高中数学知识点总结

一、集合与常用逻辑

空集。墨A

子集A=任意xwAnxwB

AC[B=A<^A^BA\JB=B^A^B

1.四种命题

原命题=逆否命题否命题=逆命题

2,充分必要条件：p是q的充分条件P是q的必要条件：P是q的充要条件：

3.复合命题的真值

①q真(假)O“7”假(真)②p、q同真O“pAq”真③p、q都假O“pVq”假

4.全称命题、存在性命题的否定

二、函数概念与性质

1.奇偶性

f(x)偶函数/(-X)=/(x)f(x)图象关于y轴对称

f(x)奇函数=于(—x)=T(x)=f(x)图象关于原点对称

注：①f(x)有奇偶性二>定义域关于原点对称

②f(x)奇函数，在x=0有定义二〉f(0)=0

③"奇畸=奇"(公共定义域内)

2.单调性

f(x)增函数：X1<X2-f(xi)<f(x2)或Xi>Xz=>f(X1)>f(x2)

/区)一/区)、n

或----------------

X]—I2

f(x)减函数：?

注：①判断单调性必须考虑定义域

②f(x)单调性判断

定义法、图象法、性质法“增+增=增"

③奇函数在对称区间上单调性相同

偶函数在对称区间上单调性相反

3.周期性

r是/(X)周期=/(x+Q=/(工)恒成立(常数7。0)

4.二次函数

解析式：f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+k

f(x)=a(x-xi)(x-X2)

_~bh4ac—b2

对称轴：％一丁顶点：(一工一，--------------)

la2a4a

bb

单调性：a>0,(-oo,-------------］递减，［r一『，+8)递增

2a2a

_-b_4ac-b~

当％二丁.f(x).i„=~

2a4a

奇偶性：f(x)=ax"bx+c是偶函数Vb=0

闭区间上最值：

配方法、图象法、讨论法--

注意对称轴与区间的位置关系

注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0

三、基本初等函数

_n1“

am

1.指数式=I(aW0)~a=

2.对数式l°gqN=ba=N(a>0,a#=l)

log。MN=log。M+log。N

M

log”7=log。MTog”N

n

iogaM=n\ogaM

1咆/=0=蚣

log,ilg”

log»=log人]二

alogba

注：性质log”1=0loga"l=N

常用对数1gN=log]0NtIg2+lg5=1

自然对数lnN=logeN,lne=l

定义域、值域、过定点、单调性？

注：y=a'与y=logaX图象关于y=x对称

(互为反函数)

4.幕函数y二工2,丁==犬2,丁二工

1.描点法

函数化简一定义域一讨论性质(奇偶、单调)

取特殊点如零点、最值点等

2.图象变换

平移：“左加右减，上正下负”

y=/(x)一y=/(1+力)

、，一每一点的横坐标变为原来的。倍、、，—£/1V、

伸缩：y-J(X)--------------------------->y-J\~X)

s

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”

y=/(x)到->y=-/⑴

y=/(x)例-〉y=f(-x)

y=/(x)—->y=-/(-x)

直线x=a

注：y=fM->y=f(2a-x)

翻折：y=/(%)ty=i/(x)।保留x轴上方部分，

并将下方部分沿1轴翻折到上方

y=f(x)y=|f(x)|

y=/(x)7)=/(I%I)保留y轴右边部分,

并将右边部分沿/轴翻折到左边

y=f(|x|)

3.零点定理

若f(a)f(b)<。，则》=/(不)在(。,匕)内有零点

(条件：/(%)在匕］上图象连续不间断)

注：①/(%)零点：/(x)=。的实根

②在上连续的单调函数/(元)，/(。)/(〃)<。

贝"⑸在("，〃)上有且仅有一个零点

③二分法判断函数零点一-f(«)/w<o?

五、导数及其应用

2.导数公式

(。)'=。(C为常数)

(sinx)=cosx(cosx)=-sinA:

ci(ln%)'=1/%

ItIIIIz*•

(w±V)=U±V.(wv)=WV+wv.(Cw)=Cu.

(、/

〃vCv—wv1'',

3.导数应用

I

单调性：如果/⑴则

>0,/(x)为增函数

如果/(欠)<0,则/(x)为减函数

极大值点：在X。附近/(X)“左增右减/、”

极小值点：在X。附近/(X)“左减右增、/”注/(%)=。

求极值：f(X)定义域ff(x)f/(X)零点一列表：

X范围、f(X)符号、/(元)增减、/(X)极值

求［a,b］上最值：f(X)在(a,b)内极值与/(a)、/(b)比较

4.三次函数(利用导数中图像的特征、单调性、极值)

/(%)=ax3+bx2+cx+d/z(%)=3ax2+2bx+c

图象特征：“\/、”a>0,A>0a<0,A>0

极值情况：△>00/(x)有极值△<0=/(%)无极值

5.定积分

^f(x)dx=尸(。)—尸⑷其中尸(x)=/(%)

定理:

^kf(x)dx=k^f(x)dx&为常数)

性质:

f/(%)±g(x)dx=ff(x)dx±fg(%)d%

应用：

①由直线*=&,x=b,x轴及曲线y=f(x)

(f(x)》O)围成曲边梯形面积S-

=]力(x)dx-jf2(x)dx

六、三角函数

i.概念第二象限角(2%%+5,2%乃+%)(左6Z)

2.弧长/二a'r扇形面积$=5〃

y%y

、币以sincr=—cosa=-tan6K=—

3-rrx

其中P(x,y)是。终边上一点，PO-r

4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”

5.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”

如SinQ/r-a)=—sina,cos(zr/2+a)=—sina

6.基本公式

sina

.2?1=tan(X

同角sina+cosa=lcosa

和差sin(a±夕)=sincrcos月±cosasin/3

cos(a±⑶=cosacos万干sinasin0

tanQ±/?)=tana±tan/?

I+tan6/tan[3

倍角sin2a-2sinacosa

co2a=co《a-sirfa=2co^a-l=l-2sirfa

c2tana

tan2a=------------

1-tana

1+cos2a1—cosla

降募cos2a=2sin2a=?

sina+cosa-V2sin(a+—)

叠加4

石sina-cosa=2sin(a-令

asina+Z?cosa-yla2-\-b~sin(a+o)(tan0=£)

9.解三角形

基本关系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosC

.A+BC

tan(A+B)=-tanC，in—-COS—

abc

正弦定理：sinA=sin8=sinC

a=27?sinA4:匕：c=sinA:sinB:sinC

余弦定理：a2=h2+c2-2hccosA(求边)

12,22

b+c—(2

cosA=2bc(求角)

面积公式：S^=—absinC

2

注：AABC中，A+B+C=？A<B<=>sinA<sin5

兀

a2>b2+c2^ZA>'2

七、数列

1、等差数列

定义：an+\.a=d

n通项：an=a\+(〃-Dd

a+c

_〃(为+”")中项：b=~^~

求和：

=nax+—n(n—l)d

性质：若加+〃=P+q,则％,+%=%+3

2、等比数列

定义：常!=式"0)通项：册=

叫(q=1)

求和：S“=<©w])中项：b2=ac

性质：若m+n=p+q则〃加.〃〃一〃P•白q

3、数列通项与前n项和的关系

[s]=〃](72=1)

=<

[%-为一](n>2)

4、数列求和常用方法

公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法

八、不等式

1.一元二次不等式解法

若a>0,ax2+bx+c=0有两实根a,。(a<夕)，则

ax2+bx+c<0解集(a,0)

ax2+bx+c>0解集(-8,CX)U(4,+8)

注：若。<0,转化为。>0情况

2.其它不等式解法一转化

x<a<^-a<x<a=<a2

x=或x<—a=A:2>a2

f(x)>0c

77T=f(x)g(x)>0

a"">a8(A>o/(x)>g(x)(〃>1)

(f(x)>0

log”fM>1吗且⑴=,/、，、(。<4<1)

lf(x)<g(x)

3.基本不等式

①。2+b2>2ab

②若a,b£R+,则3122d

ij/匕、2

注：用均值不等式a+b>2y/ababs?厂

求最值条件是“一正二定三相等”

4.平面区域与线性规划

不等式表示的平面区域判断:

①在直线Ax+By+C=°一侧取一个特殊点（/,%）

（通常是原点）

②由你+为。+C的正负，判断Ax+gy+C>0表示

直线哪一侧的平面区域

注：直线同侧所有点的坐标代入Ax+By+C,得到实数的符号都相同

线性规划问题的一般步骤：

①设所求未知数；②列约束条件（不等式组）;

③建立目标函数；④作可行域；⑤求最优解

x-A-y<-3

例：设X，y满足‘3x+5y<25

x>l

求Z=2x+y最值

当/过A(5,2)时，z最大，

当/过时，Z最小

九、复数与推理证明

1.复数概念

复数：z=a-\-bi(a,beR),实部a、虚部b

分类：实数(〃=0),虚数(力w0),复数集c

注：Z是纯虚数=。=。，。W0

相等：实、虚部分别相等

共帼z=a-bi模：忖=V«2+b2z•z=z

复平面：复数z对应的点(。,匕)

2.复数运算

加减：(a+bi)土(c+di)=？

乘法：(a+bi)(c+di)=?

a+bi(Q+bi)(c-di)

除法：c+di=(c+di)(c-di)='"

1•〃-4k+r_•r

乘方：2•2=-I,2=2—I

3.合情推理

类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般

演绎：一般导出特殊(大前题一小前题一结论)

4.直接与间接证明

综合法：由因导果

比较法：作差一变形一判断一结论

反证法：反设一推理一矛盾一结论

分析法：执果索因

分析法书写格式：

要证A为真，只要证B为真，即证……，

这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真

注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程

5.数学归纳法：

(I)验证当n=l时命题成立，

(2)假设当n=k(keN*,kNl)时命题成立，

证明当n=k+l时命题也成立

由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立

注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用

三.算法案例

1、求两个数的最大公约数

辗转相除法：到达余数为0

更相减损术：到达减数和差相等

nn1

2、多项式f(x)=anx+anjx'+....+aix+ao的求值

秦九韶算法：vi=anx+an-iv2=vix+an-2

v3=v2x+an3vn=vn-ix+a()

注：递推公式Vo=anVk=vk-ix+an-k(k=1,2,...n)

求f(x)值，乘法、加法均最多n次

3、进位制间的转换

k进制数转换为十进制数：

…。]。0(左)=anxk"+an_]xk"'+........+a]xk+a0

十进制数转换成k进制数：“除k取余法”

例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3

例2已知f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求f(5)

123=2X48+27v0=2

48=1X27+21Vi=2X5—5=5

27=1X21+6¥2=5X5-4=21

21=3X6+3V3=21X5+3=108

6=2X3+0v4=108X5-6=534

v5=534X5+7=2677

十一、平面向量

1.向量加减三角形法则，平行四边形法则

AB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始点

中点公式：AB+AC=2AD=。是BC中点

—►—►—►—►

2.向量数量积〃.匕=Q.匕・cos<9=/工2+%乃

--►—►

注：①〃，b夹角：o0^e^180°

f——f一f

令〃Z?日后a，b=a•b

②同向：

a(，02不共线一基底)

3.基本定理=2商+22?2

―►—►—►—►

平行：allb0a=助=%为=4%北

—►―►—►-►

垂直：a_Lb<=>a•b=0=x^2+y]y2=0

模:同=J/+y24+3=（〃+3）2=

—►-►

a-b

夹角：cos6=I-H]।

\a\\b\

注：①。〃4②〃•「•（?）W（。㈤・c（结合律）不成立

③a，B=a-c=b=C（消去律）不成立

十二、立体几何

i.三视图正视图、侧视图、俯视图

，，r

2.直观图：斜二测画法NXOY=45°

平行X轴的线段，保平行和长度

平行丫轴的线段，保平行，长度变原来一半

3.体积与侧面积

Vtt=sah丫惟:生底卜

33

S阱*"/s一兀（R+r）ls_4派2

OM台侧一\/5球衣一■•"d

4.公理与推论确定一个平面的条件：

①不共线的三点②一条直线和这直线外一点

③两相交直线④两平行直线

公理：平行于同一条直线的两条直线平行

定理：如果两个角的两条边分别对应平行，

那么这两个角相等或互补。

5.两直线位置关系相交、平行、异面

异面直线——不同在任何一个平面内

6.直线和平面位置关系

qua4alia

7.平行的判定与性质

线面平行：

a//b,buagDana“a

ana,au0,0ca=bna〃b

面面平行：

AB//a,AC〃an平面ABC〃a

a//13,aua=a〃/3

8.垂直的判定与性质

线面垂直：PJL/?1AC=>p1ffiABC

面面垂直：a-La,au/3=>4_La

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；

若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

三垂线定理：

PO±a,AOJ_a=>PA_L〃

PO_La,PA_LanAO_La

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂

直，那么它也和这条斜线垂直

逆定理？

9.空间角、距离的计算

异面直线所成的角范围（0°,90°]

平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理

直线和平面所成的角范围[0°,90°]

定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形

二面角范围[0°,180°]

定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形

点到平面的距离

体积法一用三棱锥体积公式

注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出

10.立体几何中的向量解法

法向量求法：设平面ABC的法向量〃=(x,y)

HlAB,HlAC

—►

解方程组，得一个法向量〃

--►,

线线角：设"1，孔2是异面直线/］，4的方向向量,

4,4所成的角为°，则cos。=cos<n\,n2>

即/i，,2所成的角等于<%,%>或不一>

线面角:

设几是平面a的法向量，AB是平面°的

-条斜线，A3与平面6f所成的角为夕

_____AB•九

sin0=cos<n,AB>=------

则AB-n

二面角：设々，〃2是面"，用的法向量，二面角—0的大小为6,则

————►

cos0—cos<%>或一cos<n\,n2>

-►--►—--*-

即二面角大小等于<%,八2>或万—<为，>

点到面距离：

若〃是平面口的法向量，

AB是平面a的一条斜线段，且8e0,

ABTI

则点A到平面a的距离d~

n

十三、直线与圆

1、倾斜角范围［°，万）

斜率心.。=泞

注：直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角

倾斜角为90°时，斜率不存在

2、直线方程

点斜式y—y（）=左（工一％0）,斜截式y=履+6

y-y,x,y

两点式2=——x-x.L截距式[+]/

为一片0一七

一般式Ax+By+C=0

注意适用范围：①不含直线X二

②不含垂直X轴的直线

③不含垂直坐标轴和过原点的直线

3、位置关系（注意条件）

平行h-k?4Wb2

―

垂直kJ?—1垂直=44+B1B2—o

4、距离公式

两点间距离：|AB|=）（西一%）2+（%一%）2

Ax++C

点到直线距离“二0

VA2+B2

圆标准方程:(x-a)2+(y—Z?)2=r2

5、

圆心（〃，/?），半径r

圆一般方程：/+y2+Dx++/二°（条件是？）

[DE）JD2+E2-4F

圆心（一-J半径不=2

6、直线与圆位置关系

位置关系相切相交相离

几何特征d-rd<rd>r

代数特征

△二0△>0A<0

注：点与圆位置关系（%—。了+（R）一>丫〉/U>

点尸（工0,％）在圆外

7、直线截圆所得弦长

AB=24—屋

十四、圆锥曲线

一、定义

椭圆：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|FiF2|）

双曲线：|PF1|-iPF2|=±2a（0<2a<|F1F2|）

抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹

二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）

222

xy1x

------1------—1

椭圆4202(a>b>0)双曲线滔—(a>0,b>0)

中心原点对称轴？焦点Fi（c,O）、F2（-C,0）

顶点：椭圆（土a,0）,（0,±b）,双曲线（土a,0）

范围：椭圆-a^x。,-bVy<b

双曲线|x|>a,yeR

焦距：椭圆2c（c=7^2-b2）

双曲线2c（c=7«2+b2）

2a、2b:椭圆长轴、短轴长，

双曲线实轴、虚轴长

离心率：e=c/a椭圆0<e<l,双曲线e>l

注：双曲线/一》"二i渐近线y=±7工

Ct-L/"

22r\

方程根x+ny=1表示椭圆=zn>0,〃〉0.mW〃

方程mx~+ny2=1表示双曲线=mn<0

抛物线y?=2px（p>0）顶点（原点）对称轴（x轴）

p（2-o）r__z

开口（向右）范围X20离心率e=l焦点1准线光―一5

十五、计数原理

1.计数原理加法分类，乘法分步

2.排列组合差异--排列有•序而组合无序

4m，0

公式=〃5-1>-5-加+1)=伽_〃2)!

n{n—l)---(n—m+1)n!

c：=

lx2x---xmm!,(几一m)l

A；=ml^Cm

关系:n

性质：c+c+J•••+《=2〃

3.排列组合应用题

原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般

解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”

复杂问题“排除法”

4.二项式定理

（。+份〃+C/"+管+..fqW+...£/

特例（1+X）n=1+C：XH---FC[XH---FXn

通项T「+1=G"—'>（厂=。/，2…，n）

注C；-一第厂+1项二项式系数性质：所有二项式系数和为2〃中间项二项式系数最大

赋值法：取％二0,1-1等代入二项式

十六、概率与统计

1.加法公式：若事件A和8互斥，则

P（A+B）=P（A）+P（B）P（A）=1-P（A）

互斥事件:不可能同时发生的事件

对立事件:不同时发生，但必有一个发生的事件

2.常用抽样（不放回）

简单随机抽样：逐个抽取（个数少）

系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取

（总体差异明显）

3.用样本估计总体

众数：出现次数最多的数据

中位数：按从小到大，处在中间的一个数据

（或中间两个数的平均数）

-J«1"_

平均数：*=方差S〜二二E（七一工）标准差S

nz=lni=[

4.频率分布直方图

频率

小长方形面积=组距X组是叵=频率

各小长方形面积之和为1

众数一最高矩形中点的横坐标

中位数一垂直于X轴且平分直方图面积的直线与X轴交点的横坐标

茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如

众数、中位数、平均数等

十七、随机变量的概率分布

1.条件概率

P（BlA）-也也皿

A发生条件下B发生：'।7或孔（A）

2.独立事件的概率

A、B同时发生：P（AB）=P（A）'P（B）

一般：P（AB）=P（A）P（B\A）

若A与B独立，则A与石、X与否也相互独立

3.独立重复试验的概率

一次试验中事件A发生的概率是P,几次独立

重复这试验，事件A恰好发:生左次:

做二。尸（1一尸尸

4.离散型随机变量的概耳西分布：

・・・A>0

性质XIX2Xn

・・・

PP1P2PnP]+〃2+…+P“=1

5.离散型随机变量的期望与方差

定义：

E(X)=X]P|+%2P2+...+%〃〃〃(平均值)

"X)=e—EIX)]2”[+E—仇X)]2〃2+…+以—仇㈤]2〃”

性质：

+/?)=aE^+bD(a<^+b)=a~D^

6.常用分布

两点分布E(X)=p,O(X)=p(l—P)

二项分布8(〃，P)：E(X)=up,D(X)=np(1-P)

P(X=k)=C^pkqn-k

超几何分布：

jn/yx_“MM/«M.N—n

()MD(X)=〃.不P(X=g

1人呼

7.正态分布密度函数/（%）=gme2〃，％e（_oo,+oo）

性质：曲线在x轴上方、关于X=4对称，曲线与X轴围成面积为1

变量在区间（〃力）内取值的概率等于

密度曲线与X轴、直线x=a、x=b

所围成曲边梯形的面积

a

图中阴影部分面积

表示概率

8.标准正态分布N(O,1)：

E(X)=O,Z)(X)=1

尸(X<。)=。(〃)可查表

P(a<X<b)=忡)一蜘)

〃<0,0⑷=1一°(一〃)〃=0,0(0)=0.5

正态分布NQ/”2)：

E(X)=jU,D(X)=a2

尸(乂<。)=/(。)=。("幺)

(T

P(a<X<b)=F(b)-F(a)

P(X>a)=l-P(X<a)

福中敢学知钦点总储

1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无

序性二

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集0的特殊情况。

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={xlx?-2x-3=。},B={xlax=1}

若BuA,则实数a的值构成的集合为

（答:（-1，0,I}）

3.注意下列性质：

（1）集合{a1,a?,....,aj的所有子集的个数是2"；

（2）若AGB=AP|B=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

「（AIIB）=（CuA）n（CuB）,Cu（ADB）=（C.AjUfC.B）

4.你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

如：已知关于X的不等式学兰<0的解集为M,若3eM且5任M,求实数a

x-a

的取值范围。

a•3—5

（V3eM,J32\°

=>ae1,|jU（9,25））

a•5—5

V5^M,・・・「---->0

52-a

5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（v）,“且”（A）和

“非”㈠.

若pAq为真，当且仅当p、q均为真

若pvq为真，当且仅当p、q至少有一个为真

若「p为真，当且仅当p为假

6.命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题。）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7.对映射的概念了解吗？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B

中与之对应元素的唯一性，哪儿种对应能构成映射？

(一对一，多对一，允许B中有元素无原象。)

8.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

(定义域、对应法则、值域)

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数丫=四』的定义域是

lg(x-3)

(答：(0,2)U(2,3)U(3,4))

10.如何求复合函数的定义域？

如：函数f(x)的定义域是[a,b],b>-a>0,则函数F(x)=f(x)+f(—x)的定

义域是o

(答：[a,-a])

11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗?

如：f(Jx+1)=e*+x,求f(x).

令1=Jx+1,贝UtNO

...x=t--1

.,.f(t)=e,2-1+t2-l

**.f(x)=ex2_|+x2-1(x>0)

12.反函数存在的条件是什么？

(---对应函数)

求反函数的步骤掌握了吗？

(①反解x；②互换x、y；③注明定义域)

14-X(X>0)

如：求函数f(x)=,)的反函数

-x2(X<0)

X-1(x>l))

(答:L(X)=<

-V-x(x<。)

13.反函数的性质有哪些?

①互为反函数的图象关于直线y=x对称;

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

③设y=f(x)的定义域为A,值域为C,aeA,beC,则f(a)=b=L(b)=a

/.f-1[f(a)]=—(b)=a,f[f'(b)]=f(a)=b

14.如何用定义证明函数的单调性？

(取值、作差、判正负)

如何判断复合函数的单调性？

(y=f(u),u=(p(x),^Jy=f[(p(x)]

(外层)(内层)

当内、外层函数单调性相同时f[(p(x)]为增函数，否则为减函数。)

如：求y=log,(-x2+2x)的单调区间

2

(设u=-x2+2x,由u>0则0<x<2

且u=-(x-l)2+1,如图：

当xw(0,1]时，uT,又Ay

2

当XE[1,2)时，uJ,又log]uJ,AyT

15.如何利用导数判断函数的单调性?

在区间(a,b)内，若总有”x)20则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于

零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f，(x)WO呢？

如：已知a>0,函数f(x)=-ax在［1,+8)上是单调增函数，则a的最大

值是()

A.OB.1C.2D.3

则XW一A或X>4

由已知f(已在［1,+8)上为增函数,贝哈VI，即aW3

二.a的最大值为3)

16.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？

(f(x)定义域关于原点对称)

若f(-x)=-f(x)总成立of(x)为奇函数O函数图象关于原点对称

若f(-x)=f(x)总成立of(x)为偶函数=函数图象关于y轴对称

注意如下结论：

(1)在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是

偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0。

如：若=为奇函数’则实数a

(：f(x)为奇函数，xeR,又OeR,Af(0)=0

a•20+a—2.八

H即I1----------=0,..a=1)

2°+1

又如:f(x)为定义在(-1,1)上的奇函数,当X€(0,1)时，f(x)=-------,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2f

(令X£(—1,0),则一xw(0,1),f(-x)=—~-

又f(x)为奇函数，，f(x)==一一J

4-x+11+4、

2Xxe(-l,0)

▽4、+lX=0、

乂f(0)—0f・・f(x)—〈)

------XG(0,1)

14'+1v'

17.你熟悉周期函数的定义吗？

(若存在实数T(T/0),在定义域内总有f(x+T)=f(x),则f(x)为周期

函数，T是一个周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),则

(答：f(x)是周期函数,T=2a为f(x)的一个周期)

又如：若f(x)图象有两条对称轴x=a,x=b(=)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

则f(x)是周期函数，2|a-b|为一个周期

如：

18.你掌握常用的图象变换了吗?

f(x)与f(-X)的图象关于例_对称

f(x)与-f(x)的图象关于X轴对称

f(x)与-f(-x)的图象关于原点对称

f(x)与fT(x)的图象关于直线y=x对称

f(x)与f(2a-x)的图象关于直线x=a对称

f(x)与-f(2a-x)的图