数学学案：第三讲一平行射影

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一平行射影1．掌握正射影的概念，理解平行射影的概念，能确定平行射影的形状．2．掌握椭圆的定义,知道椭圆是圆柱的一种截面．1．正射影（1）定义:给定一个平面α，从一点A作平面α的______,垂足为点A′.称_____为点A在平面α上的正射影．一个图形上_____在平面α上的正射影所组成的____，称为这个图形在平面α上的正射影．（2)圆面的正射影：一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影显然是______，并且是和原来的圆相同的圆；如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之____；如果圆所在的平面β与平面α垂直时，那么该圆在平面α上的正射影是______,其长度等于圆的直径．一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置关系有关，如一条直线，当它和平面α垂直时,它在平面α上的正射影是一个点;当它和平面α斜交时，它在平面α上的正射影是一条直线；它和平面α平行时，它在平面α上的正射影是一条与原直线平行的直线．【做一做1】△ABC在平面α上的正射影是()A．三角形B．直线C．线段D．三角形或线段2．平行射影定义:设直线l与平面α______(如图),称直线l的方向为投影方向．过点A作____于l的直线(称为投影线）必交α于一点A′,称____为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上______在平面α上的平行射影所组成的____,叫做这个图形的平行射影．显然,正射影是______的特例．平行射影的性质：（1)直线的平行射影是直线或一个点，线段的平行射影是线段或一个点；（2）平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点;(3）平行于投影面的线段，它的平行射影与这条线段平行且等长;（4）与投影面平行的平面图形，它的平行射影与这个图形全等；（5）在同一直线或平行直线上的两条线段的平行射影(不是点)的比等于这两条线段的比．【做一做2】两条异面直线m和n在平面α上的平行射影是(）A．一条直线和直线外一个点B．两条相交直线C．两条平行直线D．以上都有可能3．椭圆（1）定义：平面上到两个定点的距离之____等于____的点的轨迹叫做椭圆．（2)抽象概括：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两个底面______时,截面是一个圆；当平面与圆柱的两个底面______时，截面是一个椭圆（如图）．【做一做3】平面上两个定点A和B的距离为5,动点P到A，B的距离之和为常数m，若动点P的轨迹是椭圆，则m的取值范围是（）A．(0，5)B．（5,＋∞）C．(0，＋∞）D．R答案：1．（1）垂线点A′各点图形(2）一个圆椭圆一条线段【做一做1】D当△ABC所在平面垂直于α时，△ABC在α上的正射影是一条线段，否则是三角形．2．相交平行点A′各点图形平行射影【做一做2】D当m和n中有一条直线与投影方向平行时，它们的平行射影是一个点和一条直线;否则是两条平行直线或相交直线．3．(1）和定长(2)平行不平行【做一做3】B当m＜5时，不表示任何图形；当m＝5时，轨迹是线段AB；当m＞5时，轨迹是椭圆．1．平行射影与正射影的区别与联系剖析：对于平行射影，取不同的投影方向，同一个图形的平行射影所组成的图形也有所不同,正射影就是平行射影中投影方向与平面垂直时的一种特殊情况．因而我们可以从两个不同的角度加以考虑,并且要注意这二者的区别与联系,从而才能完整、全面地看待问题．例如，如下图所示，直线l与平面α所成的角是45°，交点为A．在l上取不同于A的另一点B，过点B作BC⊥α于C．则l在平面α上的正射影是直线AC．当投影方向与l相同时，l在平面α上的平行射影是一个点，即点A，当投影方向垂直于平面α时，l在平面α上的平行射影是直线AC，此时平行射影和正射影是相同的．2．点的射影与图形的射影间的区别与联系剖析：图形是由点组成的集合，因而图形的射影是被投影图形上各点在平面α上的射影的集合，所以，要找到一个图形的射影只需找到组成这个图形的关键点的射影即可．一平行射影题型一对平行射影的理解【例题1】下列说法正确的是（)A．正射影和平行射影是两种截然不同的射影B．投影线与投影平面有且只有一个交点C．投影方向可以平行于投影平面D．一个图形在某个平面上的平行射影是唯一的反思：图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确地理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．题型二判断平行射影的形状【例题2】如图，点E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上）反思：判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平面上的平行射影是相同的．答案：【例题1】B正射影是平行射影的特例,本质是相同的，故选项A错误；投影线与投影平面只能相交，选项B是正确的，选项C是错误的；一个图形在一个平面上的平行射影与投影方向有关，方向改变了，就可能得到不同的平行射影，故选项D错误．【例题2】（2)(3）对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影，又知线段由两个端点唯一确定,故考查四边形BFD1E的射影，只需同时考查点B,F，D1，E在各个面上的正射影即可．四边形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为(2)图；四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为(3）图．1一个图形的正射影是一条线段，这个图形不可能是(）A．线段B．圆C．梯形D．长方体2下列说法正确的是(）A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆3如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的（）4梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在平面α上的平行射影是________．5关于直角∠AOB在平面α内的平行射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角；⑤可能是180°的角，其中正确判断的序号是____________．答案：1．D当线段、圆、梯形所在的平面与投影面垂直时，它们的正射影都是一条线段，很明显长方体的正射影不可能是一条线段．2．B正射影是平行射影的特例，则选项A不正确,选项B正确；对同一个图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影,否则不相同，则选项C不正确；当投影线垂直于投影面，且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，则选项D不正确．3．A点D在平面ADD1A1上的正射影是它本身；点M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中点；点N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中点，则阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为选项A中的图形．4．一条线段或一个梯形如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段．如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，由于平行线的平行射