（圆梦高考数学）专题3.7 函数的图象及零点问题（含答案及解析）

专题3.7函数的图象及零点问题题型一函数图象的识别题型二函数图象的变换题型三利用函数图象解决不等式题型四确定零点所在区间题型五零点存在定理判断零点个数题型六利用图象交点的个数判断零点个数题型七根据函数零点所在区间求参数的取值范围题型八根据函数零点个数求参数的取值范围题型九求零点的和题型十镶嵌函数的零点问题题型一 函数图象的识别例1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）（多选）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（

）A． B．C． D．例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数的大致图象是（

）．A． B．C． D．练习1．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数，则的大致图像为（

）A． B．C． D．练习2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．练习3．（2022·全国·高三专题练习）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记.将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（）A． B．C． D．练习4．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．练习5．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．题型二 函数图象的变换例3．（2022·全国·高三专题练习）把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为___________例4．（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3).练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则k的取值范围为____________．练习7．（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象(1)(2)练习8．（2023秋·四川资阳·高三校考期末）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.练习9．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．4练习10．（2023秋·重庆·高三校联考期末）函数若,且,则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三 利用函数图象解决不等式例5．设奇函数的定义域为，且，若当时，f(x)的图像如图，则不等式的解是（

）A． B．C． D．例6．（2023·江西·高一统考期中）已知函数，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．练习11．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）研究表明在受噪声干扰的信道中，在信通带宽不变时，最大信息传递速率C（单位：）取决于平均信号功率（单位：）与平均噪声功率（单位：）.在一定条件下，当一定时，随增大而减小；当一定时，随增大而增大.下图描述了与及的关系，则下列说法正确的是（

）A．时，B．时，C．时，D．时，练习12．（2023·北京·高一统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示．(1)求的值；(2)补全的图像，并写出不等式的解集．练习13．（2023·江西赣州·统考二模）若，则（

）A． B． C． D．练习14．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中统考期末）已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.练习15．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是________.题型四 确定零点所在区间例7．（2021秋·高三课时练习）函数的零点所在的区间为(

)A． B． C． D．例8．（2023秋·吉林·高三长春市第二实验中学校联考期末）已知函数的零点在区间内，，则______．练习16．（2021秋·高三课时练习）函数的零点所在的区间为(

)A． B． C． D．练习17．（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（

）A． B． C． D．练习18．（2023春·天津河北·高二统考期中）设函数，则（

）A．在区间内有零点，在内无零点B．在区间，内均有零点C．在区间，内均无零点D．在区间，内均有零点练习19．（2023秋·安徽马鞍山·高三统考期末）已知函数，，的零点分别为，则（

）A． B．C． D．练习20．（2023秋·云南·高三校联考期末）设方程，，的实数根分别为，，则（

）A． B．C． D．题型五 零点存在定理判断零点个数例9．（2022秋·高一课时练习）已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：函数在区间上的零点至少有（

）x123456723911A．个 B．个 C．个 D．个例10．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）（多选）已知为上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是（

）A． B．有3个零点C． D．练习21．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．6练习22．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，y对应表：x01232.50.80.7则函数在区间上的零点至少有______个．练习23．（2022秋·广西南宁·高二统考开学考试）已知函数，则方程在内的实数解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3练习24．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（

）A．， B．， C．， D．，练习25．（2022秋·陕西宝鸡·高三统考期末）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：12345610020-58-60-200则函数在区间上的零点至少有___________个．题型六 利用图象交点的个数判断零点个数例11．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（

）A． B． C． D．例12．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程有__________个根.练习26．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3练习27．（2023春·江西赣州·高三校考期中）函数零点的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4练习28．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（

）A．3 B．4C．5 D．6练习29．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）已知函数是上的偶函数，且满足，当时，，函数，则关于的方程在区间上的实数根的个数为（

）A．2022 B．2021 C．2020 D．2023练习30．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）（多选）设函数，则（

）A．B．当时，C．方程只有一个实数根D．方程有个不等的实数根题型七 根据函数零点所在区间求参数的取值范围例13．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知幂函数在上单调递增．(1)求的解析式；(2)若函数在上有零点，求的取值范围．例14．（2023春·上海青浦·高三统考开学考试）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．练习31．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）已知函数，若有两个零点，且在上单调递增，则实数m的取值范围为______.练习32．（2021秋·高三课时练习）若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是____.练习33．（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________.练习34．（2022秋·北京·高二北京市第五中学校考期末）设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是__________.练习35．（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或题型八 根据函数零点个数求参数的取值范围例15．（2023春·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期中）（多选）已知函数有两个零点，则以下结论中正确的是（

）A． B．若，则C． D．函数有四个零点例16．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）已知，若有三个不同的解，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．练习36．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．练习37．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件练习38．（2023·四川成都·校考三模）已知函数，，若存在2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有3个不同的零点分别为，且成等比数列，则实数a的值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14练习40．（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（多选）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的值可以为（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型九 求零点的和例17．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.例18．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．练习41．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13练习42．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的函数的所有零点之和为________．（结果用含a的代数式表示）练习43．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期末）设方程的实根，其中k为正整数，则所有实根的和为______．练习44．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.练习45．（2023秋·福建宁德·高三统考期末）若，则的值域为______，关于x的方程恰有4个不同的解a，b，c，d，则的取值范围为______.题型十 镶嵌函数的零点问题例19．（2023春·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若有6个不同的零点分别为，，，，，，且，，若，则m的取值范围是______；若，则的取值范围是______；例20．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）已知函数，若关于的函数有6个不同的零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．练习46．（2023·全国·高三专题练习）若函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6练习47．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．练习48．（2021秋·上海徐汇·高三南洋中学校考开学考试）设定义域为的函数则关于的函数的零点的个数为__.练习49．（2023秋·福建厦门·高三统考期末）已知函数，则方程的实数解的个数至多是（

）A．5 B．6 C．7 D．8练习50．（2023·天津·校联考二模）已知函数，，若函数至少有4个不同的零点，则实数的取值范围是______.

专题3.7函数的图象及零点问题题型一函数图象的识别题型二函数图象的变换题型三利用函数图象解决不等式题型四确定零点所在区间题型五零点存在定理判断零点个数题型六利用图象交点的个数判断零点个数题型七根据函数零点所在区间求参数的取值范围题型八根据函数零点个数求参数的取值范围题型九求零点的和题型十镶嵌函数的零点问题题型一 函数图象的识别例1．（2022秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）（多选）如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下列对应的图象表示该容器中水面的高度h与时间t之间的关系，其中正确的（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢，反之变化的快，再由图象越平缓就变化越慢，图象陡就变化快来判断.【详解】对于A，易知水面高度的增加是均匀的，所以A不正确；对于B，h随t的增大而增大，且增大的速度越来越慢，所以B正确；对于C，h随t的增大而增大，增大的速度先越来越慢，后越来越快，所以C正确；对于D，h随t的增大而增大，增大的速度先越来越快，后越来越慢，所以D正确.故选：BCD.例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）函数的大致图象是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性公式运算发现函数为非奇非偶函数，排除A；易知当时，，故排除C；观察B，D选项，发现它们的主要区别是当时，的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验，即可得出结果.【详解】解：易知函数的定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，排除A；易知当时，，故排除C；因为，，所以，所以排除D．故选：B．练习1．（2023春·北京·高二北京市广渠门中学校考阶段练习）已知函数，则的大致图像为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项.【详解】，，，排除选项ABD.故选：C.练习2．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像大致为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用特殊值法逐项进行排除即可求解.【详解】由，排除A，D．当时，，所以，排除C．故选：B．练习3．（2022·全国·高三专题练习）如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记.将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出分段函数的解析式，根据函数图像，利用排除法进行求解即可.【详解】由已知得,当点P在BC边上运动时,即时,；当点P在CD边上运动时,即时,,当时,；当点P在AD边上运动时,即时,.从点P的运动过程可以看出,轨边关于直线对称,且,且轨迹非线型，对照四个选项，排除A、C、D，只有B符合.故选：B.练习4．（2023春·贵州黔东南·高二凯里一中校考阶段练习）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图像，则该函数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用赋值法，结合图形和排除法即可判断ABC；利用导数和零点的存在性定理研究函数的单调性，结合图形即可判断D.【详解】A：设，由得，则，结合图形，不符合题意，故A错误；B：设，则，结合图形，不符合题意，故B错误；C：设，当时，，，所以，即，当且仅当时等号成立，结合图形，不符合题意，故C错误；D：设，则，设，则，所以函数在上单调递减，且，故存在，使得，所以当时，即，当时，即，所以函数在上单调递增，在上单调递减，结合图形，符合题意，故D正确.故选：D.练习5．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，有，可得，所以，函数的定义域为，，，所以，函数为偶函数，排除AB选项；当时，，则，此时，排除D选项.故选：C.题型二 函数图象的变换例3．（2022·全国·高三专题练习）把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为___________【答案】【分析】根据二次函数的图象平移规律可得答案.【详解】把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：.故答案为：.例4．（2023·全国·高三专题练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3).【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象；（2）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象；（3）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象.(1)解：作函数的图象关于轴对称的图象，得到函数的图象，再将所得图象向上平移个单位，可得函数的图象，如下图所示：(2)解：因为，所以可以先将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，再作所得图象关于轴对称的图象，得函数的图象，最后将所得图象向下平移个单位，得函数的图象，即为函数的图象，如下图所示：(3)解：作函数的图象关于轴对称的图象，得函数的图象，再把所得图象在轴下方的部分翻折到轴上方，可得到函数的图象，如下图所示：练习6．（2022·全国·高三专题练习）若函数在上单调递减，则k的取值范围为____________．【答案】【分析】先画出函数，再根据函数在上单调递减求解.【详解】解：因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示：由图象知，其在上单调递减，所以k的取值范围是．故答案为：练习7．（2022秋·甘肃白银·高三校考阶段练习）作出下列函数图象(1)(2)【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【分析】（1）利用函数奇偶性和指数函数的图像即可画出函数图像；（2）根据函数图像的平移和翻折结合对数函数图像即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以函数为偶函数，关于轴对称，因此只需要画时的函数图形即可，，再利用对称性即可得解.（2）将函数的图象向左平移1个单位,再将轴下方的部分沿轴翻折上去,即可得到函数的图象,如图所示.练习8．（2023秋·四川资阳·高三校考期末）已知函数，若方程恰好有三个实数根，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】作出函数的图象，原题可转化为函数与的图象有三个交点时，求数的取值范围的问题，数形结合即可得出.【详解】函数的图象如图所示，因为恰好有三个实数根，即函数与的图象有三个交点，由图象可知，实数的取值范围是.故答案为：.练习9．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（

）A． B． C． D．4【答案】D【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，再利用函数平移变换法则求出函数的解析式，进而可得答案.【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，即，故.故选:D.练习10．（2023秋·重庆·高三校联考期末）函数若,且,则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据解析式画出图象,由判断的范围,再由得出的关系,由,及的范围,将化为关于的式子,将上述等式代入中得到关于的二次函数,根据的范围求值域即可.【详解】解:由题知,所以,画出图象如下:由图象可知:,且有即,因为,所以,即,所以,因为,所以,因为,所以,由可得,即,所以,即.故选:B题型三 利用函数图象解决不等式例5．设奇函数的定义域为，且，若当时，f(x)的图像如图，则不等式的解是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇函数的性质可知，图像关于原点对称，利用图像法解不等式，即可得答案．【详解】当时，由图像可得：的解集为；当时，则.因为函数为奇函数，所以.所以可化为：，即，对照图像可得：，解得：综上所述：的解集为.故选：D．例6．（2023·江西·高一统考期中）已知函数，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作出函数图象，数形结合即可得出结论.【详解】由题知在同一坐标系下画出，图象如下所示：由图可知的解集为.故选：A.练习11．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）研究表明在受噪声干扰的信道中，在信通带宽不变时，最大信息传递速率C（单位：）取决于平均信号功率（单位：）与平均噪声功率（单位：）.在一定条件下，当一定时，随增大而减小；当一定时，随增大而增大.下图描述了与及的关系，则下列说法正确的是（

）A．时，B．时，C．时，D．时，【答案】B【分析】根据选项中限定的横纵坐标的关系，结合图中的点，验证点是否符合选项的结论.【详解】如下图：对于A，由时，图中存在点满足，故A错误；对于B，由时，图中所有点满足，故B正确；对于C，由时，图中存在点满足，故C错误；对于D，由时，当时，取，，此时，故D错误.故选：B.练习12．（2023·北京·高一统考学业考试）已知是定义在区间上的偶函数，其部分图像如图所示．(1)求的值；(2)补全的图像，并写出不等式的解集．【答案】(1)1(2)作图见解析，【分析】（1）根据偶函数的性质计算；（2）根据偶函数的性质以及函数图像计算.【详解】（1）由图可知，，因为是偶函数，所以；（2）的图像如上图，不等式的解集为；综上，，的解集为.练习13．（2023·江西赣州·统考二模）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，得到，画出图象，数形结合得到答案.【详解】令，则，，其中，在同一坐标系内画出，故故选：D练习14．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中统考期末）已知是定义在上的奇函数，且对任意且，都有，若，则不等式的解集为________.【答案】【分析】根据函数为奇函数又已知得函数在上单调递减，可得函数在上单调递减，又，可得函数大致图象，结合图象解不等式即可得解集.【详解】解：已知是定义在上的奇函数，则，且又对任意且，都有，不妨设，则，所以，即，所以函数在上单调递减，则函数在上单调递减，又，所以，则函数的大致图象如下图：根据图象可得不等式的解集为：.故答案为：.练习15．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则m的取值范围是________.【答案】【分析】由，得，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围．【详解】因为，所以，因为时，，当，时，，；观察图象可得，当，时，不存在，，当时，，观察图象可得，不存在，满足，所以，时，，；当时，即时，，令，可得或，观察图象可得，若对任意，都有，则．所以m的取值范围是故答案为．题型四 确定零点所在区间例7．（2021秋·高三课时练习）函数的零点所在的区间为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性，结合，由零点的存在性定理，即可求解.【详解】由函数在上单调递增，又由，即，所以根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：D.例8．（2023秋·吉林·高三长春市第二实验中学校联考期末）已知函数的零点在区间内，，则______．【答案】【分析】利用零点存在定理可得答案.【详解】明显函数在上单调递增，且为连续函数，又，，由零点存在定理得函数的零点在区间内，故.故答案为：.练习16．（2021秋·高三课时练习）函数的零点所在的区间为(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为函数在上是连续的曲线，且，，所以，函数的零点所在的区间为.故选：B.练习17．（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程在内的近似解，已知判断，方程的根应落在区间（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由零点存在定理及的单调性可得在上有唯一零点，从而得到方程的根应落在上.【详解】令，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，，所以在上有唯一零点，即，故，所以方程的根落在区间上，故选：B.练习18．（2023春·天津河北·高二统考期中）设函数，则（

）A．在区间内有零点，在内无零点B．在区间，内均有零点C．在区间，内均无零点D．在区间，内均有零点【答案】D【分析】利用导函数讨论函数的单调性，并根据零点的存在性定理判断即可.【详解】函数的定义域为，，令，解得，令，解得，所以函数在单调递减，单调递增，且，所以函数在区间，内均有零点，,则在区间无零点，故选:D.练习19．（2023秋·安徽马鞍山·高三统考期末）已知函数，，的零点分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，得；根据函数的单调性及零点存在定理可得，，即可得答案.【详解】解：令，得，即；因为，易知在上单调递增，又因为，所以；，易知在上单调递增，又因为，，所以；所以.故选：B.练习20．（2023秋·云南·高三校联考期末）设方程，，的实数根分别为，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用零点存在性定理分别求出根的范围即可判断．【详解】构建，可知在定义域内单调递增，且，所以的实数根，构建，可知在定义域内单调递增，且，所以的实数根，构建，可知在定义域内单调递增，且，所以的实数根，.故选：A.题型五 零点存在定理判断零点个数例9．（2022秋·高一课时练习）已知函数的图像是连续的，根据如下对应值表：函数在区间上的零点至少有（

）x123456723911A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据零点存在定理判断，即可得答案.【详解】由表中数据可知，故在内函数至少各有一个零点，故选：C例10．（安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题）（多选）已知为上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是（

）A． B．有3个零点C． D．【答案】AB【分析】根据奇函数，结合单调性可以判断A,C,D选项，根据零点存在定理判断零点个数即可判断B选项.【详解】由已知函数在上单调递增，在上也单调递增，，由，得.对于A，因为在上单调递增，所以，A正确；对于B，在上单调递增，且，，故在上有且只有一个，使，同理在上单调递增，且，，故在上有且只有一个，使，又，所以有3个零点，B正确；对于C，因为在上单调递增，，C错误；对于D，，，易知与无法比较大小，D不一定正确.故选：AB.练习21．（2022秋·上海杨浦·高一上海市杨浦高级中学校考期末）已知函数在区间上的图像是一段连续的曲线，且有如下的对应值表：设函数在区间上零点的个数为，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】B【分析】根据零点的存在定理，判断区间内存在零点.【详解】由零点存在性定理，在上至少各有一个零点，在区间上零点至少3个.故选:.B练习22．（2023·高三课时练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，y对应表：x01232.50.80.7则函数在区间上的零点至少有______个．【答案】3【分析】利用零点存在定理去判断函数在区间上的零点个数即可解决【详解】函数的图象是连续不断的，由，可得函数在区间上至少有1个零点；由，可得函数在区间上至少有1个零点；由，可得函数在区间上至少有1个零点.综上，函数在区间上的零点至少有3个故答案为：3练习23．（2022秋·广西南宁·高二统考开学考试）已知函数，则方程在内的实数解的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由变形，可设，则，分别在与用定义法求出的单调性，结合零点存在定理判断即可【详解】由得：，令，则，设，则，当时，，则，故在内单调递减，又，故在内只有一个零点；当时，，，故在内单调递增，又，故在内只有一个零点；综上，在内有两个零点，即方程在内有两个实数解.故选：C练习24．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】ACD【分析】将的值代入解析式，利用导数分析函数的单调性与极值，结合图象及零点存在性定理，判断零点个数.【详解】由已知可得的定义域为.对于A、当时，，则.当或时，;当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值.因为且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于B、当时，，则.当或时，;当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值.又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有两个交点，故此时有且只有两个零点，故该选项不合题意.对于C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于D、当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.故选:ACD.练习25．（2022秋·陕西宝鸡·高三统考期末）已知函数的图像是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：12345610020-58-60-200则函数在区间上的零点至少有___________个．【答案】3【分析】计算，，，根据零点存在定理得到答案.【详解】根据表格知：，，，故函数至少在区间上有1个零点，故至少有3个零点.故答案为：题型六 利用图象交点的个数判断零点个数例11．（2023春·北京西城·高三北京市第一六一中学校考阶段练习）函数的零点个数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果.【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示：由图可知，函数与的图象的交点个数为，故函数的零点个数为.故选：C.例12．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）方程有__________个根.【答案】【分析】在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后可得答案【详解】与在同一直角坐标系中的图像如下：所以方程有个根，故答案为：练习26．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知函数，若实数，则函数的零点个数为（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【答案】D【分析】转化为与的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，画出的图象与，的图象，如下：故函数的零点个数为2或3.故选：D练习27．（2023春·江西赣州·高三校考期中）函数零点的个数（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】画出函数和的图象，根据函数图象得到答案.【详解】画出函数和的图象，其中，如图,由图可知，当时，，两函数图象没有交点；当时，两函数图象有3个交点；当时，，两函数图象没有交点，综上，函数和的图象有3个交点，所以，函数零点的个数为3．故选：C.练习28．（2023秋·云南德宏·高三统考期末）已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（

）A．3 B．4C．5 D．6【答案】C【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数．【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数，因为函数的定义域为，所以当时，函数与的图象没有交点，当时，，所以当时，．又函数的周期为2，所以．当时，，所以当时，函数与的图象没有交点，作函数和函数在区间上的图象，观察图象可得两函数图象有5个交点,所以函数的零点个数为5.故选：C.练习29．（2022春·山西大同·高二山西省浑源中学校考期中）已知函数是上的偶函数，且满足，当时，，函数，则关于的方程在区间上的实数根的个数为（

）A．2022 B．2021 C．2020 D．2023【答案】A【分析】由，可得，进而得到是周期为2的周期函数，结合图象，可知与在上有2个交点，进而得到在上有个交点，进而求解.【详解】由函数满足，可得，所以是周期为2的周期函数，作出的部分图象如图所示，则关于的方程在区间上的实数根的个数，即的图象在上的交点个数，由图可知与在上有2个交点，在上有个交点，所以与在上的交点的个数为2022个.故选：A.练习30．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）（多选）设函数，则（

）A．B．当时，C．方程只有一个实数根D．方程有个不等的实数根【答案】BCD【分析】根据解析式可推导求得，知A错误；利用可求得时的解析式，知B正确；当可知是的实数根，当时，结合周期性和的解析式可知无解，由此可知C正确；作出与的图象，由交点个数可确定方程根的个数，知D正确.【详解】对于A，，A错误；对于B，当时，，，B正确；对于C，当时，令，解得：；由B知：当时，，由解析式知：当时，的周期为，当时，；综上所述：方程只有一个实数根，C正确；对于D，当时，，则当时，恒成立；作出与图象如下图所示，结合图象可知：与共有个交点，方程有个不等的实数根，D正确.故选：BCD.题型七 根据函数零点所在区间求参数的取值范围例13．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知幂函数在上单调递增．(1)求的解析式；(2)若函数在上有零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数定义和单调性可构造方程组求得，从而得到；（2）根据幂函数单调性和零点存在定理可直接构造不等式求得结果.【详解】（1）为幂函数，且在上单调递增，，解得：，.（2）由（1）得：，在上连续且单调递增，，解得：，即的取值范围为.例14．（2023春·上海青浦·高三统考开学考试）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】首先将题意转化为函数与在有交点，即可得到答案.【详解】方程在上有解，等价于函数与在有交点，因为，所以，所以，解得.故答案为：练习31．（2023秋·广东梅州·高三统考期末）已知函数，若有两个零点，且在上单调递增，则实数m的取值范围为______.【答案】【分析】根据函数有两个零点得出的范围，再根据单调性求出范围，取交集可得答案.【详解】因为有两个零点，所以，解得或；因为在上单调递增，所以；综上可得实数m的取值范围为.故答案为：.练习32．（2021秋·高三课时练习）若函数的零点在区间(1,+∞)上，则实数a的取值范围是____.【答案】【分析】根据函数的单调性结合条件即得.【详解】由题可知函数在定义域上单调递增，又函数的零点在区间(1,+∞)上，∴，即.故答案为：.练习33．（2023春·北京大兴·高二校考阶段练习）若方程的一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是________.【答案】【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得.【详解】∵方程的一个根小于1，另一个根大于1，令，则，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.练习34．（2022秋·北京·高二北京市第五中学校考期末）设常数，函数，若函数在时有零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【分析】令，方程转化为于在时有解，结合二次函数的性质可求.【详解】依题意有在时有实数根，当时显然不成立，故，设，由得，方程等价于在时有解，结合二次函数的性质可知在上单调递增，值域为，所以，解得则实数的取值范围是·故答案为：练习35．（2022秋·广东惠州·高三校考阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】B【分析】根据方程的两根都大于2，分析的图象特征列出不等式组求解即可.【详解】方程的两根都大于2，则二次函数的图象与轴的两个交点都在的右侧，根据图象得：方程的判别式；当时函数值；函数对称轴.即，解得.故选：B.题型八 根据函数零点个数求参数的取值范围例15．（2023春·浙江杭州·高三杭州市长河高级中学校考期中）（多选）已知函数有两个零点，则以下结论中正确的是（

）A． B．若，则C． D．函数有四个零点【答案】BC【分析】利用一元二次方程根的判别式判断A；利用韦达定理计算判断B；利用二次函数对称性判断C；举例判断D作答.【详解】函数对应的二次方程根的判别式，，A错误；由韦达定理知，，显然，则，B正确；因为图象的对称轴为直线，则点，关于该直线对称，C正确；取时，方程的根为，此时只有两个零点，D错误．故选：BC例16．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学期中）已知，若有三个不同的解，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】探讨函数的性质，求出的取值范围，再结合方程解的意义把表示成的函数，求出函数的值域作答.【详解】当时，在上单调递增，函数的取值集合为，当时，，，当时，，令，显然函数在上单调递减，在上单调递增，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，于是当时，函数的取值集合为，且当时，恒有，由有三个不同的解，且，得，且，是方程的不等实根，由得：，则有，而因此，由对勾函数知函数在上单调递减，即有，所以的取值范围是.故选：D练习36．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知函数，若有三个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可知时，函数至多有一个零点，进而可得时，要使得有两个零点，然后根据二次函数的性质结合条件即得.【详解】当时，单调递增且，此时至多有一个零点，若有三个零点，则时，函数有两个零点；当时，，故；当时，要使有两个零点，则，所以，又，所以实数m的取值范围是.故选：C.练习37．（2023·四川成都·石室中学校考三模）已知，则“”是“有两个不同的零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据函数有2个零点，求参数的取值范围，再判断充分，必要条件.【详解】若有两个不同的零点，则，解得或，所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件.故选：A练习38．（2023·四川成都·校考三模）已知函数，，若存在2个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】题目转化为函数的图像与直线有2个交点，画出图像，根据图像知，解得答案.【详解】存在2个零点，故函数的图像与直线有2个交点，画出函数图像，如图，平移直线，可以看出当且仅当，即时，直线与函数的图像有2个交点.故选：D练习39．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有3个不同的零点分别为，且成等比数列，则实数a的值为（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】利用三次函数的性质及等比中项，结合函数值的定义即可求解.【详解】设，则常数项为：，因为成等比数列，所以，所以，即，解得，把代入，所以，解得．故选：D.练习40．（2023春·安徽·高二巢湖市第一中学校联考期中）（多选）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的值可以为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】CD【分析】将问题转化为方程恰有3个实数根，再讨论时可得有1个根，进而当时，方程有2个实数根，再构造函数，求导分析单调性与最值即可.【详解】令，解得，故问题转化为方程恰有3个实数根.当时，令，解得，故当时，方程有2个实数根.令，即，显然不是该方程的根，.令，则，故当时，，当时，，故当时，有极小值6，而时，，当，且时，，故实数的取值范围为.故选：CD题型九 求零点的和例17．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______.【答案】18【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和.【详解】∵满足，则关于直线对称，又∵是定义在上的奇函数，则，即，则，∴是以4为周期的周期函数，对，可得，则，∴关于点对称，令，则，可知：与均关于点对称，如图所示：设与的交点横坐标依次为，则，故函数的所有零点之和为.故答案为：18.例18．（2023秋·安徽芜湖·高三统考期末）定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．【答案】【分析】画出函数与图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和.【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标，当时，，函数与在上图象如图所示：设与图象交点的横坐标分别为，由对称性可知，，.由，结合奇偶性得出，即解得，即.故答案为：练习41．（2023秋·四川凉山·高三统考期末）函数，则函数的所有零点之和为（

）A．0 B．3 C．10 D．13【答案】D【分析】令，根据，求得或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解.【详解】令，由得或，所以或，当时，或，当时，则或，解得，所以函数的所有零点之和为.故选：D.练习42．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末）定义在R上的奇函数，当时，，则关于x的函数的所有零点之和为________．（结果用含a的代数式表示）【答案】【分析】利用奇函数的性质画出的图象，函数的所有零点之和可以转化与图象的交点的横坐标之和，利用函数的对称性和对数函数的运算性质，求解即可.【详解】由奇函数的性质，画出的图象如下图，令可得函数的所有零点之和可以转化与图象的交点的横坐标之和，因为，所以，由图可知，，当时，，所以当时，，，又因为是奇函数，所以当时，.所以，解得：，所以函数的所有零点之和为：.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键点是先根据解析式作出函数的图象，函数的零点转化为函数与的交点，由对称性可得交点之和.练习43．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期末）设方程的实根，其中k为正整数，则所有实根的和为______．【答案】4【分析】画出的图象，由图象的特征可求.【详解】令，，所以函数图象关于轴对称，令，则的图象关于直线对称，因为方程的实根，可以看作函数的图象与直线的交点横坐标.由图可知方程有4个实根，且关于直线对称.所以.故答案为：4.练习44．（2023·江西宜春·统考一模）已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________.【答案】4044【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作