（沪教版2020选修一）2022年上海高二数学同步讲义-第３章 空间向量及其应用（典型题专练）

第3章空间向量及其应用典型题专练

能力提升

一、单选题

1.（2019•上海松江•高二期末）若向量a=（1,2,-2）,5=（-2,-4,4）,则向量。与5

A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对

【答案】C

【分析】根据向量平行的坐标关系得解.

【详解】••--1-=4=v，所以向量2与5平行.

【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

2.（2019•上海市北虹高级中学高二期末）如图，平行六面体ABC。-A4CR中，若

AyD]-b,A]A=c,则下列向量中与丹加相等的向量是

11

A1_1r-

A.—a-\--b+cB.—a+—br-c

2222

11-

C.-a--b+cD.——d+—b+c

2222

【答案】D

【分析】由题意可得瓦瓦=可力+丽=即+]瓦瓦=—化简得到结果.

【详解】由题意可得瓦N=瓦石+丽=//+（前=硒+：瓦耳=^+94瓦一4瓦）

=c+|（另一d）=—+6故选D.

【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题.

3.（2021•上海市徐汇中学高二期中）如图，已知正四面体A444,点A，4，4,

4,4,Ao分别是所在棱中点，点户满足A户=x44+y4W+zAA且x+y+z=i,记

|丽日卓京，则当14i,匚10且iHj时，数量积丽•轲的不同取值的个数是（）

【答案】B

【分析】由条件可知点P在平面A44上，并且由几何意义可知AQ，平面444,利用数量

积的几何意义求硕•丽的不同取值的个数.

【详解】条件不+ya，+z4可且x+y+z=l"，说明点P在平面A44上，而

|@|=14Almm说明。为平面A44的中心，此时4QL平面A&4,由向量数量积的几何意

义，眄在旗的投影有5种情况：0、±gl硕I、±|曜|,...数量积丽的不同取值

的个数是5,

故选：B.

【点睛】本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形

结合思想，属于中档题型.

二、填空题

4.(2018•上海•华师大二附中高三开学考试)已知向量。=(1,-5,5),5=(2,1,7),则

卜+同=________

【答案】13

【分析】由题得二+，=(3,-4,12),即得|。+笳=13.

222

【详解】由题得。+)=(3,-4,12),：.\a+h\=>/3+(-l)+12=13.

故答案为13

【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算和空间向量的模的计算，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

5.(2019•上海•高三单元测试)已知点皿1,-2,-7),5(3,10,9),C为线段/第］中点，则向

量丽的坐标为

【答案】(1,6,8)

【分析】依题意，点41,-2,-7),8(3,10,9),。为线段4邠J中点，所以C点坐标为(2,4,1),所

以向量区的坐标为(1,6,8).

【详解】解：依题意，点A(L-2,-7),*3,10,9),C为线段4解]中点，所以C点坐标为

(1+3—2+10—7+9)

[2，2'2-),印C(2,4,D,

所以向量无的坐标为前=(3-2,10-4,9-1)=(1,6,8).

故填:(1,6,8).

【点睛】本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标.属于基础题.

6.(2019•上海市延安中学高二期末)已知向量&=。,2,-2),则向量£的单位向量可=

a(122)

【答案】II

【分析】计算出向，从而可得出诟=高，即可求出向量匹的坐标.

【详解】

va=(1,2,-2),.恫=Ji?+22+(-2丫=3,

一a1-<122、

因此，向量£的单位向量/=同=铲十亏―1

(122、

故答案为：II.

【点睛】本题考查与非零向量同向的单位向量坐标的计算，熟悉结论”与非零向量£同向的

单位向量为的应用是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

H

7.(2018•上海市七宝中学高二期末)已知空间向量a=(2x+l,3x,0),5=(l,y,y-3),(其

中x、ye/?),如果存在实数2,使得”4成立，则》+尸.

【答案】2

【分析】利用向量的坐标运算得出关于X、y、2的方程组，解出即可得出x+y的值.

2x+1=2x=-\

【详解】•.i=(2x+l,3x,0),b=(l,3),且£=所以上=心,解得卜=3,

0=2=—1

因此，x+y=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查空间向量共线的坐标运算，建立方程组求解是解题的关键，考查计算能

力，属于基础题.

8.（2012•上海黄浦•高三期末（理））已知直三棱柱48C-AB©的棱

AB=BC=AC=4,e=2,如图所示，则异面直线A片与8a所成的角是（结果用反三

角函数值表示）.

【答案】arccos!

【分析】首先计算出鬲・西，设福与瓯所成的角为0,求出COS®的值，即可求得。的

值，从而求得异面直线4片与BG所成的角.

【详解】由题意可得鬲=通+璃=通+码，eq=BC+cq=BC+M'

褥西=（而+丽）.（觉+福）=痔肥+丽.品+酝丽+福2

=4x4cosl20°+0+0+4=-4,

__cAB,BC.-41

设的与g所成的角为。，则有8S”国画=限丁衍=",

6）=^-arccos1,故异面直线4片与BG所成的角是arccos",故答案为arccos".

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，两个向量夹角公式的应用，体现了

转化的数学思想，属于中档题.

9.（2015•上海•华师大二附中高三期中）如图已知每条棱长都为3的直平行六面体

488-A4G。中，^BAD=60P,长为2的线段MN的一个端点M在。。上运动，另一个端点

N在底面ABC。上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为

【答案】y

【分析】如图所示，利用代数法先确定点尸的轨迹，从而确定点P的轨迹与平行六面体所围

成的几何体的形状，即可求几何体的体积.

【详解】

如图所示，取A8的中点E连接。E,由题意知DEVCD

以OE所在直线为*轴，以。c所在直线为y轴，以。。所在直线为z轴建立空间直角坐标

系.

设"（O,O,z）,N（x,y,0）,则呜，/]

MN=y]x2+y2+z2=2

x2+y2+z2=4

.-.OP2=1

即OP=1

点尸的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分

又ABAD=60°,ZADC=120°.

...点P的轨迹是球的工

O

1A，仃

,几何体的体积为乃XF=T

639

2万

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查几何体的体积的求法，涉及点的轨迹的求法，解析法的应用以及球的

体积公式的应用，属于中档题.

10.（2019•上海市青浦区第一中学高二期中）已知直线/的一个方向向量2=（4,3,1）,平面

a的一个法向量万=（"],3,-5）,且〃/a,则加=

【答案】-1

【分析】由题意可得，根据线面平行可得715,则25=0,进而得到4,〃+9-5=0,解得即

可.

【详解】解：由题意可得2_1九则4利+9-5=0

解得机=-1

【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面

的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.

11.（2021•上海•高二专题练习）设向量〃=（。力,0）,1=（c,d,l）.其中/+从“2+/=1.

则以与万夹角的最大值为.

3兀

【答案】v

4

【分析】由两向量中的已知坐标和未知坐标间的关系，得出两向量的终点的轨迹，运用向量

的夹角公式求解.

【详解】向量5的终点都在以。为圆心，1为半径的圆上；

向量。的终点都在以。|为圆心，1为半径的圆上；

且为圆。与圆01的距离为I,

如图所示，两向量的夹角最大，为手.

4

【点睛】本题考查动点的轨迹和空间直角坐标系中向量的夹角，属于中档题.

三、解答题

12.（2022•上海•高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC-中，已知

A4,=BC=AB=2,AB±BC.

（1）求四棱锥A-BCG4的体积;

（2）求二面角4-AC-G的大小.

【答案】（1）1（2）|

【分析】（1）通过判断条件可知四棱锥A-BCG用的高为A耳，采用体积公式求解即可

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出丽=（1,1,0）是平面AGC的一个法向

量，求出平面as。的一个法向量，利用向量的数量积求解：面角4-AC-G的大小

【详解】（1）因为ABL3C,三棱柱ABC-ABG是直三棱柱，所以ABLBCC的,从而A与

是四棱锥A-BCC圈的高

1Q

四棱锥A-BCG4的体积为V=-x2x2x2=-

（2）如图建立空间直角坐标系

则A(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2),4(0,0⑵,C,(0,2,2)

设力冰中点为M•••3MLAC,NM_LCG，.1BM，平面AGC,即丽=(1,1,0)是平面AGC

的一个法向量

设平面A4C的一个法向量是万=(x,y,z),A.C=(-2,2-2),4耳=(一2,0,0)

.'.iiA]B1=-2x-0,n-AiC=-2x+2y-2z=0

令z=l,解得x=0,y=1,/?=(0,1,1)

设法向量元与丽的夹角为夕，二面角片-AC-6的大小为。，显然。为锐角

G\n-BM|1n

*:cos0n=cosB=-----.=—,:.0——

\n\\BM\23

二面角的大小为午

【点睛】本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，空间想象能力以及逻辑推

理能力，属于中档题

13.（2017•上海宝山•高二期末）如图，点。为正四棱锥P-ABCO的底面中心，四边形

POBQ为矩形，且OA=0,BQ=2.

（1）求正四棱锥P-ABCO的体积；

（2）设E为侧棱以上的点，且笠=：，求直线跖和平面PQC所成角的大小.

EP3

【答案】（1）5（2）arcsin也^

321

【分析】（1）根据条件求出底面面积，用锥体体积公式即可求解；（2）以0点为原点建立

空间直角坐标系，求出直线3E的方向向量曲和平面PQC的法向量［的坐标，用公式

sin0=Icos<BE,n>1=J।J求解即可。

1”阿〃I

【详解】解：（1）由己知可得OP=BQ=2,

注意到。4=点，故底面正方形ABCQ的边长AB=2,

所以正四棱锥P-ABCD的体积为%=：5诋。PO…

=-X22X2

3

=8

"3,

（2）以。为原点，OC,OD,0P分别为％,V,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

易得P（0,0,2）,A（-V2,0,0）,B（0,-V2,0）,C（忘,0,0）,Q（0,-夜,2）.

E

'A

D

y

n±QP

设平面PQC的一个法向量为”=（x,y,z）,则

nlCP'

n-QP=O

所以

nCP=O'

[岳=0

又9=(0,&,01CP=(-72,0,2),即

[-缶+2z=0

解得卜=缶

可取元=(&,0,1)

y=0

依题意可得荏=|丽=孚，°，［］，现设E（x,y,z）,则通=（x+V5,y,z-

从而丽=

设直线BE和平面PQC所成角为e，则sin0=|cos<

V7

21

・・・。£0,J,.•.0=arcsin—,

L2.21

故，直线BE和平面PQC所成角的大小为arcsin也.

21

【点睛】本题考查求正四棱锥的体积和直线与平面所成的角，难度一般，考查学生的空间想

象能力与运算能力。求直线与平面所成的角一般用两种方法，方法一，作出直线与平面所成

的角，然后在三角形中求解；方法二，建立适当的空间直角坐标系，用空间向量求解。

14.（2020•上海•高三专题练习）如图，四棱锥4以冲，阳，平面/腿，后为龙柏中

3

点，物如的中点，△DAB2DCB,EA=EB=AB=1,尸4=］，连接醐1延长交力好£

p

（1）求证：力〃，平面的7;

（2）求平面及孑与平面郎的夹角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）正

4

【分析】（1）根据已知可得AD，CP,GFYAD,所以可得证/〃1平面6密

（2）以4为坐标原点建立空间直角坐标，分别求出平面83与平面比碓法向量，从而可得出

两平面的夹角的余弦值.

【详解】（1）因为AOABWOCB,EA=EB=AB=\,所以是等边三角形，

：.ZDEF=ZEBA^60°,

EF//AB,EF=-AE,GF//PA,

2

在A4E/中，•••^AEF=60°,ZAFE=90°,_L所,即CF,

F41,平面ABCD,GF_L平面ABCD,:.GF±A£>,CFcGf=F,r.A。_L平面CFG；

（2）建立空间坐标系如图所示，

则B（L0,0）,C（|，孚,0），P（。。,|），。（0,60）,

向量配=（g，¥，o）,定=（|，¥，-|）,配=（|,-孝,0）,

设平面顺的法向量I=（%,X，4）,平面如。的法向量后=U，必，Z2），则

1石

-X+O

-立

2T2

一

g得--

33«|3，3

-O

玉+TZ=

2-2-

3立

-%-O

2-2

3立3

-+Z=O

22y2-2-2

设平面ap与平面讷夹角为e,由图示可知，。为锐角，所以

两平面夹角的余弦coso=

所以平面吩与平面〃。的夹角的余弦值为正.

4

故得解.

【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明、平行关系的运用，考查空间角的求解方法，考

查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.

15.（2021•上海•高二专题练习）被嘉定著名学者钱大听赞誉为“国朝算学第一”的清朝

数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为4

的正方体A8CD-ABCQ中，点爪i=L2,L,24）为棱上的四等分点.

（1）求该方灯体的体积；

（2）求直线＜巴和E片的所成角；

（3）求直线4%和平面々鸟A的所成角.

【答案】（1）:（2）60；（3）arcsin.

33

【分析】（1）计算出八个角（即八个二棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这

八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；

（2）以A为原点，AB为x轴，AO为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向

量法求出直线PA和的所成角;

（3）求出平面4鸟鸟的法向量，利用空间向量法求出直线8品和平面6舄A的所成角的正弦

值，由此可得出6%和平面424的所成角的大小.

【详解】（1）••・在棱长为4的正方体ABCD4与GA中，点片（i=1,2,L,24）为棱上的四等分

点，

111QQ

该方灯体的体积：V=4x4x4-8x-x-xlxlxl=—；

323

（2）以A为原点，4B为*轴，A£>为y轴，AA为z轴，建立空间直角坐标系,

uuuuuum

耳（3,0,4）、鸟（4,1,4）、,（0,3,4）、4（0,4,3）,他=（1,1,0）,《匕=（0,1,-1）,

LUU1111UUT

和比片1

设直线舄和《耳的所成角为贝ljCOS0=-titftrrTtttttHr-=—,

6牝•回2

二直线66和6力的所成角为60,

UULIU1uuu

（3）£（4,0,3）,%（4,0,1）,即；、=（0,0,-2）,24=（1,0,-1）,

设平面664的法向量7=（x,y,z'），

X

=x

H/口-

则..in-丽RR=…x-zy==00'侍[|yz=-x-，取X"得〃=

।uuuorr>

吹〃|2x/3

设直线《小和平面的所成角为a,则sina=牖后2c

•・・直线砧3和平面枕鸟的所成角为arcsin乎.

【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键

就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.

16.（2019•上海•高三阶段练习）如图，四棱锥中，PA_L平面ABC。，

AD//BC,AB±AD,BC==^-,AB=\,BD=PA=2.

3

（1）求异面直线8。与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角4-PD-C的余弦值.

【答案】⑴容：（2）

385

【分析】（1）以点A为坐标原点，AB.AD.AP所在的直线分别为x轴、丫轴、z轴建立

空间直角坐标系A-孙z,计算出向量而、PC,然后利用空间向量法计算出异面直线即与

PC所成角的余弦值；

（2）计算出平面尸AD的一个法向量正，平面PCO的一个法向量G，然后利用空间向量法计

算出二面角A-PD-C的余弦值.

【详解】（1）由题意可知，AB、A。、AP两两垂直，不妨以点4为坐标原点，AB.

AD.A尸所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-孙z,如下图所示：

易得==淳=5则点8（1,0,0）、C1,早,0、。（0,40）、P（0,0,2）.

（）JDPC

•••cosBD,^C=PHM

因此，异面直线BD与PC所成角的余弦值为身;

(2)易知点A(0,0,0)、c[l,手,()]、。(0,收0)、*0,0,2).

易知平面PAD的一个法向量为正=(1,0,0),设平面PCD的一个法向量为3=(x,y,z),

与

X=

Wn3

点:：得＞彳尸°，解得＜

由旦令丁=2石，则x=2,z=3,

Z=

-"y+2z=02

所以，平面尸CO的一个法向量为"=仅,2百,3),cos例,元)=韶=2=；,

\f|m||n|1x55

2

由图象可知，二面角A-PD-C为锐角，它的余弦值为

【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角以及二面角，解题的关键就是要建

立合适的空间直角坐标系，将问题转化为向量法来求解，考查计算能力，属于中等题.

17.(2019•上海市行知中学高二期中)在棱长为。的正方体AB8-AMGA中，E、F分

别是棱BC、CO上的点，且BE=CF.

(1)当E、尸在何位置时，B、FLD\E?

(2)是否存在点E、F,使4C1面GE尸？

(3)当E、尸在何位置时三棱锥C-CEF的体积取得最大值？并求此时二面角6-EF-C的

大小.

【答案】(1)无论£、/在何位置均有*(2)不存在点氏F,使面G硒详见解

析(3)E、尸分别为比、0彳的中点时，三棱锥G一团的体积最大，此时：面角C-EF-C的

大小为arctan20

【分析】(1)以4为原点，以而、而、丽为谢、j轴、z轴建立空间直角坐标系，然后利

用向量数量积为0,可以证明；

⑵利用/•属'=0且而•雨'=()无解，可知不存在点区凡使4d面C"”：

(3)连接/戊哥于G,则1人斯，由三垂线定理知：GG_LAV.NGGC是二面角G-EF-C的

平面角，然后计算可得.

【详解】(1)以/为原点，以而、而、丽为8由、屏由、z轴建立空间直角坐标系，

设游X,则有:

B[(67,0,a),D、(0,a),E(a,x,0),F(a-x9a90)

uuuuuu

\B]F=(-x,a,-a),DtE=(a,x-a,-d)

UUUUUL1

B}F?D}E-ax+a(x-〃)+(-a)(-a)=0

因此，无论£陷何位置均有8/八D}E.

UUUUUUUUU

(2)\C=(a,。,-a),EC、=(0,a-x,a),FC}=(x,0,a),

若4C_L面G例则而•博=0且/•星二0,

所以《2八得。=0才盾，

ax-a=0

故不存在点及F,使4CL面

（3）%s=；GC?SvcmCE2CF

』x"x）Va（"：+x）2ML",（当且仅当“7=x，即x=：时等号成立），.

3262242

当x时，二棱锥C一侬的体积最大，

这时，E、，分别为比'、。的中点.

连接力吠所于G,则/CL£E由三垂线定理知：C\G1EF

“GC是二面角c「EF-C的平面角，

QGC=；AC=¥”,CC1=a,\tan?CfiC躇二2"

所求二面角大小为arctan2夜.

【点睛】本题考查了用向量数量积为。证明两直线垂直,用基本不等式求体积的最大值以及二

面角的求法,属于中档题.

18.（2019•上海•复旦附中高二期末）如图，在多面体A58EF中，粉，平面A8C£）,四边

形ADEF为正方形，四边形A38为梯形，且A£>〃BC,ZBAD=90°,AB=AD=\,BC=3.

(D求直线8尸与平面C£>E所成角的正弦值；

(2)线段上是否存在点M,使得直线CE〃平面4；“？若存在，求黑的值：若不存在，请说

DL)

明理由.

【答案】(1)叵;(2)

【分析】建立适当的空间宜角坐标系.

(1)求出平面CQE的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线8尸与平面COE所成角的正

弦值；

(2)求出平面的的法向量,结合线面平行的性质，空间向量共线的性质,如果求出器的值，

也就证明出存在线段BD上是否存在点M,使得直线CE〃平面AFM,反之就不存在.

【详解】以A为空间直角坐标系的原点，向量而，而，而所在的直线为x，y，z轴.如下所示：

A(0)0,0),5(l,0,0),C(l,3,0),。(0,1,0),E(0,1,1),尸(0,0,1).

⑴平面COE的法向量为而=(和y,z),DC=(1,2,0),DE=(0,0,1),BF=(-1,0,1).

m_LDCm-DC=0卜i+2y=0

..庆=(2,—1,0).

ih.LDE^m-DE=0(z,=0

直线BF与平面CDE所成角为以所以有sin0=

(2)假设线段8。上是存在点M,使得直线CE〃平面AFM.设筌=〃2£@1]),因此的=义丽,

所以M的坐标为：(1-ZZ0).在=(-1,-2,1).

设平面A/W的法向量为1(々，切心)，AF=(O,O,1),AA7=(1-/1,^O),

[iilAF\n-AF=O[z2=0,,,…、

[nVAM[n-AM=0[x,(1-2)+/ly2=0

__2BM2

因为直线CE〃平面所以有位，〃=>”2(1-团=0=>/1=:,即器=：.

【点睛】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质，考查了数学运算能力.

19.(2018•上海市大同中学高三期中)如图所示，在四棱锥O-ABC。中，底面ABCO是

■7T

边长为1的菱形，ZABC=-,面ABC。，0A=2,M、N分别为QA、8c的中点.

4

(1)证明：直线仞V〃平面OC£>；

(2)求异面直线AB与"。所成角的大小；

(3)求点B到平面。8的距离.

【答案】(1)证明见解析(2)j(3)|

【分析】(D取OD的中点E,构造平行四边形MNCE,再根据线面平行的判定定理完成证

明；

(2)根据平行可知异面直线AB与MD所成的角即为N/gC或其补角，然后根据长度进行求

解；

(3)根据线面平行将问题转化为A到平面。8的距离，然后作出A在平面内的射影，根据长

度即可计算出A到平面。8的距离，即可求解出点8到平面OCO的距离.

【详解】(1)取。。的中点E,连接ME、CE.则四边形MNCE为平行四边形，

MN//CE,又平面OCD,CEu平面。CD,

MZV〃平面OCD

o

(2)VCD//AB,

为异面直线43与所成的角(或其补角)

作AP_LCD于点P,连接

：OA_L平面ABC。，ACDYMP,"：ZADP=~,：.DP=—.

42

MD=yjMA2+AD2=叵，

cosZA/DP=—=-,NMDC=NMDP=%.

MD23

所以异面直线AB与M£＞所成的角为

O

(3):AB〃平面0C£),...点B和点A到平面。8的距离相等.

连接。尸，过点A作AQJ_OP于点Q,

VAPLCD,OALCD,；.CO_L平面04P,：.AQ±CD,

又•；4Q_LOP,AQ_L平面OCD,

线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，与点B到平面OCD的距离相等

OP=^OD2-DP2=yJOA2+AD2-DP2=—,AP=AD=旦,

22

2x也

OP3V23

—

所以点B到平面OCD的距离为12.

【点睛】本题考查线面平行的证明、异面直线所成角以及点到面的距离的求解，难度一

般.（1）求解异面直线所成角注意角是钝角还是锐角；（2）求解点到平面内的距离，除了通过

找到点在平面内射影的方法并根据长度求解距离，还可以通过等体积法完成距离的求解.

20.（2020•上海•复旦附中青浦分校高三阶段练习）已知正方体488-A4G9的棱长为

（1）求点G到平面AA4的距离；

（2）求平面CDRG与平面所成的二面角（结果用反三角函数值表示）.

【答案】（1）^-a；（2）arccos—

33

【分析】（1）利用三棱锥等体积法求点G到平面4片。1的距离.

（2）建空间直角坐标系，用向量法求二面角.

【详解】（1）0•e%-共用4=匕

匕GO.=；S.c心q?A4|；仓*a2?a^a3

•・・小旦，是边长为缶的等边三角形

•*-S=-x41axyjlax—=

△八AR巧D52、22

设点到平面48a的距离为力

旦

3

(2)建立如图所示空间直角坐标系.

则A(0,0,0)，4(a,0,a),D](0,a,a)所以ABl=(a,O,a),ADl=(O,a,a)

设平面Ag的法向量为A=(x,y,z)

n-AB=0ax+az=0,

l“y+az=。'令I则y=1,Z=・1

n-AD1=0

\«=(1,1,-1)

又平面CDD,C\的法向量为m=(0,1,0)

设平面82G与平面AAR所成的二面角的平面角为。

turn1

8sq=丽=忑

【点睛】本题考查等体积法及二面角的向量求法.

计算二面角大小的常用方法

(1)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角

得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；

(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向

量的夹角的大小就是二面角的大小.

21.(2021•上海•高二专题练习)如图，在三棱柱A8C-A4G中，叫1.平面ABC,

AB1BC,AA,=AB=BC=2.

(1)求证：8。]_1平面4区。；

(2)点N在线段8片上运动，求AN与8c所成角的范围.

【答案】(1)证明见解析;(2)管1.

【分析】(1)推导出BG1BC，从而平面BCG4,进而

BCt1AA,由此证明BC|_L平面ABC；

(2)以8为原点，BC为x轴，班为y轴，因为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求

出AN与BC所成角的范围.

【详解】⑴证明：：在三棱柱ABC-4月£中，阴，平面ABC,ABLBC,

AA^=AB=BC=2

四边形BCC向是正方形，，BQ1B、C

•.•841.平面ABC,ABrBC

44_LBB[,耳与_LB]C]

BBlcB£=B],；.44_L平面BCC[B[

■「BQu平面BCC｝与，/.BC、，A4

・.・4餐cdC=4,BC\!平面&Be

(2)点N在线段8片上运动，由(1)知，A片，平面8CG4，86u平面8CG4，

-JT

.•・4片，片C