材料力学：压杆稳定

压杆稳定压杆稳定性的概念细长中心受压直杆临界力的欧拉公式不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式长度系数欧拉公式的应用范围

临界应力总图实际压杆的稳定系数压杆的稳定计算

压杆的合理截面2345压杆压杆稳定的工程实例压杆6压杆稳定的工程实例桁架中的压杆7压杆稳定的工程实例高压输电线路保持相间距离的受压构件8第二章中，轴向拉，压杆的强度条件为例：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为20mm

1mm。钢的许用应力为[]=196MPa。按强度条件计算得钢板尺所能承受的轴向压力为[F]=FNmax=A[]=3.92kN压杆稳定问题的提出实际上，当压力不到40N

时，钢尺就被压弯。可见，钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度，而是与受压时变弯有关。9结论

：要提高压杆的承载能力，就应该提高压杆的抗弯刚度。原因：压杆在制作时其轴线存在初曲率；作用在压杆上的外力作用线不可能毫无偏差的与杆的轴线相重合；压杆的材料不可避免地存在不均匀性。10将这些因素都用外加压力的偏心来模拟。受偏心压力作用的杆件，不论偏心距多么小，压杆的次要变形——弯曲变形将随压力的增大而加速增长，并转化为主要变形，从而导致压杆丧失承载能力。zxyyzPzxyPmymz杆件产生组合变形：轴向压缩与两个垂直平面内的弯曲11中心受压直杆：杆由均貭材料制成，轴线为直线，外力的作用线与压杆轴线重合。（不存在压杆弯曲的初始因素）在分析中心受压直杆时，当压杆承受轴向压力后，假想地在杆上施加一微小的横向力，使杆发生弯曲变形，然后撤去横向力。研究方法：129-1平衡状态的稳定性和不稳定性平衡状态（平衡构形）——构件在压缩载荷作用下发生变形，最终在某位置保持平衡。稳定性平衡——当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使其偏离平衡状态。外界扰动除去后，构件仍能回复到初始平衡状态，则称初始的平衡是稳定的。反之，构件不能回复到初始平衡状态，则称初始的平衡是不稳定的。3.失稳（或屈曲）——不稳定的平衡状态在任意微小外界扰动下，将转变为其他平衡状态。4.坍塌——压杆丧失稳定性后，将导致结构发生的后果，常为灾难性的。§9-1压杆稳定性的概念13魁比克桥立面图坍塌后的魁比克桥失稳的严重性14失稳的严重性---脚手架中的压杆15失稳的严重性16易拉罐失稳17平衡状态的稳定性和不稳定性判断18§9-1压杆稳定性的概念9-2临界状态与临界载荷稳定平衡状态不稳定平衡状态临界平衡状态19§9-1压杆稳定性的概念9-2临界状态与临界载荷临界状态——介于稳定平衡与不稳定平衡状态之间的平衡状态。临界载荷——使杆件处于临界状态的压缩载荷。临界载荷：Fcr压杆的承载能力由临界载荷决定！20两端球形绞支，长为l

的等截面细长

中心受压直杆§9-2细长中心受压直杆临界力的欧拉公式mxmyBxAyymmxBw21压杆任一x截面沿y方向的位移为w

=f(x)该截面的弯矩为杆的挠曲线近似微分方程为ymmxBw22其中I

为压杆横截面的最小形心主惯性矩。则有二阶常系数线性微分方程ymmxBω令23其通解为由挠曲线的边界条件确定。BxAyA，B，k

三个待定常数.24把边界条件：B=0代入方程，得方程变为BxAy25把代入方程，得方程变为BxAy26要想压杆在微弯状态下平衡只有BxAy27其最小解为n=1的解BxAy28即得这就是两端绞支等截面细长中心受压直杆临界力的计算公式（欧拉公式）BxAy29当时，挠曲线方程为挠曲线为半波正弦曲线。301.两端绞支§9-3不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式

长度系数一、不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉公式

2.一端固定另绞支端ABcC

为拐点31ABcD3.两端固定C，D

为拐点324.一端固定另端自由33两端绞支一端固定另绞支端两端固定一端固定另端自由表12—1各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式

支承情况临界力的欧拉公式长度系数

34欧拉公式的统一形式

为压杆的长度系数=1=0.7=0.5=2两端绞支一端固定另绞支端两端固定一端固定另端自由支承情况临界力的欧拉公式长度系数

35

细长压杆失稳36F37讨论

为长度系数

l

为相当长度（1）相当长度

l

的物理意义1压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度l

。2

l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度38（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩I1若杆端在各个方向的约束情况相同（球形绞等），则I应取最小的形心主惯性矩。

为长度系数

l

为相当长度39zy取Iy，Iz

中小的一个计算临界力。x402若杆端在各个方向的约束情况不同（柱形绞），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界力。I为其相应的对中性轴的惯性矩。

为长度系数

l

为相当长度41zy分别用Iy，Iz

计算出两个临界力。最后取小的一个作为压杆的临界力。x42

连杆失稳43例题：由A3钢加工成的工字型截面杆，两端为柱形绞。在xy平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端绞支，

z=1，长度为l1。在xz平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定

y=0.6，长度为l2。求Fcr。zy2212662444解：在xy平面内失稳时，z为中性轴zy2212662445在xz平面内失稳时，y

为中性轴zy2212662446一、欧拉公式的应用范围(1)压杆的临界应力公式（临界应力欧拉公式）压杆受临界力Fcr作用而仍在直线平衡形态下维持不稳定的平衡时，横截面上的压应力可按

=F/A

计算。§9-4欧拉公式的应用范围

临界应力总图47按各种支承情况下压杆临界力的欧拉公式算出压杆横截面上的应力为为压杆横截面对中性轴的惯性半径48

称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。49

越大，相应的

cr

越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度

，并按较大者计算压杆的临界应力

cr

。50(2)欧拉公式的应用范围只有在

cr

P

的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力Fcr（临界应力

cr）。或51

当

>P（大柔度压杆或细长压杆）时，才能应用欧拉公式。

当

P但大于某一数值

S的压杆（中柔度压杆），

不能应用欧拉公式。用经验公式

P

的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取E=206MPa，P=200MPa，得52右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。O53o二、压杆的临界应力总图经验公式54例题：图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相等。问哪个杆先失稳。aFF1.3aF1.6adAcB55杆B：

=1杆C：

=0.7杆A：

=2解：A杆先失稳aFF1.3aF1.6adAcB56例题：截面为圆形，直径为d两端固定的细长压杆和截面为正方形，边长为d两端绞支的细长压杆，材料及柔度都相同，求两杆的长度之比及临界力之比。解：圆形截面杆：57正方形截面杆：58由

1=2

得所以5960例题：两端为球绞支的圆截面杆，材料的弹性模量，杆的直径d=100mm，杆长为多少时方可用欧拉公式计算该杆的临界力？解：61用欧拉公式计算该杆的临界力的条件为62例题：压杆截面如图所示。若绕y轴失稳可视为两端固定，若绕z轴失稳可视为两端绞支。已知，杆长l=1m,材料的弹性模量E=200GPa，

P=200MPa。求压杆的临界应力。30mm20mmyz63解：30mm20mmyz64因为

z>y

,所以压杆绕z

轴先失稳，且z=115>p，用欧拉公式计算临界力。65例题：AB，AC两杆均为圆截面杆，其直径D=0.08m，E=200GPa，

P=200MPa，容许应力[]=160MPa。由稳定条件求此结构的极限荷载Fmax600300ABCF466AFFNABFNAC解：由平衡方程计算出600300ABCF467两杆都可用欧拉公式600300ABCF4AFFNABFNAC68求此结构的极限荷载Fmax由AB

的稳定条件求600300ABCF4AFFNABFNAC69由AC

的稳定条件求取Fmax=662kN600300ABCF4AFFNABFNAC70例题：AB的直径d=40mm，长l=800mm，两端可视为绞支。材料为Q235钢，弹性模量E=2105MPa。比例极限

P=200MPa，屈服极限

S=240MPa，由AB杆的稳定条件求[P]。（若用直线公式a=304MPa，b=1.12MPa)。ABCP0.60.30.871

解：取BC研究NABCP0.60.30.872

不能用欧拉公式ABCP0.60.30.8=1，l=0.8mN73用直线公式

NABCP0.60.30.8[P]=118KN74例题：外径D=50mm，内径d=40mm的钢管，两端铰支，材料为Q235钢，承受轴向压力P。试求：（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2）当压杆长度为上述最小长度的3/4时，压杆的临界应力。已知：E=200GPa，

P=200MPa，S=240MPa，用直线公式时，a=304MPa，b=1.12MPa。75（1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；压杆的

=176（2）当l=3/4lmin时，Pcr=?用直线公式计算77nst

——压杆的稳定安全系数§9-5实际压杆的稳定系数[]st

——压杆的稳定许用应力78

称为压杆的稳定系数，（由

查表得到）[]

为压杆的强度许用应力。79例题：图示长l=3m，两端球绞支的中心受压直杆，由两根110707角钢通过缀条及缀板连成整体，并符合结构设计规范（GBJ17—88）中的实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知该杆材料为A3钢，其强度许用应力[]=170MPa。试求压杆的稳定许用应力。80P3m15mmyz8115mmyz解：（1）计算组合截面的惯性矩从型钢表中查出一根角钢的惯性矩组合截面的惯性矩为16.1mmA=12.3cm2y082（2）计算压杆柔度P3m应当以y轴所对应的惯性半径计算相应的柔度值。因为Iz>Iy

，说明压杆绕y

轴先失稳。83（3）计算稳定许用应力根据

=97

，从3号钢表12—4中，查得压杆的稳定许用应力为84§9-6压杆的稳定计算

压杆的合理截面一、压杆的稳定计算

F——工作压力A——压杆的横截面面积（毛面积）压杆的稳定条件为85或86

例题：图示立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，高h=3.5m，

P=200MPa，s=240MPa，E=200GPa

，设计要求的强度安全系数n=2，稳定安全系数nst=3。试求容许荷载[P]的值。P87解：（1）由平衡条件可得

（2）按强度条件确定[P]P88（3）按稳定条件确定[P]可用拉公式计算

crP89稳定条件P90[P]=62.5KNP91例题12-6

厂房的钢柱长7m，上，下两端分别与基础和梁连结。由于与梁连结的一端可发生侧移，因此，根据柱顶和柱脚的连结刚度，钢柱的长度系数µ=1.3。钢柱由两根3号钢的槽钢组成，符合钢结构设计规范（GBJ17—88）中的实腹式b类截面中心受压杆的要求。在柱顶和柱脚处用螺栓借助于连结板与基础和梁连结，同一截面上最多有四个直径为30mm的螺栓孔。钢柱承受的轴向压力为270KN，材料的强度许用应力[]=170MPa。试为钢柱选择槽钢号码。92tzyh解：(1)先按稳定条件选择槽钢型号用试算法假设

=0.5每根槽钢所需要的截面面积为93查14a号槽钢的截面面积为

A=18.51cm2。组合截面对z

轴的惯性半径查表，选14a号槽钢一根槽钢对z

轴的惯性半径为（查表）按压杆在xy

平面内的稳定性计算tzyh94查表，3号钢压杆对应柔度

=165的稳定系数为=0.262前面假设

=0.5过大。

第二次假设

=0.35

tzyh95试用16号槽钢：查表，钢压杆对应柔度

=149的稳定系数为=0.311tzyh96接近于试用的=0.35。按

=0.311

进行核算。稳定的许用应力为=0.311tzyh97这是允许的。钢柱的工作应力为工作应力比稳定的许用应力略