专题05勾股定理的逆定理（原卷版）

专题05勾股定理的逆定理题型导航勾勾股定理的逆定理判断三边是否构成直角三角形题型1判断三边是否构成直角三角形在网格中判断直角三角形题型2在网格中判断直角三角形利用勾股定理的逆定理求解题型3利用勾股定理的逆定理求解勾股定理的实际应用题型4勾股定理的实际应用勾股定理逆定理的拓展问题题型5勾股定理逆定理的拓展问题题型变式【题型1】判断三边是否构成直角三角形例题．（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（

）A． B．C． D．【变式11】1．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（）A． B．C． D．，，2．（2023秋·陕西咸阳·八年级校考期末）以下列各组线段为边作三角形，不能作出直角三角形的是（

）A．1，2， B．5，12，13 C．3，7，8 D．0.3，0.4，0.5【题型2】在网格中判断直角三角形例题．（2022秋·八年级课时练习）如图，由6个相同小正方形组成的网格中，A，B，C均在格点上，则∠ABC的度数为（

）A．45° B．50° C．55° D．60°【变式21】1．（2022秋·广东惠州·八年级校考期中）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．2．（2022秋·八年级单元测试）如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，A，B，C为格点．判断△ABC的形状，并说明理由．【题型3】利用勾股定理逆定理求解例题．（2022春·广东潮州·八年级校考阶段练习）如图，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝12，BD＝13，求四边形ABCD的面积．【变式31】1．（2022秋·八年级课时练习）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，DE⊥AC于E，DE＝3，S△DAC＝6，则∠ACB的度数等于_____．2．（2022春·广东湛江·八年级校考期末）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．【题型4】勾股定理的实际应用例题．（2021·广西玉林·统考中考真题）如图，某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点，处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，则乙船沿_____方向航行．【变式41】1．（2022秋·山东青岛·八年级校考阶段练习）我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1)求出空地ABCD的面积．（2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？2．（2023春·八年级课时练习）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造处该岛的一个数学模型（如图乙四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，千米，千米．(1)求小溪流AC的长．(2)求四边形ABCD的面积．（结果保留根号）【题型5】勾股定理逆定理的拓展问题例题．（2020秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为，所以这个三角形是直角三角形．（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．【变式51】1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表：23456……4681012……（1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则，，．（2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论．专项训练一．选择题1．（2023春·八年级课时练习）如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（

）．A． B． C． D．2．（2022秋·八年级单元测试）如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（

）A．12cm2 B．18cm2 C．22cm2 D．36cm23．（2018春·内蒙古通辽·八年级统考期末）已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a2|++（c4）2=0，则以a，b，c为边可构成（

）A．以c为斜边的直角三角形 B．以a为斜边的直角三角形C．以b为斜边的直角三角形 D．有一个内角为的直角三角形4．（2023春·八年级课时练习）如图，中，，，．为的角平分线，的长度为(

)A．2 B． C．3 D．5．（2023春·全国·八年级专题练习）下列条件：①；②，，；③；④．其中能判定是直角三角形的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．（2022春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形7．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（）①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空题8．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．9．（2023春·全国·八年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？则该沙田的面积为___里．10．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．11．（2023春·八年级课时练习）如图，中，于点D，若，，，则线段的长度是______．12．（2022春·广东湛江·八年级校考期末）已知a、b、c是一个三角形的三边长，如果满足，则这个三角形的形状是_______．13．（2019·山西·九年级专题练习）如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的长为_______14．（2023春·全国·八年级专题练习）已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为________．三、解答题15．（2023春·八年级课时练习）我市夏季经常收台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求证：；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？16．（2023春·八年级课时练习）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，米，米，米，米，（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？17．（2023春·八年级课时练习）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，，，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．(1)求需要绿化的空地的面积；(2)为方便师生出入，设计了过点A的小路，且于点E，试求小路的长．18．（2023春·全国·八年级专题练习）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)求证：；(2)求原来的路线的长．19．（2023春·八年级单元测试）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙