高考数学一轮复习：对数与对数函数

专题3.6对数与对数函数

【核心素养】

1.以对数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算

的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用

及数学运算的核心素养.

3.与幕函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用,

凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------；

知欢概要，

知识点一对数及其运算

1.对数的概念

(1)如果/=N(a>0,且aWl),那么x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,其中a叫做对数的底数,

N叫做真数.

(2)对数的性质：①负数和零没对数；②log」=0；③/og/=l；

(3)对数恒等式

2.对数的运算法则

如果。>0且aWl,M>0,N>0,那么

①log”(脑V)=12g四±12g四

M

②log.=loM/—logjv；

③logJW"=n\o^M(nGR)；

几

④log/AT=—logaAf(m,〃£R,且根WO).

⑶对数的重要公式

①换底公式：12g型三警*〃，匕均大于零且不等于1);

②)10gqZ?二^,推广\ogab•logo。,logcd=log版.

slogb。

③logq*=b(a>0,且〃W1)

知识点二对数函数及其性质

1.概念：函数y=log“x(a>0,且。#1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+°°).

2.对数函数的图象与性质

a>l0<4<1

图象

定义域：(0,+8)

值域：R

当x=l时，7=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时,y>0；当”>1时,y<0；

当0<%<1时，y<0当0<%<1时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

3.对数函数的图象规律

⑴不管还是底大图低；

(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向。逐渐变小，即。的值越小，图象越靠近〉轴.

知识是［反函数

对数函数y=logax(〃>0,且存1)和指数函数y=〃(〃>0,且存1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对

称.

一・一・一•一・一・・・・・一・—・・

常游题壑刘析

题型一：对数的化简、求值

【典例分析】

例1-1.（2022•浙江・统考高考真题）已知2"=5,1%3=6,则4.=（）

A.25B.5C.—D.一

93

例1-2.（2022.天津.统考高考真题）化简（2年43+摩83乂摩32+10892）的值为（）

A.1B.2C.4D.6

445

例1-3.（2020•全国高考真题（理））己知55<8,13<8.设a=log53,^logs5,i-logi38,则（）

A.a〈b〈cB.伙a〈cC.ZKc<aD.c<a<Z）

【规律方法】

1.对数性质在计算中的应用

（1）对数运算时的常用性质：log〃a=l,log〃l=0.

（2）使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层

视为整体，逐层使用对数的性质.

2.对数运算的一般思路

（1）拆：首先利用塞的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数塞的形式，使幕的底数最简，然后利用对

数运算性质化简合并.

（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、

商、幕的运算.

【变式训练】

变式L1.（202。全国・统考高考真题）设。1幅4=2,则4-"=（）

A.—B.—C.—D.一

16986

变式L2.（2023・全国•高三专题练习）若xlog34=l,则4，+4一工的值为（）

A.—B.3C.4D.—

33

变式1-3.（2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知b>l,且lna+41nb=1,

则。一+0例的最小值为（）

A.91g2B.21C.25D.121g2

题型二：对数函数的解析式及其求值

例27(2023・广东东莞・统考模拟预测)已知函数则"0)+〃地36)=()

A.4B.5C.6D.7

例2-2.(2023•全国•高三专题练习)写出一个具有性质①②③的函数/'(》)=.

①〃x）的定义域为（。,内）;

②/（%%）=/（石）+/（%）；

③当X€（0,+oo）时,/（%）>0.

例2-3.(2023・北京・统考高考真题)已知函数/(x)=4，+log2X,则/

【规律方法】

1.对数函数的解析式同时满足:

①对数符号前面的系数是1;②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量X.

2.确定对数函数的解析式，常常利用“待定系数法”.

3.涉及对数函数求函数值问题，有时直接将自变量值代入，有时需先求函数的解析式，再求函数值.

【变式训练】

变式2】(2。。6.辽宁・高考真题)设则.外一■

变式22(2022秋・北京•高三北京市第十三中学校考开学考试)已知函数/(x)=log〃x,且八2)=1则。

[logx~\~bx>0

变式2-3.(2020•全国•高三对口高考)已知/(x)=《丁，其中。>0且，若/(3)=2,/(-1)=3,

[a,x<0

则〃/(一3))=.

题型三：对数函数的定义域、值域问题

【典例分析】

例3-1.(2023・全国•高三对口高考)函数y=如二的定义域是()

Ig(smx)

A.[-4,4]B.-4,—,4

C.[—4,—7i）U（0,兀）D.[—4,—IT）U^O,—

例32（2022秋•江苏南京•高三校考阶段练习）已知〃x）=log.x+log/4-x）（。＞0且。*1）,且"2）=2.

⑴求。的值及〃x）的定义域；

"7-

⑵求〃x）在1,-上的值域.

【方法技巧】

1.确定对数函数或与对数有关的函数定义域，应注意：（1）对数的真数大于零；（2）对数的底数大于零且

不等于1；（3）当涉及多方面要求时，注意求“交集”.

2.对数函数的值域问题，往往利用复合函数的单调性.

【变式训练】

变式3-1.【多选题】（2023.广东.统考模拟预测）已知函数+则（）

A.当机＞；时，的定义域为R

B./（X）一定存在最小值

C.“X）的图象关于直线A-；对称

D.当机“时，/（X）的值域为R

变式3-2.（2023春.北京东城.高三北京市第H^一中学校考阶段练习）函数/（x）="7I+ln（2-”的定义域

为.

题型四：对数函数的图象及其应用

【典例分析】

例4-1.（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数y=：1,y=log0x+gka〉0且aw。）的图象

a

可能是（）

例4-2.(2022秋•福建宁德•高三福建省福安市第一中学校考阶段练习)已知函数y=log“(x-3)+2(。>0且

"1)的图象恒过定点尸，点尸在哥函数y=/(x)的图象上，则〃4)=()

A.-2B.2C.1D.-I

例4-3.(2023•北京顺义・北京市顺义区第一中学校考模拟预测)已知函数〃尤)=log/-(x-l)2,则不等式

/(x)<。的解集为()

A.(fl)U(2,+℃)B.(0,l)u(2,+co)

C.(1,2)D.(l,+oo)

【总结提升】

1.对数函数图象特征：

⑴不管a>l还是底大图低；

(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴.

2.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决.

3.对数值logd的符号(x>0,a>0且存1)规律：“同正异负”.

⑴当0<x<l,0<a<l或X>1,。>1时，logaX>0,即当真数尤和底数a同大于(或小于)1时，对数logaX>0,即对

数值为正数，简称为“同正”；

⑵当。>1或无时，loga%<。，即当真数尤和底数。中一个大于1,而另一个小于1时，也就

是说真数X和底数a的取值范围“相异”时，对数log6<0,即对数值为负数，简称为“异负”.因此对数的符

号简称为“同正异负

4.指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题.

【变式训练】

变式4-1.(2023.安徽安庆.校考一模)函数〃x)=log22x与=在同一直角坐标系下的图象大致

变式42(2023•全国•模拟预测)函数/(刈=*与二？在区间(_l,O)u(O,l)上的大致图象为()

变式4-3.(2023春•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试)已知函数〃x)=|lnx|.若

Q<a<b,且/(a)=/S),则a+4b的取值范围是()

A.(4,+oo)B.[4,+oo)C.(5,+oo)D.[5,+oo)

题型五：对数函数的性质及其应用

【典例分析】

例5-1.(2022•全国•统考高考真题)已知9"=10,Q=1(F—n/=8”—9,则()

A.a>Q>bB.<3>Z?>0C.b>a>0D.b>Q>a

例5-2.（2022•天津・统考高考真题）已知0=2%万=&],c=log21,则（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

例5-3.（2023•全国•高三专题练习）已知x,yeR,a>l,若C,且x+y的最大值为与，则函数

2

/（尤）=logj{rx+ax+2a）的最小值为

2

ax+—^x>a,

例5-4.（2022秋・重庆•高三统考阶段练习）已知〃>0且awl,函数/（%）=x有最小值，贝匹

log。x,0<x<a.

的取值范围是.

【总结提升】

1.比较函数值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同.是用指数函数的单调性，还是用事函数的单调

性或指数函数的图象解决.涉及对数值，要注意中间量-1、0、1等的运用.

2.应用对数型函数的图象可求解的问题

（1）在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想.

（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【变式训练】

变式5・L（2021・天津•统考高考真题）设a=log20.3,b=logi0.4,c=0.4。,则°,6C的大小关系为（）

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

变式5-2.（2023•全国•高三专题练习）若函数〃X）=log〃（-+4办-1）有最小值，则实数a的取值范围是

B.（1,73）

D.（"+W）

_%2+2x+3%<2

变式5-3.（2023•全国•高三专题练习）.,'，（a>0且awl）,若函数f（x）的

6+logx,x>2

）a

值域是（-8,4],则实数。的取值范围是（）

C.（1/D.（1,忘）

logax,0<x<-

2

变式5-4.（2023・湖南长沙•长郡中学校考模拟预测）已知函数〃X）=＜（〃>0且QW1）,若对

a\x>-

2

任意x＞0,f（x）＞%2,则实数a的取值范围为

题型六：对数函数中的恒成立问题

【典例分析】

例6-1.（2022春・江西宜春•高三校联考阶段练习）若Vxe'a],不等式2尤?-尤恒》+也＜°恒成立，则实

_2J2

数a的取值范围为.

例6-2.（2023.全国.高三对口高考）若函数y=1g（炉-办+9）的定义域为R,则。的取值范围为；

若函数y=lg（V-依+9）的值域为R,则a的取值范围为.

【规律方法】

1.当对数的真数为二次函数时，“判别式法”常用于解答“恒成立问题”.

2.“分离参数法”、“分离变量法”常用于解答“恒成立问题”.

【变式训练】

变式6-1.（2022.全国•高三专题练习）若关于x的不等式l°g/3，+储2，）W1对任意的尤目。,.）恒成立，则实

4

数2的取值范围是.

变式62（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=lg（5，+U+“|的值域为R,则机的取值范围是

题型七：对数函数的综合问题

【典例分析】

例7-1.（2023・河南开封•校考模拟预测）已知函数〃力=2m+（*-1）2,若/0og3a）＞/（2）,则实数。的取

值范围是（）

A.（一co,（ju（9,+a））

B.（-oo,l）U（9,+co）

〔力（）

C.0,9,+coD.（0,1）U（9,-HX>）

例7-2.(2020・全国•统考高考真题)若2、一2,v3T-3一，，则()

A.ln()/-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|%-y|>0D.ln|x-y|<0

例7-3.(2022.全国•统考高考真题)若/(x)=ln。+/！一+6是奇函数，贝/=,b=.

1—X

,、-|3x+1-l|,x<0

例7-4.(2023春•山东淄博•高三山东省淄博实验中学校联考阶段练习)已知函数/(尤)=11，若

Inx,x>0

函数g(x)="(x)于-2硝x)+a2T恰有4个不同的零点，贝心的取值范围是.

【特别提醒】

应用对数函数的图象和性质，解答与对数函数有关问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题

都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复

合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.

【变式训练】

变式7-1.(2022春•江西抚州•高三临川一中校考期中)己知定义在R上的函数>=/(尤)满足/(-x)=-/(x),

函数>=/(x+l)为偶函数，且当xe[0,l]时,/(x)=log2(x+«),则〃2022)+/(2023)=()

A.-1B.1C.504D.无法确定

变式72(2023•江西南昌・统考三模)设函数=优(0<a<1),g(x)=log,x(b>1),若存在实数机满足：

①/O)+g(m)=0；②/⑺-g(w)=0,③|相-叱1,则《机-〃的取值范围是()

2

一，一)D.(...........—,——)

4242

变式7-3.(2023•陕西宝鸡•校考模拟预测)已知函数〃x)=『og2|l-M，若函数8(%)=/2(力+4。0+仍有

6个不同的零点，且最小的零点为尤=-1,贝!]2〃+人=().

A.6B.-2C.2D.-6

1-log3x,0<x<3

变式7-4.(2019秋•上海•高三上海市七宝中学校考期末)已知定义在(0,+⑹上的函数/(无)=log3X-l,3a«9,

4-\[x,x>9

设a,6,c为三个互不相同的实数，满足〃a)=〃b)=〃c),则必c的取值范围为.

一、单选题

1.(2023•安徽阜阳・安徽省临泉第一中学校考三模)已知43"=3-2"=1,则()

A.m>n>-\B.n>m>-\

C.m<n<—lD.n<m<—l

2.（2023・广东汕头・统考三模）已知°=bg，，c=1°Sic,则°,b,c大小为（）

235

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

3.（2022秋.江西赣州.高三校联考阶段练习）已知函数〃*）=电（5/?W+尤），贝|不等式〃2x）>〃x-2）的

解集为（）

A.(-2,+oo)B.(-00,-2)

C.(0,+8)D.(fO)

5.（2023•全国•高三专题练习）已知a>l,b>\,a=b\则lg〃+310gz,10的最小值为（)

A.4B.6C.8D.10

6.（2023・湖南•校联考模拟预测）已知Q=log32/=log53,c=log85,则下列结论正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.b<c<a

7.（2023・广东深圳•深圳中学校考模拟预测）己知。=log30,bj,c=lg2,贝|（）

O

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

二、多选题

8.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=A、，关于x的方程〃x）+x-。=0有且只有一个实

根，则实数。的取值可以是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2023.全国•高三专题练习）9知函数/（%）二|loga%|（。>0,且awl）的定义域为包袱。〈根〈九），值

域为［0』.若〃一加的最小值为:，则实数。的值可以是（）

A.-B.-C.-D.-

4435

三、填空题

10.（2023•全国•高三专题练习）命题P：“3xe［2,8］,帆kgx+GO”是真命题，则实数加的取值范围为

11.（2023•浙江嘉兴•校考模拟预测）若函数〃x）=log2|a+X的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为

12.（2023•全国•高三专题练习）已知函数〃x）=>0,awl）在［L2］内的最大值是最小值的两倍，且

/(x)+l,x>l则g])+g(2)=

g(x)=

log3x-l,0<x<l

专题3.6对数与对数函数

【核心素养】

1.以对数函数为载体，考查函数的单调性、待定系数法、换元法等，凸显直观想象、逻辑推理、数学运算

的核心素养.

2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性，凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用

及数学运算的核心素养.

3.与幕函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合，考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用,

凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.

<---------；

知欢概要，

知识点一对数及其运算

1.对数的概念

(1)如果/=N(a>0,且aWl),那么x叫做以。为底N的对数，记作x=log“N,其中a叫做对数的底数,

N叫做真数.

(2)对数的性质：①负数和零没对数；②log」=0；③/og/=l；

(3)对数恒等式

2.对数的运算法则

如果。>0且aWl,M>0,N>0,那么

①log”(脑V)=12g四±12g四

M

②log.=loM/—logjv；

③logJW"=n\o^M(nGR)；

几

④log/AT=—logaAf(m,〃£R,且根WO).

⑶对数的重要公式

①换底公式：12g型三警*〃，匕均大于零且不等于1);

②)10gqZ?二^,推广\ogab•logo。,logcd=log版.

slogb。

③logq*=b(a>0,且〃W1)

知识点二对数函数及其性质

1.概念：函数y=log“x(a>0,且。#1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+°°).

2.对数函数的图象与性质

a>l0<4<1

图象

定义域：(0,+8)

值域：R

当x=l时，7=0,即过定点(1,0)

性质

当x>l时,y>0；当”>1时,y<0；

当0<%<1时，y<0当0<%<1时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

3.对数函数的图象规律

⑴不管还是底大图低；

(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向。逐渐变小，即。的值越小，图象越靠近〉轴.

知识是［反函数

对数函数y=logax(〃>0,且存1)和指数函数y=〃(〃>0,且存1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对

称.

<

常渗题壑勃析

题型一：对数的化简、求值

【典例分析】

例1-1.（2022•浙江・统考高考真题）已知2"=5,1%3=6,则4"厘=（）

「25

A.25B.5C.—D.一

93

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化，事的运算性质以及对数的运算性质即可解出.

c-一4"(2”『5225

【详解】因为2』，^log83=-log23,即2”=3,所以受二亡百力J

故选：C.

例12（2022・天津统考高考真题）化简（2壮43+厩83）（现32+10892）的值为（）

A.1B.2C.4D.6

【答案】B

【分析】根据对数的性质可求代数式的值.

【详解】IM^=(2xilog23+|log23)(log32+：log32)

43

=-log23x-log32=2,

故选：B

45

例1-3.(2020•全国高考真题(理))已知55〈8。13<8.设军log53,Z^log85,c-log138,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.欣c<aD.c〈虱b

【答案】A

【解析】

由题意可知a、b、ce（O,l）,

«_log53_lg3lg8/1(Ig3+lg8丫1Ig3+lg8丫Jlg24丫

2

blog85lg5lg5(lg5)I2JI21g5J[lg25)

4

由Z?=log85,得8〃=5，由55<83得85”<84，，5万<4,可得b<,；

4

由c=logi38,得13c=8，由134<十，得134<13%，，5c>4,可得c>《.

综上所述，a<b<c.

故选：A.

【规律方法】

1.对数性质在计算中的应用

(1)对数运算时的常用性质：bg/=l,logal=0.

(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层

视为整体，逐层使用对数的性质.

2.对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用募的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使累的底数最简，然后利用对

数运算性质化简合并.

(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、

商、塞的运算.

【变式训练】

变式1-1.(2020•全国•统考高考真题)设“1*34=2,贝1」4一，=()

A.—B.—C.—D.一

16986

【答案】B

【分析】根据己知等式，利用指数对数运算性质即可得解

【详解】由“Iog34=2可得4g3芈=2,所以4"=9,

所以有4-"=g,

故选：B.

变式L2.(2023•全国•高三专题练习)若xlog34=l,则4，+4一，的值为()

A.—B.3C.4D.—

33

【答案】A

【分析】由已知对数式可得4,=3,从而代入可求出结果

【详解】xlog34=l,

4工=3,

，4'+4T=3+37=—

3

故选:A

变式L3.（2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）己知a>l,b>l,且lna+41nz7=1,

则log”e+log%-的最小值为（）

A.91g2B.21C.25D.121g2

【答案】C

【分析】变换得到皿+1。&"in…咽岛+6,再利用均值不等式计算得到答案.

14

【详解】logqe=；—,\oge4=——,因为a>l,b>l,故ln〃>。，ln/?>0,

In〃bIn/?

1414

loge+log,e4-----十——=(ln«+41n/?j-----十——

flInaInZ?InaInZ?

…4In/74lna、__141nb4Ina__

=17+------+------->17+2-----------------=25,

ln〃InZ?，InaInb

当且仅当lna=lnb时，即〃二匕二1时等号成立•

所以logae+logbe4的最小值为25.

故选：C.

题型二：对数函数的解析式及其求值

例27（2023・广东东莞・统考模拟预测）已知函数/（尤）=，：2*（；一"）"<2,则“0）+/（g36）=（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.

【详解】由题意可得〃0）+/。咆36）=2+晦2+3晦36-2=2+log"+3唠=2+1+^=7,

故选：D.

例2-2.（2023•全国•高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数/'（》）=.

①的定义域为（0,内）；

③当xe（0,+co）时，f'（x）>0.

【答案】log3x（答案不唯一）

【分析】结合函数的定义域、函数的法则和单调性即可求解，满足题意的答案不唯一.

【详解】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，/（X）在定义域上是增函数，故〃X）=log3X

符合题意，

故答案为：logs》（答案不唯一）.

例2-3.（2023・北京・统考高考真题）已知函数/（x）=4£+logzX,则.

【答案】1

【分析】根据给定条件，把x=g代入，利用指数、对数运算计算作答.

【详解】函数/（x）=4，+log2X,所以/（g）=4、log2；=2-1=1.

故答案为：1

【规律方法】

1.对数函数的解析式同时满足：

①对数符号前面的系数是1;②对数的底数是不等于1的正实数（常数）；③对数的真数仅有自变量X

2.确定对数函数的解析式，常常利用“待定系数法”.

3.涉及对数函数求函数值问题，有时直接将自变量值代入，有时需先求函数的解析式，再求函数值.

【变式训练】

变式2-1.（2006・辽宁・高考真题）设g（x）=：则g（g[4]=______.

[Inx,x>0I12力

【答案】1/0.5

2

【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值.

fexx<0/1\1

【详解】・・・g，-，-=ln-=-ln2<0,

[Inx,x>0n12J2

Ag[g]=g（-In2）=e』2=e1"2"=2-1=1.

故答案为：

变式22（2022秋・北京・高三北京市第十三中学校考开学考试）已知函数/⑺=log/,且/⑵=；.则"

【答案】4-1

【分析】由"2)=；,得到k)g.2=g,求得。=4,结合对数的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，函数〃x)=log.x,因为〃2)=g,即log02=],解得a=4,

所以Tog/，

…⑴,1,2,3।/23、।1,

则/不=logq+log4a+bg4i=bg4(jxaxi)=log41=_l.

故答案为：4；-1.

一,flOgnX+Z?,%>0

变式2-3.(2020•全国•高三对口局考)已知〃尤)=《、③，其中。>0且awl,若y(3)=2,/(-1)=3,

[a,x<0

则〃/(-3))=.

【答案】4

【分析】依题意得到方程组，即可求出。、6的值，从而得到函数解析式，再根据分段函数解析式计算可得.

1

flog,3+Z>=2a=

【详解】解：因为/(3)=2,/(-1)=3,所以手，所以3,

=3

b=1

log3x+l,x>0

所以/(X)=]fj

,x<0

所以/(_3)=1)=27,所以/(7(一3))=/(27)=log327+l=4；

故答案为：4.

题型三：对数函数的定义域、值域问题

【典例分析】

例3-1.(2023•全国•高三对口高考)函数y=如二匚的定义域是()

Ig(sinx)

A.[-4,4]B,-4,-|-^U^,4

C.[―4,—兀)U(。㈤D.[—4,—n)Ijfo,—'j,31

【答案】D

【分析】列出使函数有意义的不等式组求解即可.

16-x2>0-4<x<4

【详解】>=普高有意义满足,

sinx>0即<2kli<x<兀+2E,(左£Z),

lg(sinx)w071_,

xw—+2E

I2

解得xe[-4,-7t)uf0,-|-luf

故选:D

例32（2022秋•江苏南京•高三校考阶段练习）已知〃x）=log0x+log.（4-x）（a>0且"1）,且"2）=2.

⑴求°的值及的定义域;

~7~

⑵求“X）在1,-上的值域

【答案】（Da=2,（0,4）

(2)[log27-2,2]

【分析】（1）根据f（2）=2求出参数。的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组,

即可求出函数的定义域；

「7-

(2)由(1)可得/(x)=log2[-(x-2)2+4],设«)-2)2+4,xe1,-,根据二次函数的性质求出f(x)

的取值范围，从而求出的值域.

【详解】⑴解：由〃2)=2得log,2+log.(4-2)=2,即21og〃2=2,所以log〃2=l,解得。=2,

所以Tog2x+log?(4-x),

fx>0/、/、

由4T>0'解得°<x<4,故“X)的定义域为(0,4)；

(2)解：由(1)及条件知/'(*)=1082彳+1082(4-》)=1082武4-》)=1082[-0-2)2+4],

-71

设《％)=-(％-2)2+4,xe1,-,则当元=2时，《犬)1mx=4,

77

当％=1时，(%)=3；当冗=5时，/(%)="

7-17「7-

所以当xe1,5时,0mm=7,即《尤)6-,4,

7

所以/(%)max=1窕24=2,/(尤)1nhi=iOg2-=iOg2l-2,

7

所以“X）在1，-的值域为[1吗7-2,2].

【方法技巧】

1.确定对数函数或与对数有关的函数定义域，应注意：（1）对数的真数大于零；（2）对数的底数大于零且

不等于1；（3）当涉及多方面要求时，注意求“交集”.

2.对数函数的值域问题，往往利用复合函数的单调性.

【变式训练】

变式3-1.【多选题】（2023•广东•统考模拟预测）已知函数/'（同=皿/+》+时（meR）,贝|]（）

A.当机＞；时，的定义域为R

B.尤）一定存在最小值

C.“X）的图象关于直线户对称

D.当机“时，”X）的值域为R

【答案】AC

【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.

【详解】对于A：若机＞!，则A=l-4/n＜0,则二次函数y=x?+x+机的图象恒在x轴的上方，

即炉+》+加＞0恒成立，所以“尤）的定义域为R,故A正确；

对于B：若m=0,则〃到=111任+%）的定义域为（—,-1）50,小），值域为R,没有最小值，故B错误;

对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，

将该函数的图象向左平移5个单位长度即可得到函数〃x）=ln[+£]+加-1=ln（Y+x+时的图象，

此时对称轴为直线尤=-g,故C正确；

对于D：若m2,则y=x2+x+m=[x+g：+m—；2j,故〃x）的值域不是R,故D错误.

故选：AC

变式3-2.（2023春.北京东城.高三北京市第十一中学校考阶段练习）函数〃出=47^+111（2-制的定义域

为.

【答案】［T,2）

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，由此可解得函数/■"）的定义域.

【详解】对于函数〃x）=VI^+ln（2-x）,有，解得TWx<2.

故函数〃尤）的定义域为［-1,2）.

故答案为：［T,2）.

题型四：对数函数的图象及其应用

【典例分析】

例4-1.（2019浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数y=，,y=log〃x+g（a〉O且awO）的图象

可能是（）

【解析】

当0<。<1时，函数丁=废过定点（0,1）且单调递减，则函数y='-过定点（0,1）且单调递增，函数

ax

y=log”+过定点（1,0）且单调递减，D选项符合；当a>1时，函数y=优过定点（0,1）且单调递增，

则函数y=，过定点（0,1）且单调递减，函数y=logfl［x+g］过定点（g,0）且单调递增，各选项均不符合.

综上，选D.

例4-2.（2022秋・福建宁德•高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数＞=1。8”（》-3）+2（。＞0且

"D的图象恒过定点尸，点尸在幕函数y=