切线的方程为：，即，由，得直线、交点纵坐标，在直线，中分别令，得到与轴的交点，，所以，求导得，，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以当时，最小值为.【变式训练3】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设,将直线方程代入椭圆方程得：,根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=0,的情况,确定的不等式.（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设将直线方程代入椭圆方程得：∴∴设,则………………8分当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.当时得∴将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域．（三）利用基本不等式求范围例3.【2018陕西榆林二模】已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】由已知，得，因为，当且仅当时等号成立，所以的最大值为.【变式训练1】已知点A(0，－2)，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为eq\f(2\r(3),3)，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解：(1)设F(c，0)，由条件知，eq\f(2,c)＝eq\f(2\r(3),3)，得c＝eq\r(3).又eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞eq\f(3,4)时，x1，2＝eq\f(8k±2\r(4k2－3),4k2＋1).从而|PQ|＝eq\r(k2＋1)|x1－x2|＝eq\f(4\r(k2＋1)·\r(4k2－3),4k2＋1).又点O到直线PQ的距离d＝eq\f(2,\r(k2＋1)).所以△OPQ的面积S△OPQ＝eq\f(1,2)d·|PQ|＝eq\f(4\r(4k2－3),4k2＋1).设eq\r(4k2－3)＝t，则t＞0，S△OPQ＝eq\f(4t,t2＋4)＝eq\f(4,t＋\f(4,t)).因为t＋eq\f(4,t)≥4，当且仅当t＝2，即k＝±eq\f(\r(7),2)时等号成立，且满足Δ＞0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝eq\f(\r(7),2)x－2或y＝－eq\f(\r(7),2)x－2.（四）求解函数值域得范围例4.已知抛物线：，为轴负半轴上的动点，、为抛物线的切线，、分别为切点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设切线的方程为代入抛物线方程，消去整理，因为直线与抛物线相切，所以，故．所以方程为，解得．所以点、的坐标分别为、.在方程中，令，可得，所以点的坐标为．所以，所以当时，取得最小值．故选C．【变式训练1】已知椭圆：经过点，椭圆的一个焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点且与椭圆交于，两点，求的最大值.【解析】（1）依题意，设椭圆的左，右焦点分别为，.则，所以，，，所以椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设：，，.由得.由得.由，得.设，则，所以.当直线的斜率不存在时，，所以的最大值为.（五）利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围例5.已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于，两点，若，则斜率的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】依题意可得椭圆方程为，直线，的方程分别为：，.设，，，其中，且，满足方程，故，由，知，所以，由在上知，得，所以，化简得，解得或.故选C.【变式训练1】【2018四川雅安中学3月考】已知椭圆的离心率为，是椭圆上一点，、是椭圆的左右焦点，为的内切圆圆心，若，则的值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】取线段的中点为，如图所示：则，，即.因为，所以，所以，，三点共线，，，所以，因为∽，所以，所以，即.因为椭圆的离心率为，所以，因为，即，所以.故选D.【变式训练2】设椭圆的左、右焦点分别为、，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【解析】因为点在椭圆的内部，所以，，即，，解得.，又因为，且，要恒成立，即，，所以，所以椭圆离心率的取值范围是.四、迁移应用1.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【解析】【解法一】：由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，

由，解得．所以曲线上，点到直线的距离最小，

最小值为．【解法二】：由题意可设点的坐标为，则点到直线的距离，当且仅当等号成立，所以点到直线的距离的最小值为4.2．在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）A．3B．C．D．2【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，则，，，，由等面积法可得圆的半径为，所以圆的方程为，所以，，，由，得，所以=，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离小于半径，所以，解得，所以的最大值为3，即的最大值为3，选A．3．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或【答案】D【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为，即，则，，解得或．4．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（）A．对任意的，B．当时，；当时，C．对任意的，D．当时，；当时，【答案】D【解析】由题意，，∵，由于，，，所以当时，，，，，所以；当时，，，而，，所以．所以当时，；当时，．5．设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）A．B．C．