新高考地区高一数学期中测试卷02(人教A版2019)(测试范围：必修第二册第六、七、八章)(解析版)

-2021学年度高一下学期期中复习卷02（本卷满分150分，考试时间120分钟）班级：姓名：得分：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，则，解得或，又，∴，∴，故选D。2．下列说法中错误的是()。A、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D、斜二测坐标系取的角可能是【答案】B【解析】平行于轴的线段在直观图中变为原来的一半，故B错误，由斜二测画法的基本要求可知A、C、D正确，故选B。3．在下列命题中，正确命题的个数为()。①两个复数不能比较大小；②若是纯虚数，则实数；③是虚数的一个充要条件是；④若、是两个相等的实数，则是纯虚数；⑤的一个充要条件是；⑥的充要条件是。A、B、C、D、【答案】B【解析】复数为实数时，可以比较大小，①错，时，，②错，为实数时，也有，③错，时，，④错，⑤⑥正确，故选B4．设、是两个不同的平面，则的充要条件是()。A、平面内任意一条直线与平面垂直B、平面、都垂直于同一条直线C、平面、都垂直于同一平面D、平面内存在一条直线与平面垂直【答案】D【解析】若，则平面内存在直线与平面不垂直，选项A不正确；若平面、都垂直于同一条直线，则平面与平行，选项B不正确；若平面、都垂直于同一平面，则平面、可以平行，也可以相交，选项C不正确；若平面内存在一条直线与平面垂直，则根据面面垂直的判定定理，可知，若，则由面面垂直的性质定理知，平面内垂直于两个平面的交线的直线一定垂直于平面，故选项D正确；故选D。5．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】设，，，则长方体的体积，又，且三棱锥的高为，∴，则剩余部分的几何体体积，则，故选A。6．四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】将四面体置于一个长方体中，∴四面体的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为、、，则根据图形可有，则外接球的直径，∴，则球的表面积为，故选C。7．如图，在中，，D是边上一点，，则的长为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】由余弦定理可得得到,故选：B8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即，其中分别为内角A、B、C的对边.若，，则面积S的最大值为（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，则sinC＝（sinBcosC+cosBsinC）＝sin（B+C）＝sinA，由正弦定理得c＝a，∵b＝2，△ABC的面积＝，∴当即a＝2时，△ABC的面积S有最大值为．故选：C．【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用以及二次函数求最值问题，考查了转化思想，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．设为虚数单位，则下列命题错误的是()。A、，复数是纯虚数B、在复平面内对应的点位于第三象限C、若复数，则存在复数，使得D、，方程无解【答案】ABD【解析】A选项，只有当时，复数是纯虚数，错，B选项，，对应的点位于第一象限，错，C选项，若复数，则存在复数，使得，对，D选项，，方程成立，错，故选ABD。10．如图所示，在正方体中，、分别是、的中点，则图中阴影部分在正方体的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】A选项为在上的投影，C选项为在上的投影。11．设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题是真命题的有()。A、B、C、不与垂直D、【答案】BD【解析】A选项，平面向量的数量积不满足结合律，故A假，B选项，由向量的减法运算可知、、恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故B真，C选项，∵，∴与垂直，故C假，D选项，，成立，故D真，故选BD。12．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则下列结论正确的是（）A.A1D⊥AFB.三棱锥A﹣BCF外接球的表面积为9πC.点C到平面AEF的距离为D.平面AEF截正方体所得的截面面积为【答案】BCD【解析】【分析】取中点，连接，用反证法证明与不可能垂直，判断A，证明的中点就是三棱锥外接球球心，求得球面积，判断B，利用等体积法求得点C到平面AEF的距离判断C，作出完整截面并求出面积判断D．【详解】A．如图，取中点，连接，由于是中点，∴，而平面，∴平面，平面，∴，若，由于，∴平面，又平面，∴，但正方形中，是中点，不可能有，A错；B．设与交于点，则是的外心，取中点，连接，则，∴平面，∴是三棱锥外接球的球心，，球表面积为，B正确；C．，，中，，，，则，，，设到平面的距离为，则得，，C正确；D．连接，易证得，平面AEF截正方体所得的截面即为等腰梯形，，，，梯形的高为，，D正确．故选：BCD．【点睛】本题考查立体几何中命题的真假，考查线线垂直的判断，三棱锥的外接球问题，等体积法求点到平面的距离，考查正方体的截面等知识，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，分析并解决问题的能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在中，，，，则的外接圆半径为___________。【答案】【解析】由余弦定理知：，∵，∴。所以的外接圆半径。14．已知在正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面直线与所成角的余弦值为。【答案】【解析】设正四面体的棱长为，则，高，设点在底面内的射影是，则，∴即为所求异面直线与所成角，则。15．已知非零向量、满足，，且与的夹角为，则的取值范围是。【答案】【解析】令，则，与的夹角为，∴，又，∴，∴的取值范围是。16．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为。【答案】【解析】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，∴，设底面圆的半径为，则有，解得，∴这个圆锥的高为，这个圆锥的体积为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知复数，在复平面内对应的点分别为，.（1）若，求的值；（2）复数对应的点在二、四象限的角平分线上，求的值.18．（本小题满分12分）已知三个点，，。(1)求证：；(2)若四边形为矩形，求点的坐标以及矩形两对角线所夹锐角的余弦值。【解析】(1)证明：∵，，，∴，，2分∵，∴，即；4分(2)解：∵，四边形为矩形，∴，5分设点坐标为，则，6分∴，解得，∴点坐标为，7分从而，，且，，，9分设与的夹角为，则，11分∴矩形的两条对角线所夹锐角的余弦值为。12分19．（12分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，．（1）求角B的大小；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得解；（2）由余弦定理可得，进而可得，再由三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由正弦定理，得．由，得．由，得．所以．又，所以．又，得．（2）由余弦定理及，得．即．将代入，解得．所以．20．（本小题满分12分）的内角A，B，C的对边分别为，已知.(I)求B；(II)若的周长为的面积.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(Ⅰ),，,，.,.(Ⅱ)由余弦定理得，，，，.21．（本小题满分12分）如图所示的空间几何体中，平面平面，，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上。(1)求证：平面；(2)求多面体的体积。【解析】(1)证明：由题意知，、都是边长为的等边三角形，取中点，连接、，则，，∵平面平面，∴平面，2分作平面，则，根据题意点落在上，∴，易求得，∴四边形是平行四边形，，4分∵平面，平面，∴平面；5分(2)解：∵平面平面，，∴平面，又∵，∴平面，7分∴三棱锥体积，9分又三棱锥体积，11分∴多面体体积为。12分22．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，为边上的中点。(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求三棱锥的体积。【解析】(1)如图，取的中点，连接、，∵为中点，∴，且，∵，，∴且，∴四边形是平行四边形，