2025版高考数学一轮总复习：函数模型的应用

第函数模型的应用

■课程标准

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具；在实际情境中，会选择合适的函数类型

刻画现实问题的变化规律.

2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解

“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.

3.感悟数学模型中参数的现实意义.

LI_____知___识____•_逐____点___夯____实___口_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_____必__备__知___识_____系__统__梳__理____基___础__重__落__实_____…___________课__前__自___修_

知识梳理

1.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型/(x)=ax+b(〃，/?为常数，)

反比例函数模型于（x）=^+b（左，b为常数，kWQ）

二次函数模型f(x)=ax1+bx+c(〃，。，c为常数，)

函数模型函数解析式

指数函数模型/(x)=b〃+c(Q,,C为常数，〃>0且〃#1)

对数函数模型/(X)=blogax+c(Q,Z?,C为常数，#0,4>0且4W1)

幕函数模型/(x)=axn+b(4,b,〃为常数，〃WO)

对勾函数模型y=ox+g(。，b为常数，ab>0)

2.三种函数性质比较

类别y=ax(a>l)y=logaX(〃>1)y=(n>0)

在（0,+8）上的单调性单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X值增大,图象与_随尤值增大，图象与X轴

图象的变化随"值变化而各有不同

y轴接近平行接近平行

对点自测

1.判断正误.（正确的画“V,错误的画“X”）

（1）函数y=2,的函数值恒比的函数值大.（X）

(2)黑函数的增长速度比一次函数的增长速度快.(X)

(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.(X)

2.在某个试验中，测得变量x和变量y的几组数据如下表所示：

X0.501.092.013.98

y-0.990.010.982.00

则对尤，y最适合的拟合函数是()

A.y=2xB.y=f-1

C.y=2x-2D.y=log2X

解析：D在直角坐标系中，描点连线画出图象(图略)，观察图象知选D.

3.下面对函数〃无)=1。%尤与g(x)=()在区间(0,+8)上的衰减情况的说法中正确的是()

A/(无)的衰减速度越来越慢，g(无)的衰减速度越来越快

B.7(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢

C./(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢

D./(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快

解析：C在同一平面直角坐标系中画出/(x)与g(x)图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：/(x)衰减

速度越来越慢；g(无)衰减速度越来越慢，故选C.

4.(2024.寿光模拟)某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y(单位：桶)

与销售单价x(单位：元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为10

元.

解析：由题意得该桶装水经营部每日利润为W(尤)=(-30x+450)(x-5)-420=-30f+600x-2670=-

30(x-10)2+330,则当尤=10时，利润最大.

L考点•分类突破口------精选考点典例研析技法重悟通-课堂演练

1—

用函数图象刻画变化过程

考点一

(师生共研过关)

［例1］如图，一高为反目装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完

所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t,则函数h=f（t）的图象大致是（）

解析：B水匀速流出，所以鱼缸水深力先降低快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快.

解题技法

用函数图象刻画变化过程的2种方法

（1）构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象；

（2）验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实

际情况的答案.

G训练

已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,AABP的面

积为S,则函数S=〃x）的图象是（）

解析：D依题意知，当0WxW4时，/(x)=2x；当4<xW8时，/(x)=8；当8<xW12时，/(x)=24-2x,

观察四个选项知D项符合要求.

二次函数模型的应用

考点二

（师生共研过关）

［例2］为了给消费者带来放心的蔬菜，某地计划投入资金200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大

棚至少要投入资金40万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入产

（单位：万元），种黄瓜的年收入。（单位：万元）与各自的投入资金内，（单位：万元）满足

P=80+4后,。=32+120.设甲大棚的投入资金为x（单位：万元），两个大棚的总收入为〃尤）（单位：万

元），则〃x）的最大值为（）

A.282B.228

C.283D.229

解析：A当甲大棚的投入资金为x（单位：万元）时，乙大棚的投入资金为200-元（单位：万元），所以/（x）

,_1._fx>40,广

=80+4岳+士（200-尤）+120=-々+41+250,由《可得40WxW160,令f=《，贝（

44I

（200-%>40

2

ze[2V10,4V10],g（r）=-i?+4V2r+250=-;（t-8A/2）+282,因为8&G，4VIU],所以当

r=8V2,即x=128时，/（x）最大，为282.故选A.

解题技法

构建二次函数模型解决实际问题的注意点

（1）确定二次函数模型的解析式时，一般是借助已知点来确定，常用待定系数法；

（2）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

（3）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题.

0训练

某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%（即每销售100元征税R元），若年销售量为

（30-|我）万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,100%]

解析：A根据题意，要使附加税不少于128万元，则（30-翔X160XR%2128,整理得N-12R+32W0,解

得4WRW8.所以R的取值范围是[4,8],故选A.

对勾函数模型的应用

考点三

（师生共研过关）

【例3]在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区

域（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/n?,中间区域地面硬化以

方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/n?,设矩形的长为x（m）.

（1）求总造价y（元）关于长度x（m）的函数；

(2)当尤(m)取何值时，总造价最低，并求出最低总造价.

解：(1)由矩形的长为xm,得矩形的宽为出m,则中间区域的长为(尤-4)m,宽为(迎-4)m,定义域为xG

(4,50).

贝iJy=100(x-4)-4)+200X[200-(x-4)与-4)],

整理得y=18400+400(%+警)，(4,50).

(2)因为x+变N2.%=20也当且仅当尸变，即x=10迎e(4,50)时取等号.

xyXX

所以当尤=10近时，总造价最低为(18400+8000V2)元.

解题技法

应用函数模型/(X)="+;(M>o)的关键点

(1)明确对勾函数是由正比例函数/(x)=QX与反比例函数/(x)=g叠加而成的；

(2)解决实际问题时一般可以直接建立了(%)=ax+^(。。>0)的模型，有时可以将所列函数关系式转化为了

(x)=ax+-Cab>0)的形式；

X

(3)利用模型/(x)=办+5(4>0)求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件.

。学习讲义“第页|57

0训练

某专营店经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元

(9WxWll)时,一年的销售量为上万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费，一年的利润=一年

%-5

的销售量X售价-(一年销售桃酥的成本+一年的管理费)(单位：万元).

(1)求该专营店一年的利润工(单位：万元)与每袋桃酥食品的售价X的函数解析式；

(2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该专营店一年的利润L最大，并求出L的最大值.

解：(1)由题意知，该专营店一年的利润乙(单位：万元)与售价x的函数解析式为

x-5

(6X—+3x)=48(X-6)-3x,尤e[9,11].

x-5x-5

z、48(X-6)48z48z

(2)L=--------------3x=48----------3(JV-5)-15=33----------3(x-5),

x-5%-5x-5

因为9WxWll,所以a+3(x-5)22--3(x-5)=24,当且仅当上=3(x-5),

x-5x-5x-5

即x=9时，取等号，此时L最大，为9万元.

故当每袋桃酥的售价为9元时，该专营店一年的利润最大，且最大利润为9万元.

指数、对数函数与幕函数模型的应用

考点四

(师生共研过关)

[例4](1)(多选)(2023•新高考I卷10题)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,

定义声压级。=20义馆里，其中常数po(po>0)是听觉下限阈值，°是实际声压.下表为不同声源的声压级：

Po

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车iom处测得实际声压分别为Pl,P2,P3,贝II(ACD)

A.p会P2B.02>10p3

C.p3=lOOpoD.piW10022

(2)一个容器装有细沙acn?,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，rmin后剩余的细沙量为

(cnP),经过&min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.

解析：(1)由，=20XlgJ得A=R)X10私由题表中的数据可知poXUWpW’oXlO"R)X105W〃2Wa)><103,

Po

03=夕0义1O2=1OO〃O,故A、C正确；因为10〃3=10X1OO〃O=R)X1O32P2,故B错误；因为

5

pQXlO2^1OOp2^poX10,所以piWlOO,2,故D正确.故选A、C、D.

(2)当才=8时，y=ae~Sb=-a,所以e-勖=士容器中的沙子只有开始时的八分之一，即丁=恁-初=工〃，e-bt=-=

2288

(e-防)3=e-2%贝卜=24.所以再经过16min容器中的沙子只有开始时的八分之一.

解题技法

利用指数函数、对数函数与赛函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确

定参数，求解时要准确进行幕、指、对运算，灵活进行指数与对数的互化.

0训练

1.我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一

个强度为/的声波，其音量的大小n可由如下公式计算：n=ioig7(其中/。是人耳能听到声音的最低声波强度)，

则70dB的声音的声波强度ly是60dB的声音的声波强度/2的()

A.箱B.屈倍C.10倍D.ln绢

OOO

rri,

解析：C由n=101g；得/=7oio而，所以/1=/01。7,/2=/OK)6,所以勺=10,所以70dB的声音的声波强度/1是60

7012

dB的声音的声波强度，2的10倍.

2.某地镒矿石原有储量为。万吨，计划每年的开采量为本年年初储量的机（0（根<1,且“为常数）倍，那么第n

（“GN*）年开采完成后剩余储量为。（1-机）"万吨，按该计划方案使用10年时间开采到原有储量的一半.若开采

到剩余储量为原有储量的70%,则需开采约（参考数据：或M.4）（）

A.4年B.5年

C.6年D.8年

解析：B设第〃（”eN*）年开采完成后剩余储量为y万吨，则y=a（l-M",当”=10时，y—^a,所以，=。

1nn

（1-m）10,又〃>0,所以之=（1-m）叱1-进而产碓）1。.当y=70%〃时，卷=0°，

n

w=（2）10,即2=1。9是=1唯学1限1.4=现2企咛，故土5,故选B.

3.众所周知，大包装商品的成本要比小包装商品的成本低.某种品牌的饼干，其100克装的售价为1.6元，其400克

装的售价为4.8元，假定该商品的售价由三部分组成：生产成本、包装成本、利润.生产成本与饼干质量成正比目

系数为m,包装成本与饼干质量的算术平方根成正比且系数为n,利润率为20%,则该种饼干900克装的合理售价

为9.6元.

解析：设饼干的质量为x克，则其售价y（单位：元）与x之间的函数解析式为尸（3十〃«）（1+0.2）.由题

意得1.6=（lOOm+VlOOn）（1+0.2）,SP-=50m+5/i①，4,8=（400/n+V400n）（1+0.2）,即

100/n+5«=l②.由①②解得机=言，••产提十卷・当彳=900时，尸9.6.故这种饼干900克装的合理售价

为9.6元.

关键能力分层施练素养重提升-----------课后练习

LI______课___时____•_跟____踪___检____测____」____-__-_-__-_-_________________________________________________1__________

A级•基础达标

1.有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘.假设货

船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为尤（小时），货船距石塘的距离为y

（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）

解析：A分析图象可知选项A正确.故选A.

2.某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y（单位：毫克）与时间尤

（单位：时）的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中

选择一个估计y与尤的关系，则应选用的函数模型是（）

w毫克

*

•••

ol

A.y=〃x+b

B.y=a.G)+b(<7>0)

C.y=xa+b(A>0)

D.y=ax+-(a>0,b>Q)

解析：B由题图可知，函数在(0,十8)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数的图象

为一条曲线，且当。>0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.

3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)

=吴+2苫+20(万元).1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品的数量为()

A.36万件B.18万件

C.22万件D.9万件

解析：B利润L(x)=2Qx-C(x)=-|(x-18)2+142,当尤=18时，L(无)有最大值.故选B.

4.在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，每名感染者平均可传染的

人数.假设某种传染病的基本传染数为Ro,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种

过疫苗《称为接种率)，那么1个感染者传染人数为中(N-V).已知某种传染病在某地的基本传染数Ro=4,为

了使1个感染者传染人数不超过1,则该地疫苗的接种率至少为()

A.45%B.55%

C.65%D.75%

解析：D为了使1个感染者传染人数不超过1,只需与(.N-V)<1,即(14)WL因为&=4,所以1-

可得(》：=75%.故选D.

5.北京时间2023年5月30日9时30分，神舟十六号载人飞船发射成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大

速度v(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是v=2OOOln(1+?).按

照这个规律，当1000M=6〃z时，火箭的最大速度v约可达到(参考数据：In1.006=0.006)()

A.7.9km/sB.l1.2km/s

C.12km/sD.16.7km/s

解析：C因为v=2OOOln(1+竺)，当1000M=6加时，贝!|"=」一=0.006,所以v=2OOOln(1+0.006)=2

mm1000

OOOln1.006-2000X0.006=12km/s.故选C.

6.（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程/（x）（=1,2,3,4）关

于时间X（尤20）的函数关系式分别为力（X）=2"-1"（X）=/，力（X）=X，A（X）=log2（x+1）,则下列

结论正确的是（）

A.当尤>1时，甲走在最前面

B.当x>1时，乙走在最前面

C.当0<尤<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

解析：CD由题意知，甲、乙、丙、丁对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、

对数型函数模型.当x=2时，fi（2）=3,拉（2）=4,所以A不正确；当x=5时，力（5）=31,f2（5）=25,所

以B不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x=l时，甲、乙、丙、丁四个

物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<l时，丁走在最前面，当x>l时，丁走在最后面，所以C正确；指数

型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，

即一定是甲物体，所以D正确.

7.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广

告费A之间满足关系R=a6（a为常数），广告效应为D=ag-A那么精明的商人为了取得最大的广告效应，

投入的广告费应为12（用常数。表示）.

2

解析：令00）,则.\D=at--（t--a\+-O2,「・当/=工〃，即A=%时，。取得最大值.

\2/424

8.生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断.已知水中某

生物体内抗生素的残留量y（单位：mg）与时间f（单位：年）近似满足关系式尸4（1-3”），e0,其中力为

抗生素的残留系数，当f=8时，y=',则4:.

y4

解析：因为（1-3-81）,所以3-8，W=3-2,解得4小

994

9.（2024・永州模拟）某驾驶员喝酒后血液中的酒精含量/（x）（毫克毫升）随时间x（小时）变化的规律近似满

2o<x<1

足表达式/（X）=,八、；——’《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量

Is（0，久>1，

不得超过0.02毫克星升，此驾驶员至少要过，小时后才能开车.（精确到1小时）

解析：当OWxWl时，由/（x）W0.02,得5*-2WO.O2,解得尤W2+log50.02=log50.5<0,不符合题意；当x>l

时，由了（无）W0.02,得|•GyW0.02,即31-xWO.l,解得-log3。」=l+log310.因为3<l+k»g310<4,所以

此驾驶员至少要过4小时后才能开车.

10.某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于年投资成本的10%时，则该企业就考虑转

型，下表显示的是该企业几年来年利润y（百万元）与年投资成本X（百万元）变化的一组数据：

年份2020202120222023…

年投资成本彳35917…

年利润y1234…

给出以下3个函数模型：@y^kx+b(20)；②了=心(aWO,b>0,且6W1);③y=log.(x+b)(a>0,且

a#l).

(1)选择一个恰当的函数模型来描述x,y之间的关系；

(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型.

解：(1)将(3,1),(5,2)代入y=fcc+6(50),

r(1

1=3k+b,k

得(解得《2・•・》=341

v2=5k+b',Ib=-2,

当x=9时，y=4,不符合题意；

将(3,I),(5,2)代入y=a"(aWO,b>0,且。Wl),

(._,3(_V2

1=Ctb^,ICL——B、_yx-3

得］解得|4.r,.y=y-(V2)=2..

2=abs,(b=V2,

9-3

当x=9时，y=2h=8,不符合题意；

将(3,1),(5,2)代入y=logq(x+b)Ca>0,且〃¥1),

1=log(3+b)

得a解得4

2=5

.•.y=log2(x-1).

当x=9时，y=log28=3；

当x=17时，y=log216=4.

故可用③来描述羽y之间的关系.

(2)令log2(x-1)26,贝1x265.

・,・该企业要考虑转型.

B级•综合应用

11.农业农村部发布2024年农区蝗虫防控技术方案.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的

日增长率为6%,最初有No只，则能达到最初的1200倍大约经过(参考数据：In1.06-0.0583,In1200-7.0901)

()

A.122天B.124天

C.130天D.136天

解析：A由题意可知，蝗虫最初有M只且日增长率为6%.设经过〃天后蝗虫数量达到原来的1200倍，则

n

N0(i+6%)=1200,；.L06"=l200,...w=logiod200=整翌刃21.614,：/CN*,.,.大约经过122天能达到最初

NQ°lnl.06

的1200倍.

12.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血

液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含

药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，贝II()

A.〃=3

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小