《导数的应用》教学设计-湘教版数学选修1-1

《导数的应用》教学设计-湘教版数学选修1-1课题：科目：班级：课时：计划1课时教师：单位：一、教材分析《导数的应用》是湘教版数学选修1-1中的重要章节，紧承导数概念及其计算方法，进一步拓展导数在实际问题中的应用。本章节通过分析导数在几何、物理等领域的应用实例，深化学生对导数作为变化率的理解，培养学生解决实际问题的能力。教学内容与课本紧密联系，以函数的单调性、极值、最大（小）值等问题为核心，旨在帮助学生掌握利用导数分析函数性质的方法，为后续学习奠定基础。二、核心素养目标三、教学难点与重点1.教学重点

①理解并掌握利用导数判定函数的单调性；

②掌握利用导数求解函数的极值和最值的方法。

2.教学难点

①理解导数在几何意义上与函数图像的关系，如何通过导数分析曲线的凹凸性质；

②解决实际问题时，如何建立数学模型并恰当运用导数知识进行求解。四、教学资源准备1.教材：确保每位学生提前准备好数学选修1-1教材，翻至《导数的应用》章节。

2.辅助材料：准备相关函数图像、实际应用场景的案例分析多媒体课件，以便直观展示导数在几何和实际问题中的应用。

3.实验器材：无需特殊实验器材，但需准备几何画板软件，辅助学生动态观察函数图像与导数之间的关系。

4.教室布置：提前设置好分组讨论区域，便于学生进行合作探究；同时，确保投影仪和计算机设备正常运作，以便展示多媒体教学资源。五、教学过程首先，让我们一起来回顾一下导数的基本概念。导数描述了一个函数在某一点处的变化率，它是我们分析函数性质的重要工具。今天，我们将深入探讨《导数的应用》，看看如何利用导数来解决实际问题。

1.导数的单调性分析

（1）导入新课

同学们，我们已经知道，导数可以告诉我们函数在某一点处是如何变化的。如果导数为正，意味着函数在这一点的左侧比右侧变化得快，函数图像是上升的；如果导数为负，情况则相反。现在，让我们通过一些具体的例子来加深理解。

（2）案例分析

请看教材第80页的例1，我们要求解函数f(x)=3x^2-4x+1在区间（-∞，+∞）上的单调性。首先，我们需要计算f(x)的导数f'(x)。

解：计算f'(x)：

f'(x)=6x-4

当x<2/3时，f'(x)<0，函数在（-∞，2/3）上单调递减；

当x>2/3时，f'(x)>0，函数在（2/3，+∞）上单调递增。

（3）课堂练习

现在，请大家翻开教材第81页，完成练习1、2、3，检验一下自己是否掌握了判断函数单调性的方法。

2.极值与最值的求解

（1）概念回顾

在分析函数性质时，我们经常需要找出函数的极值和最值。那么，什么是极值呢？极值指的是函数在某个区间内的最大值或最小值。而最值则是在整个定义域内寻找最大值或最小值。

（2）案例分析

请看教材第82页的例2，我们要求解函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

解：首先，我们需要计算f(x)的导数f'(x)。

f'(x)=3x^2-3

令f'(x)=0，解得x=±1。

然后，我们比较端点值和极值点处的函数值，找出最大值和最小值。

f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2

因此，函数在区间[-2,2]上的最大值为2，最小值为-2。

（3）课堂练习

现在，请大家翻开教材第83页，完成练习4、5、6，运用刚刚学到的求解极值和最值的方法。

3.实际问题中的应用

（1）引入实际案例

同学们，导数的应用不仅仅局限于理论上的分析，它在解决实际问题中也发挥着重要作用。现在，我们来看一个物理中的例子。

（2）案例分析

请看教材第84页的例3，一个物体在直线上做运动，其速度v与时间t的关系为v(t)=6t-t^2。我们要求在哪个时刻物体的速度达到最大值。

解：首先，我们需要计算v(t)的导数v'(t)。

v'(t)=6-2t

令v'(t)=0，解得t=3。

因此，物体在t=3秒时速度达到最大值。

（4）课堂小结

今天，我们一起学习了导数的应用，主要包括：利用导数判断函数的单调性、求解函数的极值和最值，以及导数在解决实际问题中的应用。希望同学们能够掌握这些方法，并在实际中灵活运用。

4.课后作业

为了巩固今天所学的内容，请同学们完成教材第85页的习题1、2、3，并预习下节课的内容。六、学生学习效果1.理解并掌握导数在分析函数性质中的应用，能够准确地判断函数的单调性，理解导数与函数图像之间的关系。

学生应能够根据导数的正负，判断函数在给定区间内的单调递增或递减，并能够运用这一知识解释实际问题，如经济增长、物体运动等。

2.学会利用导数求解函数的极值和最值，能够处理实际优化问题。

学生应掌握通过求导数、解方程等方法找到函数的极值点，并能够比较极值点和端点值，从而确定函数的最值。在遇到实际问题时，如成本最小化、收益最大化等，能够建立数学模型并应用导数知识解决。

3.能够将导数的概念应用于物理学、经济学等领域的实际问题，理解导数在描述变化率中的作用。

学生应能够将导数应用于速度、加速度、边际成本、边际效用等概念的理解，并能够运用导数分析这些变化率随时间或其他变量的变化情况。

4.增强数学思维能力，提高解决实际问题的能力。

通过对导数应用的深入学习，学生应能够培养从数学角度思考问题的习惯，学会将现实问题抽象为数学模型，并运用数学工具进行求解。

5.发展团队合作和交流表达能力。

在课堂讨论和小组合作中，学生应能够主动参与，与同伴交流想法，共同解决问题。通过这样的互动，提高表达和沟通能力，增强团队合作精神。

6.形成持续学习的习惯，对数学学科产生兴趣。

通过本章节的学习，学生应能够感受到数学学习的乐趣和挑战，激发进一步探索数学世界的兴趣，形成主动学习的态度。七、课后拓展1.拓展内容：

为了让学生更深入地理解导数的应用，以下是一些建议的拓展阅读材料和活动：

-阅读材料：《微积分的历程》，了解微积分的发展历史以及导数在其中扮演的角色。

-阅读材料：《生活中的导数》，收集和探讨导数在日常生活中的应用实例，如经济学中的最优化问题、工程学中的速度与加速度分析等。

-视频资源：观看与导数相关的教学视频，如“导数在物理学中的应用”、“如何用导数解决实际问题”等，以加深对导数概念的理解。

-实践活动：选择一个实际问题，如物体的运动轨迹、市场经济中的供需关系等，尝试运用导数建立数学模型并进行分析。

2.拓展要求：

-鼓励学生在课后利用图书馆、网络资源等渠道，自主查找和阅读推荐的阅读材料，拓宽知识视野。

-学生在观看视频资源时，应做好笔记，记录下对导数应用的新理解和感悟。

-对于实践活动，学生可以独立完成，也可以小组合作进行。在活动过程中，学生应积极思考，尝试将理论知识与实际问题相结合。

-教师将提供必要的指导和帮助，如解答学生在阅读和实践中遇到的疑问，指导学生如何有效地利用资源。

-学生在完成拓展活动后，应撰写一份总结报告，分享自己的学习心得和收获，以便在课堂上与同学进行交流。八、课堂小结，当堂检测今天我们学习了导数的应用，主要探讨了如何利用导数来判断函数的单调性、求解函数的极值和最值，以及将导数应用于实际问题中。以下是本节课的课堂小结和当堂检测内容：

1.课堂小结：

-导数可以用来判断函数的单调性，当导数为正时，函数单调递增；当导数为负时，函数单调递减。

-函数的极值出现在导数为零的点，通过求解导数方程可以找到极值点，再比较极值点和端点值可以得到最值。

-导数在物理学、经济学等领域有广泛的应用，如描述物体的速度和加速度、分析成本和收益的变化等。

2.当堂检测：

-请同学们完成以下练习题，以检验对今天所学内容的掌握情况：

1.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间(-∞,+∞)上的单调区间。

2.求函数g(x)=x^3-3x^2在区间[0,2]上的最大值和最小值。

3.一辆汽车以v(t)=2t+3的速度行驶，求哪一时刻汽车的速度达到最大值。

-在解答这些练习题时，同学们应该能够熟练地使用导数的计算法则，并能够将导数的概念应用到实际问题中。板书设计①知识点：

-导数的定义与计算

-函数单调性的判断

-极值与最值的求解

-导数在实际问题中的应用

②关键词：

-单调递增

-单调递减

-极值点

-最值

-变化率

③核心句：

-导数为正，函数单调递增；导数为负，函数单调递减。

-极值出现在导数为零的点，最值在极值点和端点之间取得。

-导数在物理学、经济学等领域中描述变化率的重要工具。

板书设计将围绕以上知识点、关键词和核心句展开，确保学生能够通过板书直观地把握本节课的重点内容。教学反思与改进在本次《导数的应用》的教学中，我注意到了一些值得反思的地方。首先，我发现学生们在理解导数与函数单调性关系方面存在一定的困难。在今后的教学中，我需要更加注重对这一知识点的讲解，通过更多的例题和实际应用案例来帮助学生加深理解。

针对这一点，我计划在未来的教学中增加以下改进措施：

1.在讲解导数与函数单调性关系时，可以使用更多的图形演示，让学生直观地看到导数与函数图像之间的联系。

2.设计一些互动环节，让学生自己尝试分析函数的单调性，并在小组内进行讨论，以提高他们的参与度和理解力。

其次，我在课堂练习环节观察到，部分学生在求解极值和最值时，对求解过程不够熟悉，容易出错。为了改善这一状况，我打算采取以下措施：

1.在课堂上增加一些典型例题的讲解，特别是针对极值和最值求解的步骤进行详细解释。

2.安排一些小组合作任务，让学生在讨论中相互学习，共同解决难题。

此外，我还注意到，在将导数应用于实际问题方面，学生们的积极性较高，但