九年级数学上册专项复习：一元二次方程的应用综合（解析版）

专题09《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类

专题简介：本份资料专攻《一元二次方程的应用综合》中“与一元二次方程有关的动点问题”、“一元二

次方程与一次函数的综合”、“与一元二次方程有关的阅读探究问题”等重点题型；适用于老师给学生作

复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点L与一元二次方程有关的动点问题

方法点拨：一元二次方程在几何动点问题中运用的关键是找到合适的直角三角形，用设定的

字母把三边表示出来，再根据勾股定理列出方程进行求解，最后必须根据题意判定结果的合

理性。只要认真审题，牢固掌握并灵活运用各个特殊几何图形的性质定理，并根据边角间的

数量关系列出等式，就能轻松应对这类题型。

1.（2022•安徽合肥•八年级期末）如图，在MV/8C中，AB=6cm,8C=8cm.点尸从点A出发，沿4B

边以lcm/s的速度向点B移动；点。从点B同时出发，沿8C边以2cm/s的速度向点C移动.规定其中一个动

点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.问经过几秒后，P,0两点的距离是4岳m?

2

【答案】/秒或2秒

【分析】设经过f秒后，P,。两点的距离是4亚cm,利用勾股定理列出方程并解答即可.

【详解】解：设经过，秒后，P,0两点的距离是4缶m，

根据题意，得（2犷+（6-心（4扬2,

整理,得（5”2乂"2）=0,

2

解得4L=2.

当/=2时，2?=4<8,符合题意，

2

答：1秒或2秒后，P,0两点间的距离等于4缶m.

【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，根据路程=速度*时间，表示线段的长度，将问题转化到三角

形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法.

2.（2022・河北唐山•八年级期中）如图1,4="=90。，点尸从/出发，沿/一3一C-D路线运动，到。

停止；点尸的速度为每秒1cm,运动时间为x秒，如图1是△48尸的面积S(cm2)与％(秒)的图像

(1)时间段内点P在线段月8上运动；时间段内点P在线段8C上运动；

(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的/5=cm；BC=cm；CD=cm；图2

中的加=cm2:

(3)当点P运动秒时，AP=PD.

【答案】(1)0至I」2；2至IJ5

(2)2；3；1；3

(3)3

【分析】(1)由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点尸在线段N3上运动，，在2到5秒的时间段点尸

在线段上运动，即可求解；

(2)从图2看，AB=2cm,BC=5-2=3(cm),CD=6-5=1(cm),当点尸和点C重合时，及43尸的

面积S为加，即可求解；

(3)当/尸=尸£＞时，即4+(%-2)2=1+(x-5)2,解得x=3,进而求解.

(1)

解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点尸在线段48上运动，，在2到5秒的时间段点尸在线段

BC上运动，

故答案为：0到2；2到5；

(2)

解：从图2看，AB=?.cm,BC=5-2=3(cm),CD=6-5=1(cm),

当点尸和点C重合时，A/AP的面积S为加，

即"?=S=。。*2x3=3(cm2),

故答案为：2,3,1,3；

(3)

解：从图象看，当点尸在5c上时，有以ZADP为底角构成等腰三角形,

此时，BP=x-2,贝！］尸。=8。-2尸=3-(x-2)=5-x,

贝l|/尸2=/台2+8尸2=4+(x-2)2,DP2=PC2+CD2=\+(x-5)2,

当4P=PD时，即4+(x-2)2=1+(x-5)2,解得x=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进

而求解.

3.(2021•江苏泰州•九年级期中)如图，在矩形/BCD中，AB=6cm,8c=12CTM,点尸从点A出发，沿48

边向点B以：lew/秒的速度运动，同时，点。从点8出发沿8c边向点C以2c加/秒的速度移动.如果尸、。两

点在分别到达3、C两点后就停止移动，回答下列问题：

(1)点尸运动开始后第几秒时，△尸的面积等于8c/；

(2)设点P运动开始后第r秒时，五边形/尸。。。的面积为网优？，写出S与/的函数关系式，并指出/的取值范

围.

【答案】(1)2秒或4秒

(2)S=r—61+72(0</<6)

【分析】(1)根据，秒时，P、。两点的运动路程，分别表示尸3、8。的长度，可得△可。的面积，后令

其为8c/,求出/的值即可；

(2)用S=S矩形，BC£>-求面积即可.

(1)

解：第/秒钟时，AP=t,BQ=2t,

・•.PB=6-t,

2

*'-^APBQ=-（6-ty2t=-t+6t,

当△尸8。面积等于8时，得：-t2+6t=8,

解得：。=2,公工

・••点P运动开始后第2秒或第4秒时，4PBQ的面积等于8cm2.

（2）

•・•在矩形中，AB=6,BC=12,

•••S矩形43。=6x12=72，

2

S=S矩形/5CQ-SAPBS=t-6t+72（0<t<6）.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积.解题关键是根据所设字母，表示相

关线段的长度，再计算面积.

4.（2022•山东淄博•九年级期中）如图，在直角梯形N3C。中，AD//BC,NC=90。，3c=16,

£>C=12,AD=21.动点尸从点。出发，沿射线0/的方向以每秒2个单位的速度运动，动点0从点C出

发，沿射线C2的方向以每秒1个单位的速度向点B运动，点?，。分别从点。，C同时出发，当点尸运动

到点A时，点。随之停止运动.设运动的时间为f（秒），当f为何值时，以3,P,。三点为顶点的三角

形是等腰三角形？

【答案】片（或片F

23

【分析】以8、P、0三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若「。=8。，②若BP=BQ,

③若PB=PQ.在中根据勾股定理，就得到一个关于f的方程，就可以求出力

【详解】解：过点尸作于则四边形PDCW为矩形.

APD

由图可知，CM=PD=2t,CQ=t,若以8、P、0为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：

①若尸在RfAPMQ中，PQ2=t2+U2,

7

由PQ2=BQ2得户+122=(16-t)2,解得/=-；

②若BP=BQ,在比△尸A"中，PB2=(16-2r)2+122,由尸炉书^得(16-2，)2+122=(16-f)2,即

3t2-32/+144=0,

此时，△=(-32)2-4x3x144=-704C0,所以此方程无解，

③若PB=PQ,由P"=尸。得理+122=(16-2/)2+122得〃=T，〃=16(不合题意，舍去).

综上所述，当Z=g或Q与时，以8,P,。三点为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】本题主要考查梯形、等腰三角形的特殊性质，在解题过程中要注意数形结合，注意分情况讨论.

考点2：一元二次方程与一次函数的综合

方法点拨：利用一次函数与韦达定理进行求解最值问题。

1.(2022•黑龙江哈尔滨•八年级期末)为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研

发出一种新型高科技设备，经过市场调研发现，每台售价为45万元时，年销售量为550台.假定该设备的

年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系V=T0x+6.

(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

(2)已知每台设备成本价为30万元，根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获

得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

【答案】⑴尸TOx+1000

(2)50万元/台

【分析】(1)把x=45,y=550代入歹=—10x+b,即可求解；

(2)根据题意，列出方程，即可求解.

(1)解：把％=45,歹=550代入歹=-10%+6

.•.550=—10x45+6

.-.6=1000

y=-10x+1000

即年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=-10x+1000.

(2)解:根据题意得：(x-30)(-10x+1000)=10000

解得：西=5042=80.

•••此设备的销售单价不得高于70万元，

x--50.

答：该设备的销售单价应是50万元/台.

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题

的关键.

2.(2022•黑龙江哈尔滨•八年级期末)“人与自然和谐共生”哈尔滨湿地节系列活动中，某景点接待游客逐

渐增多，6月份第一周接待游客200人，第三周接待游客288人，若该景点接待游客数量的周平均增长率相

同.

(1)求该景点在6月份的第二周接待游客多少人？

(2)该景点第四周接待游客数量是第二周接待游客数量的1.8倍，平均每位游客购买1件旅游纪念品.该景点

只销售4,2两种旅游纪念品，/种纪念品每件利润5元，2种纪念品每件利润8元，且售出的3种纪念品

的数量不多于/种纪念品的3倍，设第四周该景点售出/种旅游纪念品。件，获得的总利润为少元，求少

与。的函数关系式，并求出获得的最大利润.

【答案】(1)该景点在6月份的第二周接待游客为240人；

(2)乎与a的函数关系式为亚=-3a+3456,最大利润为3132元.

【分析】(1)设该景点接待游客数量的周平均增长率为x,然后根据题意列出一元二次方程，解方程即可;

(2)根据总利润=/,8两种纪念品利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可.

(1)设该景点接待游客数量的周平均增长率为x,根据题意，

得200(1+x)2=288,

解得：x/=0.2=20%,xz=-2.2(舍去)，

二该景点接待游客数量的周平均增长率为20%,

••.200(1+20%)=240(人)，

;该景点在6月份的第二周接待游客为240人；

(2)•••该景点第四周接待游客数量第二周接待游客数量的1.8倍，

•・.该景点第四周接待游客为240x1.8=432(人)，

设第四周该景点售出/种旅游纪念品。件，则该景点售出8种旅游纪念品(432-a)件，

根据题意得：忆5a+8(432-a)=-3a+3456,

•••售出的2种纪念品的数量不多于/种纪念品的3倍，

.■-432-a<3a,

解得:壮108,

・・・沙随。的增大而减小，

.•.当。=108时，用最大,最大值为3132,

•步与a的函数关系式为竹-3a+3456,最大利润为3132元.

【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次方程的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式和一元二次

方程.

3.(2022•山东滨州•八年级期末)某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格

销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y(千克)与每干克降价x(元)

(0<x<20)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)求〉与x之间的函数关系式；

(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？

(3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元?

【答案】(l)y=10x+100(0<x<20)

(2)2210元

⑶9元

【分析】(1)由待定系数法即可得到函数的解析式；

(2)根据(1)的解析式将产3代入求出销售量，再根据每千克利润*销售量=总利润列式求解即可;

(3)根据这种干果每千克的利润x销售量=2090列出方程，解方程即可.

\ZK+D=1ZU

(1)解：设y与x之间的函数关系式为：y=kx+b,把(2,120)和(4,140)代入得，〃人，解

[4左+6=14/i0n

[k=\0

得：IKice，•,少与'之间的函数关系式为：^=10x+100(0<x<20)；

(2)解：根据题意得，x=3时销售量>=10x3+100=13。，(60-3-40)x130=2210(元)，答：当每千克

干果降价3元时，超市获利2210元；

(3)解：根据题意得，(60-x-40)(10x+100)=2090；解得：肛=1,x2=9；整理得：x2-10x+9=0为了让顾客获得

更大实惠，x=9答：这种干果每千克应降价9元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确

列出一元二次方程是解题的关键.

4.(2022•江苏•九年级专题练习)某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费

用为600元(不含套餐成本).试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；

若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份.为了便于结算，每份套餐的售价x

(元)取整数，用y(元)表示该店每天的利润.

(1)若每份套餐售价不超过10元.

①试写出〉与x的函数关系式；

②若要使该店每天的利润不少于800元，则每份套餐的售价应为多少元？

(2)该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若不能，请说明理由；若能，

求出每份套餐的售价应定为多少元时，既能保证利润又能吸引顾客？

【答案】(1)①y=400x-2600.(5<xW10),②9元或10元

(2)能，套餐售价应定为11元

【分析】(1)①本题考查的是分段函数的知识点.当5<xW10时，y=400(x-5)-600；②根据利润不

少于800列不等式，解不等式，再根据x为整数即可得答案；

(2)当x>10时，y=(x-5)[400-40(x-10)]-600,把y=1560代入，并解答.

(1)解：①'=400(x-5)-600=400%-2600.(5〈尤W10).

②依题意得：400%-2600^800,解得：xN8.5,

又；5cxW10,

.•.8.54W10.

:且每份套餐的售价X(元)取整数，

.,•每份套餐的售价应为9元或10元.

(2)能,理由如下：

依题意可知：每份套餐售价提高到10元以上时，

y=(x-5)[400-40(x-10)]-600,

当y=1560时，(x-5)[400-40(x-10)]-600=1560,

解得：打=11,X2—14,

为了保证净收入又能吸引顾客，应取X/=11,即X2=14不符合题意.

故该套餐售价应定为11元.

【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中

的等量关系列出函数关系.

5.(2022•山东•烟台市福山区教学研究中心八年级期中)2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健

康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神.为满足市场

需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让

更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个.

(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y(个)与每个售价x(元)之间的函数关系式；

(2)如果前两天共获利525元，且第二天销售数量不低于30个，则第二天每个冰墩墩”的销售价格为多少元？

【答案】(1»=—3x+105

(2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元

【分析】(1)根据题意：“单价每降低1元，可多售出3个”列出相应函数关系式即可；

(2)根据利润等于每件商品的利润乘以数量列出方程求解即可，然后再由题意列出相应不等式即可得出结

果.

(1)根据题意得：了=30+3(25—幻=-3尤+105.

故每天的销售量y(个)与每个售价无(元)之间的函数关系式为：y=—3x+105.

(2)设第二天每个“冰墩墩”的售价为x元，

根据题意可列(25-15)x30+(x—15)(-3x+105)=525

解得：x=20或x=30.

••,第二天销售数量不低于30个，

.••-3x+105>30,

解得:烂25,

••.x=20.故第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元.

【点睛】题目主要考查一次函数、一元二次方程、一元一次不等式的应用，理解题意，列出相应方程不等

式是解题关键.

考点3：与一元二次方程有关的阅读探究问题

方法点拨：阅读材料型题是近年来中考试题中出现的新题型，它以内容丰富、构思新颖别致、

题型多样为特点，由阅读材料和解决问题两部分组成，让考生在阅读的基础上,理解其中的内

容、方法和思想，进而解决问题，解答阅读理解题，要读懂材料，正确理解题意，弄清题目

要求，理清问题与材料之间的关系。把问题带到题目中，认真理解材料所提供的思路，多角

度去思考，或直接运用阅读中得到的方法、思想解决问题，或在材料中所提供的信息的基础

上加以类比、变式、拓展得到类似的方法进行求解.

I.(2022・广西北海•七年级期中)阅读材料：把代数式/-6x-7因式分解，可以分解如下：

-6x—7=x~—6x+9—9—7

=(X-3)2-16

=(x-3+4)(x-3-4)

=(x+l)(x-7)

(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式尤2一版+7因式分解.

(2)拓展：当代数式，+2砂-3/=0时，求了的值.

【答案】(1)。一1)(关-7)

(2)1或-3

【分析】(1)仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解；

(2)将方程左边因式分式后求出x与歹的关系，求出结果即可.

(1)

解：x2-8x+7

=X2-8X+16-16+7

=(X-4)2-9

=(x-4+3)(x-4-3)

=(x-l)(x-7)；

(2)

解：x+2xp-3j2

=x2+2xy+y2~y2~3y2

=(x+y)2-4y2

=(x+y+2y)(x+y-2,)

=(x+3y)(x-y),

x2+2xy—3y2=0,

(x+3y)(x-y)=0,

・・・x—y=0或x+3歹=0,

••・X=V或x=_3y,

—=1或土=0=-3.

yyy

【点睛】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式.

2.(2022・安徽合肥•八年级期中)探究：己知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第

一行有一个点，第二行有两个点，…，第"行有"个点…，容易发现，io是三角形点阵中前4行的点数

和.

(1)求三角形点阵中前10行的点数和；

(2)若三角形点阵中前。行的点数之和为300,求。的值；

⑶三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？(填“能”或“不能”)

【答案】(1)55

(2)a=24

⑶不能

【分析】(1)将前10行的点数相加，即可求出结论；

(2)根据前。行的点数之和为300,即可得出关于。的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(3)不能，根据前6行的点数之和为600,即可得出关于b的一元二次方程，解之即可求出6值，再结合6

为正整数，即可得出三角形点阵中前b行的点数之和不能是600.

(1)

三角形点阵中前10行的点数和为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55；

(2)

由题意可得：1+2+3+4+5+…+”=300,

即;“a+1)=300.

整理得力+4-600=0,

(a+25)(a-24)=0,

a}=-25,%=24,

•・•〃为正整数，

。=24；

(3)

不能，理由如下：

依题意得：1+2+3+4+...+6=600,

即N(6+1)=600,

整理得：62+6/200=0,

解得：b=-l-V4801=-1+V4801；

1222

又泌为正整数，

=-丽-1+而均不符合题意,舍去，

1222

••・三角形点阵中前b行的点数之和不能是600.

故答案为：不能.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，正确列出一元二次

方程是解题的关键.

3.(2022•江苏•九年级课时练习)综合与探究：如果关于x的一元二次方程办2+加+。=05*0)有两个实

数根，且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是“邻根方程”.例如：一元二次方程/+x=()的两

个根是再=0,迎=-1，则方程：V+x=o是“邻根方程”.

(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：

①/+；(；-6=0；②2尤2-2氐+2=0.

(2)已知关于x的一元二次方程x2-(加-2)x-2〃?=0(〃z是常数)是“邻根方程”，求加的值.

【答案】(l)x2+x-6=0不是"邻根方程"；2/-2行》+2=0是“邻根方程”

(2)/H=-1或一3

【分析】(1)根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1,可以确定方

程是否是“邻根方程”；

(2)先解方程，求出根，再根据新定义列出关于用的方程，注意有两种情况.

(1)解：①解方程得：(x+3)(x-2)=0,=—3,电=2,;2N-3+1,二x?+x-6=0不是邻根方程”；

②…士尸=竺出=警1,二四，马=旦，：理-与=1,Cx=Z底+2=。是

4422222

“邻根方程”；

(2)解：X2—(/M—2)x—2m=0—wi)(x+2)=0,.'.菁=加，Z=-2,'•'方程——(机—2)x—2机=0(机是常数)

是“邻根方程"，，加=-2+1或加=-2-1,.•.机=-1或-3.

【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解'邻根方程”的

定义，本题属于中等题型.

4.(2022・江苏•九年级单元测试)阅读下列材料：

利用完全平方公式，可以将多项式办2+云+。(°知)变形为。(无+加)2+〃的形式，我们把这样的变形方法叫

做多项式ax2+bx+c的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.

例如：N+iix+24

=x2+llx+(y)2-(y)2+24

=(x+8)(x+3)

根据以上材料，解答下列问题：

(1)初步感知：用多项式的配方法将N+8x-1化成(x+加)2+〃的形式;

(2)问题探究：下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式N-3x-40进行分解因式的解答过程:

解：x2-3x-40

=N-3X+32-32-40

=(x-3)2-49

=(x-3+7)(x-3-7)

=(x+4)(x-10)

老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始出现错误的地方，并用'一一”标画出来,

然后写出完整的、正确的解答过程.

【答案】⑴(X+4)2-17

(2)标画出的错误见解析；正确解答过程见解析

【分析】(1)根据配方法，可得答案；

(2)根据配方法，可以看出该同学的错误；再根据配方法和平方差公式，分解因式，可得答案.

(1)解：x2+Sx-1=X2+8x+42-42-1=(x+4)2-17

解:x2-3x-40

=炉-3X+32-32-40

(2)该同学第一步出现错误，如图所示：=(x-3)2-49正确的解答如下：

=(x-3+7)(x-3-7)

=Gc+4)(x-10)

313313

x2-3x-40=x2-3x+x-----1----v______

2222

=(x+5)(x-8)

【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，熟练掌握配方法的基本步骤和平方差公式，是解题的关键.

5.(2022•山东・青岛大学附属中学三模)［问题提出］如图1,由(长x宽x高)个小立方块组成的正

方体中，到底有多少个长方体(包括正方