数学学案：第三讲三平面与圆锥面的截线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精三平面与圆锥面的截线1．了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线．2．感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明．3．通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法．1．定理2文字语言如果用一个平面去截一个正圆锥（两边可以无限延伸）,而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况:如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是________；如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为________；当平面与圆锥的两个部分都相交,这时的交线叫做________符号语言在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0),则（1)β＞α，平面π与圆锥的交线为____;(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为______；(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为______图形语言作用确定交线的形状①特别情况：，平面π与圆锥的交线为圆，如图所示．②圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此,圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e,定义上的统一，必然也蕴含着图形统一．【做一做1】在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切,若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．圆锥曲线的结构特点(1）椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之____为常数(长轴长2a)．(2)双曲线上的点到两个定点（焦点)的距离之______为常数（2a)．（3)抛物线上的点到一个定点(焦点）和一条定直线的距离______．【做一做2】双曲线上任意一点到两个焦点的距离分别是d1和d2，则下列为常数的是()A．d1－d2B．d1＋d2C．｜d1－d2｜D．d2－d13．圆锥曲线的几何性质(1)焦点:Dandelin球与平面π的____．(2)准线：截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的____．（3)离心率：e＝eq\f（cosβ,cosα)。（4)圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2个2个1个准线2条2条1条离心率e＝eq\f(cosβ,cosα）＜1e＝eq\f(cosβ,cosα）＞11焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2-离心率e＝eq\f(c,a）e＝eq\f（c，a）—准线间距eq\f（2a2，c）eq\f(2a2，c）—曲线上的点到焦点距离PF1＋PF2＝2a｜PF1－PF2｜＝2a-【做一做3－1】设截面和圆锥的轴的夹角为β,圆锥的母线和轴所成角为α，当截面是椭圆时，其离心率等于（）A．eq\f（sinβ，sinα）B．eq\f（cosβ,cosα）C．eq\f(sinα，sinβ)D．eq\f(cosα,cosβ)【做一做3－2】双曲线的焦距为4，实轴长为3，则离心率e＝__________。答案:1．抛物线椭圆双曲线(1）椭圆（2）抛物线（3)双曲线【做一做1】B由于平面π与双球的切点不重合,则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交,则截线是椭圆．2．（1）和(2)差的绝对值(3）相等【做一做2】C3．（1）切点(2)交线【做一做3－1】B【做一做3－2】eq\f（4,3）设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则2c＝4，2a＝3，于是c＝2，a＝eq\f(3,2)。故e＝eq\f（c，a）＝eq\f(4,3）。在定理2中，当β＜α时，探究截线形状剖析：如图，当β＜α时,平面π与圆锥面的两部分相交,在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别为F1，F2,与圆锥两部分截的圆分别为S1，S2。在截口上任取一点P，连接PF1,PF2.过P和圆锥的顶点O作母线,分别与两球切于Q1，Q2，则PF1=PQ1，PF2=PQ2，所以｜PF1－PF2|=|PQ1－PQ2|=Q1Q2，所以Q1Q2是两圆S1,S2所在平行平面间的母线段的长,且为定值．所以由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线．题型一利用Dandelin双球研究圆锥曲线【例题1】如图，讨论其中双曲线的离心率．其中π′是Dandelin球与圆锥交线S2所在平面，与π的交线为m。反思：讨论圆锥曲线的几何性质时，要注意结合图形进行．题型二圆锥曲线几何性质应用【例题2】已知双曲线两个顶点间的距离为2a，焦距为2c，求两条准线间的距离．反思：已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算等问题时，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，如e＝eq\f（c，a)等，列出方程来解决．如本题中,由OH1＝OA1－A1H1得到了a－eq\f(a（c－a),c)＝eq\f(a2，c）。答案：【例题1】解：P是双曲线上任意一点，连接PF2，过P作PA⊥m于A,连接AF2，过P作PB⊥平面π′于B,连接AB，过P作母线交S2于Q2.∵PB平行于圆锥的轴，∴∠BPA＝β，∠BPQ2＝α.在Rt△BPA中,.在Rt△BPQ2中，。由切线长定理，得PF2=PQ2，∴。∴.∵0＜β＜α＜，∴cosβ＞cosα.∴e＞1.同理，另一分支上的点也具有同样的性质,综上所述，双曲线的准线为m，离心率。【例题2】解:如图,l1，l2是双曲线的准线，F1，F2是焦点，A1,A2是顶点，O为中心．由离心率定义知，∴A1H1=A1F1.又A1F1=OF1－OA1=c－a，∴A1H1=。∴OH1=OA1－A1H1，∴。由对称性，得，∴。1以圆锥曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切，则这样的圆锥曲线是（）A．不存在的B．椭圆C．双曲线D．抛物线2双曲线的两条准线把两个焦点所连线段三等分,则它的离心率为()A．eq\r（2）B．eq\r（3）C．eq\f（\r（6），2）D．2eq\r(3）3已知圆锥母线与轴夹角为60°，平面π与轴夹角为45°，则平面π与圆锥交线的离心率是__________,该曲线的形状是__________．4一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一个与轴线成30°角的不过顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线是______．答案：1．D由圆锥曲线的定义知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以应选D.2．B设双曲线的实轴