2024-2025学年人教版九年级数学上册 第21章 一元二次方程 章节测试题

21.1—兀二次方程

测试时间：15分钟

一、选择题

1.（2023河北保定期末）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax^+bx+c-O（a>b、c是常数）B.2%2+3%-l=2（%2-4）

1

（24+2=0D.4/+-=5

X

2.（2023四川达州达川期末）一元二次方程3f+l=5x的二次项系数，一次项系数，常

数项分别是（）

A.3,5,1B.3,1,5C.3,-5,1D.3,1,-5

3.（2023青海西宁城西期末）若根是方程%2+%-1=0的根，则2m2+2m+

2022的值为（）

A.2024B.2023C.2022D.2021

4.（2023福建泉州期末）某足球赛小组内比赛采用单循环制,即每支球队必须和其

余球队比赛一场•现4组有％支球队参加，共比赛了28场，则下列方程中符合题意

的是（）

1

A.%（%-1）=28B.-x（x-1）=28

C.3（%+1）=28D.%（%+1）=28

二、填空题

5.（2022广东中考）若x-1是方程%2-2%+Q=0的根，则a~.

6.已知％修-2-Vl-kx+|=0是关于％的一元二次方程，则k的值为.

三、解答题

7.把方程(3%+2)(%-3)=2%-6化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常

数项.

8.已知关于x的方程加+1)%+机=0.

⑴当机为何值时，此方程是一元一次方程？

⑵当机为何值时，此方程是一元二次方程?并写出一元二次方程的二次项系数、

一次项系数及常数项.

9.已矢口%3%+3%-10=0和x3b-4+6%+8=0者B是一元二次方程,

2023

求(直—•x/b)X(Va+迎)2。24的值.

21.2解一元二次方程，21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

测试时间：10分钟

一、选择题

1.（2023天津津南期末）一元二次方程/=2的解为（）

A.%1=VX%2=-夜B.%I=L%2=2

C.%i=%2=gD.xl=x2=-V3

2.（2023河北唐山路北月考）关于％的方程（.2）2=1一根无实数根，那么m满足的条件

是（）

A.tn>2B./w<2C.m>lD.m<l

3.（2022湖北恩施州咸丰期末）如果5是关于%的方程％2-c=0的一个根，那么这个方

程的另一个根是（）

A.25B.-25C.-5D.V5

4.（2022河北沧州南皮月考）老师出示问题:“解方程P4=0.”四位同学给出了以下

答案：

甲：％=2；乙:％1=取=2；丙:%I=%2=-2；丁：xi-2,X2--2.

下列判断正确的是（）

A.甲正确B.乙正确C.丙正确D.丁正确

二、填空题

5.（2023福建三明尤溪期中）对于解一元二次方程（X+3）2=4,通过降次转化为两个一

元一次方程，其中一个一元一次方程是X+3=2,则另一个一元一次方程是

6.小明设计了一个如图所示的实数运算程序,若输出的数为5,则输入的数％

为.

输入乂-*区一

三、解答题

7.解下列方程：

⑴2/=16；

(2)3炉-1=26；

(3)2(X-1)24

O

8.李老师在课上布置了一个如下的练习题：

若伊+广3)2=16,求f+y2的值.

看到此题后,晓梅立马写出了如下的解题过程:

解::年+产3尸=16,①

.,.%2+y2-3=±4,②

.,.x2+y2-l或.③

晓梅上述的解题步骤哪一步出错了？请写出正确的解题步骤.

21.2.1配方法，第2课时配方法

测试时间：15分钟

一、选择题

1.（2022山西晋中寿阳月考）用配方法解一元二次方程％2+8下一7,下一步骤正确的是

（）

A.A2+8X+42=-7+42B.X2+8X+42=-7

C.f+8%+82=-7D.jr+8x+82=-7+82

2.（2022湖北恩施州期末）用配方法解下列方程，其中应在方程的左右两边同时加

上4的是（）

A.F2%=5B.x2+4x=5C.x2+2x-5D.2x2-4x=5

3.（2023河南南阳卧龙期末）用配方法解一元二次方程X2_6%-4=0,变形后的结果正

确的是（）

A.（%-6）2=-5B.（X-6）2=5

C.（X-3）2=13D.（X-3）2=5

4.（2022河北沧州南皮月考）已知方程P6%+4=口，等号右侧的数字印刷不清楚.若

可以将其配方成（%-〃）2=7的形式，则印刷不清的数字是（）

A.6B.9C.2D.-2

二、填空题

5.（2023广东佛山南海期中）用配方法解方程f-4%-3=0,配方得（%+加）2=7,则常数m

的值是.

6.（2023陕西汉中宁强期末）如果方程^+以+八=。可以配方成（%+加＞=3,那么（"-加）2

023-

三、解答题

7.用配方法解下列方程:

⑴/+12%-15=0；

(2)3^-5x=2；

(3)$2_%_4=0.

8.（2023广东惠州惠阳开学测试）用配方法解一元二次方程：2%2+3%+l=0.小明同学

的解题过程如下:

解：「+|%+1=0,

?3,99,1„

三+-XH------1--=0,

2442

%+代

,3,V7

%+—=+——,

2—2

3+V73-V7

XI~~--------,X2~~--------.

22

小明的解题过程是否正确?若正确，请回答“正确”;若错误，请写出你的解题过程.

9.（2023河南周口沈丘期末）阅读材料:在求多项式X2+4X+8的最小值时，小明的解

法如下：炉+4%+8=X2+4%+4+4=（%+2）2+4,因为（%+2尸20,所以（%+2尸+424,即/+4%+8

的最小值为4.请仿照以上解法，解决以下问题：

⑴求多项式2x2+16x+20的最小值;

⑵猜想多项式-%2+12%-25有最大值还是最小值，并求出这个最值.

21.2.2公式法

测试时间：15分钟

一、选择题

1.一元二次方程2%2+3%-5=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

2.（2023上海黄浦期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）

A./+L%B.（%-2）2=5,C.X2+2X-0D.2X2-V2X+1=0

4

3.（2023河北沧州东光月考）若下列方程都存在实数根，则以%=一5±y铳为根的是

A.x2-5x-c=0B.x2+5x-c=0C.x2-5x+c=0D.x2+5x+c=0

4.（2022青海西宁中考）关于％的一元二次方程2%2+%一仁0没有实数根，则k的取值

范围是（）

1111

A.k<—B.左W--C.k>—D.左2—

8888

二、填空题

5.（2022江苏徐州中考）若一元二次方程x2+x-c=0没有实数根，则c的取值范围

是.

6.（2022广东佛山三水开学测试）方程2%2一10%=3的解是.

7.等腰三角形的两边长是方程％2_2岳+1=0的两根，则它的周长为.

三、解答题

8.用公式法解下列方程：

(l)x2-x-2=0；

(2)3X2+1=2V3X；

(3)2(x-1)2-(x+1)(1-%)=(x+2)2.

9.小明在解方程P5%=1时出现了错误，解答过程如下：

。=1力=-5,c=L(第一步)

.,./=62-4ac=(-5)2-4x1x1=21,(第二步)

...产弯马(第三步)

.•.%]=手,%2=手.(第四步)

⑴小明的解答过程是从第步开始出错的，其错误原因

是；

⑵写出此题正确的解答过程.

10.(2023四川成都金牛期末)已知关于工的一元二次方程炉+(2加+1)%+病+1=0.

⑴若方程有实数根,求实数m的取值范围；

⑵若方程一实数根为3求实数m的值.

21.2.3因式分解法

测试时间：15分钟

一、选择题

1.(2023山东青岛市南期末)方程好=2%的根是()

A.%=2B.x=0C.%I=-2,%2=0D.%I=0,%2=2

2.(2023湖南郴州汝城期末)方程%(%-3)=%-3的解是()

A.x-3B.XI=0,%2=3

C.%I=L%2=3D.%I=L%2=-3

3.(2023湖南娄底涟源期中)若方程x2+px+q^0的根是制=2和检=3,则代数式x2-

p%+q可分解因式为()

A.(x-2)(x-3)B.(x+2)(x+3)

C.(x+2)(x-3)D.(x-2)(x+3)

4.若直角三角形的两边长分别是方程％2一7%+12=0的两根，则该直角三角形的面积

是()

A.6B,12C12或处D.6或迫

22

二、填空题

5.(2022海南海口期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+c^0的两个实数根分别

为2和-3,分解因式U2+Ox+c：.

6.方程(%-加)(%-3)=0和方程PZY-BR同解，则m-.

7.(2023广东深圳龙岗期末)规定:在实数范围内定义一种运算“◎:其规则为。©

b=a(a+b),则方程(%-2)◎7=0的根为.

三、解答题

8.(2021甘肃庆阳镇原期末)解方程：

⑴(2%+3)2-81=0；

⑵产7y+6=0；

(3)x(2%+1)=2%+1.

9.多项式乘法：(%+“)(X+份=炉+3+如+她将该式从右到左使甩即可得到“十字相乘

法”分解因式的公式：%2+(。+与%+。人=(%+。)(%+》).

^^!l^ft?l3^lx2+5x+6=A2+(2+3)x+2x3=(x+2)(x+3).

⑴尝试:分解因式：X2+6%+8=(%+)(%+)；

⑵应用:请用上述方法解方程:炉-3/4=0.

10.小明与小霞两位同学解方程3(%-3)=(X-3)2的过程如下:

小霞：

小明：移项，得3(%-3)-(%-3)2=0,

两边同除以(%-3),得3=%-3,提取公因式，得(%-3)(3-%-3)=0,

则x-6.则X-3=0或3-%-3=0,

解得％I=3,%2=0.

请你分别判断他们的解法是否正确，若都不正确，请写出你的解答过程.

11.(2022河北唐山期中)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂

住了一部分，形式如下：

⑴当％=1时，求所捂部分的值；

⑵若所捂部分的值为0,求％的值；

⑶若所捂的部分为2%2_%+10,求％的值.

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

测试时间：15分钟

一、选择题

1.设%1,%2是一元二次方程%2-2%-3=0的两个根，则％1+%2的值为（）

A.-2B.-3C.2D.3

2.（2023河北石家庄桥西期末）已知2是关于%的一元二次方程％2_6%+C=0的一个

根,则另一个根是（）

A.2B.3C.4D.8

3.已知关于％的一元二次方程％2一2%+9=0有两个不相等的实数根%则（）

A.XI+%2<0B,XI%2<0C.X1%2>-1D.XI%2<1

4.已知关于x的一元二次方程x2-kx+k-3-0的两个实数根分别为孙孙且就+蜷=5,

则上的值是（）

A.-2B.2C.-lD.1

5.在解一元二次方程x2+px+q^0时，小红看错了常数项/得到方程的两个根分别

是-3,1.小明看错了一次项系数p,得到方程的两个根分别是5,-4,则原来的方程是

（）

A.A2+2X-3=0B.X2+2X-20=0

C4-2X-20=0D.X2-2X-3=0

二、填空题

6.（2022湖南娄底中考）已知实数孙%2是方程%2+%一1=0的两根，则％次2=.

7.已知m,n是一元二次方程X2_3X-2=0的两个根，则工+工=

mn

8.（2023山东荷泽东明期末）若一元二次方程X2+2X-2025=0的两个根分别为m,n,

则代数式m2+3m+n的值为.

三、解答题

9.（2023湖北恩施州月考）已知方程P3x+l=0的两个根分别为xi和应不解方程,

求下列各式的值：

（1）（X1-1）（X2-1）；

⑵上+—

%1+1x2+l

10.（2022北京海淀期末）已知关于％的一元二次方程x2+（2-m）x+l-m^0.

⑴求证:该方程总有两个实数根；

⑵若机＜0,且该方程的两个实数根的差为3,求m的值.

21.3实际问题与一元二次方程，第1课时传播问题与单、双循环问题

测试时间：15分钟

一、选择题

1.（2023重庆江津期末）奥密克戎是新冠病毒的变异毒株，传染性强,有一人感染了

此病毒，未被有效隔离,经过两轮传染，共有196名感染者,在每轮传染中，设平均一

个人传染了工人,则可列方程为（）

A.l+%=196B.（1+X）2=196

C.l+%2=196D.l+%+%2=196

2.（2022四川自贡期末）距期末考试还有20天的时候，为激励大家，班主任要求班上

每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”

学习小组共写了30份留言，则该学习小组共有学生（）

A.4人B.5人C.6人D.7人

3.（2022湖南长沙岳麓模拟）为了宣传垃圾分类,小明写了一篇倡议书，决定用微博

转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请

n个好友转发，每个好友转发之后，又各自邀请n个互不相同的好友转发，依此类推.

已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）

A.9B.10C.llD.12

4.（2023广东佛山南海月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践中,发现一种植物

的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小

分支的总数是57,则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（）

A.8B.7C.6D.5

二、填空题

5.（2023北京西城月考）参加活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握

手10次,有多少人参加活动?设有工人参加活动，可列方程为

6.（2023天津红桥期末）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员

各赠送一件,全组共赠送了210件，则全组共有名同学.

三、解答题

7.（2022陕西宝鸡凤翔期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人患上流

感.假设在每轮的传染中平均一个人传染了％个人.

⑴第二轮被传染上流感的人数是；（用含％的代数式表示）

⑵在进入第二轮传染之前,如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后

是否会有81人患上流感的情况发生?请说明理由.

8.某生物实验室需培育一群有益菌，现有90个活体样本，经过两轮培育后,总和达

36000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.

⑴每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌？

⑵按照这样的分裂速度,经过三轮培育后有多少个有益菌?

21.3实际问题与一元二次方程，第2课时增长率问题与销售问题

测试时间：15分钟

一、选择题

1.（2022重庆中考B卷）学校连续三年组织学生参加义务植树,第一年共植树400

棵,第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为无根据题意，下列方程

正确的是（）

A.625（l㈤2=400B.400—25

C.625%2=400D.400%2=625

2.在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字

增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为％，根

据题意，所列方程正确的是（）

A.100（l+x）2=121B.100x2（l+%）=121

C.100（1+2%）=121D.100（1+X）+100（1+X）2=121

3.（2023河北邢台南宫期末）2022年7月至9月，市场上某款新能源汽车的售价由

260000元/两下降到210600元/两，则该款汽车售价的月平均下降率是（）

A.5%B.10%C.15%D.20%

4.（2023广东深圳南山期末）超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千

克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克,如果超市要保证每天

盈利6000元，则每千克应该涨价（）

A.15元或20元B.10元或15元

C.10元或20元D.5元或10元

二、填空题

5.据统计,2023年宜宾市第一季度实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季

度实现地区生产总值960亿元,设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为

%,则可列方程为.

6.商场某种商品进价为120元/件，当售价为130元/件时，每天可销售70件;当售价

高于130元/件时，每件商品每涨价1元，日销售量就减少1件.据此，当售价为

元/件时，商场每天盈利可达1500元.

三、解答题

7.（2023广东广州海珠为明学校开学测试）某共享汽车租赁公司年初在某地投放了

一批共享汽车，全天包车的租金定为每辆120元.据统计，三月份的全天包车数为

25,在租金不变的基础上，四、五月份的全天包车数持续走高,五月份的全天包车数

达到64.

⑴若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均

增长率；

⑵从六月份起，该公司决定降低租金,尽可能地让利于顾客，经调查发现，租金每降

价1元，全天包车数增加L6,当租金降价多少元时，公司将获利8800元?

8.某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元,并且每

次降价的百分率相同.

⑴求该商品每次降价的百分率；

⑵若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将该商品库存的

20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，则第一次降价至少

售出多少件后，方可进行第二次降价？

21.3实际问题与一元二次方程，第3课时图形问题

测试时间：25分钟

一、选择题

1.（2023广东广州番禺期末）如图，有一张长为12cm,宽为9cm的矩形纸片,在它的

四个角各剪去一个同样大小的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体纸盒.若纸

盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm1求剪去的小正方形的边长.设剪去的小正

方形的边长是％cm,根据题意，可列方程为（）

A.12x9-4x9x=70B.12X9-4X2=70

C.(12-x)(9-x)=70D.(12-2x)(9-2x)=70

2.（2023湖南衡阳衡山期末）如图，将一块正方形空地划出部分区域（图中阴影部分）

进行绿化，剩余的矩形空地面积为30nP,则原正方形空地的边长为（）

C.8mD.9m

3.（2022山西太原期末）学校计划在长为12m,宽为9m的矩形地块的正中间建一

座劳动实践大棚，大棚是占地面积为88ri?的矩形.建成后，大棚外围留下宽度都相

同的区域，这个宽度应设计为（）

A.1.8mB.1.5mC.lmD.0.5m

4.（2022浙江绍兴竦州期末）空地上有一堵长为a米的旧墙MN,利用旧墙和木栏围

成一个矩形菜园（如图1或图2）,已知木栏总长为40米,所围成的菜园面积为S平

方米.下列说法错误的是（）

图」图2

A.若。=16,5=196,则有一种围法，B.若a=20,5=198,则有两种围法

C.若a=24,S=198,则有两种围法，D.若a=24,S=200,则有一种围法

二、填空题

5.（2022浙江衢州中考）将一个容积为360cn^的包装盒剪开铺平,纸样如图所示.利

用容积列出图中％（cm）满足的一元二次方程:（不必化简）.

--------20cm-------►

-J_©

15cm

6.（2022浙江台州仙居期末）如图，在一块长为22m,宽为14m的矩形空地内修建

三条宽度相等的小路，其余部分种植花草.若花草的种植面积为240m2,则小路的

宽为m.

三、解答题

7.如图，某居民小区改造，计划在居民小区的一块长50米，宽20米的矩形空地内修

建两块相同的矩形绿地，使得两块矩形绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道,

且两块矩形绿地的面积之和为原矩形空地面积的|,那么人行通道的宽度是多少米?

50米

8.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长为11米）,另三面用篱笆围成如图所示的矩形花圃.

⑴如果要围成面积为64平方米的花圃，那么AD的长为多少米？

⑵能否围成面积为80平方米的花圃?若能，求出AD的长;若不能，请说明理由.

AB

21.1—兀二次方程

答案全解全析

1.答案CA项4=0时簿%2+云+c=o不是一元二次方程;B项,整理得3%+7=0,不是

一元二次方程;C项£+2=0是一元二次方程;D项,4%2+工=5是分式方程.故选C.

X

2.答案C化为一般形式为3%2一5%+1=0,.•.二次项系数，一次项系数，常数项分别

是3,-5」.故选C.

3.答案A•根是方程/+%-1=0的根,zw2+m-l=0,nr+m-1,2m2+2m+2

022=2(77，+M+2022=2X1+2022=2024.故选A.

4.答案B根据题意得|%(%-1)=28.故选B.

5.答案1

解析把x-1代入方程%2-2%+。=0中，得1-2+。=0,解得a-1.

6.答案-2

解析由％小一2一Ni—kx+|=0是关于％的一元二次方程，得乃-2=2,且1-左20,解

得k=-2.

7.解析去括号，得3x2-9x+2x-6-2x-6,

移项，合并同类项，得3%2-9尸0,

所以它的二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是0.

8.解析(1)根据一元一次方程的定义可知m2-l=0,-(/w+l)#0,

解得m-1,

，当机=1时，此方程是一元一次方程.

⑵根据一元二次方程的定义可知m2-l#0,

解得加W±1,•••当机W±1时,此方程是一元二次方程.

此时一元二次方程的二次项系数为机24,一次项系数为一(加+1),常数项为m.

9.解析由题意得3-。=2,即a=l；

3。-4=2,即b-2.

(V^-W023x(VH+Vb)2024

=[(VH+V^)(V«—Vb)]2023x(Va+VF)

-[a-b)2023(V«+Vb),

把a-l,b-2代入，

得原式=(1-2)2。23*(1+&)=一1一金.

21.2解一元二次方程

21.2.1配方法

第1课时直接开平方法

答案全解全析

1.答案A炉=2,开方得％=±近,即％i=VX%2=-&.故选A.

2.答案C当l-m<0时，方程无解，即机>1.故选C.

3.答案C将％=5代入方程，得25-c=0,解得c=25,，方程为炉一25=0,则x2=25,

.,.x-5或％=-5,即这个方程的另一个根为％=-5.故选C.

4.答案D•.•X2-4=0,则％1=2阳=-2,...丁正确.故选D.

5.答案X+3--2

解析(%+3尸=4,%+3=±2,%+3=2或％+3=-2.

6.答案士乃

解析依题意知％2-1=5,；.%2=5+1,.,.%2=6,尸土e,贝！J输入的数％为土泥.

7.解析⑴二次项系数化为1,得X2=8,

开平方，得户±2近，

%1=2应陷=-2夜.

⑵移项、合并同类项，得3%2=27,

二次项系数化为1,得炉=9,

开平方，得户±3,

.".%I=3,X2—3.

⑶两边同时除以2,得(%-1)2=9

16

开平方，得％-1=±!

4

・53

・二一,二一.

•114124

8.解析第③步出错了，正确解题步骤如下：

,.•(iX2+产3尸=16,

.*.x2+y2-3=±4,

*.,x2+y2^O,

.,.x1+y2-l.

21.2.1配方法

第2课时配方法

答案全解全析

1.答案A由炉+8户-7,得％2+84+42=7+42.故选A.

2.答案B选项A中，配方，得X2_2%+1=5+1,即(%-1)2=6,不合题意;选项B中,配方，

得％2+4%+4=5+4,即(X+2尸=9,符合题意;选项C中，配方，得％2+2%+1=5+1,即(%+1>=6,

不合题意;选项D中，方程化为X2-2%=|,配方，得P2%+1=|+1,即(%-1)2=1不合题意.故

选B.

3.答案C%2-6%-4=0,酉己方得炉-6%+9=4+9,即(%-3/=13.故选C.

4.答案C设印刷不清的数字是a,(%-p)2=7,即％2-22%+〃2=7,.,.%2_2川=7-〃2,;.X2_

2.+4=11-比•.•方程炉_6%+4=口的等号右侧的数字印刷不清楚且可以将其配方成

(x-p)2=7的形式,...-2〃=-6,a=ll-p2,.\p=3,a=ll-32=2,即印刷不清的数字是2,故选C.

5.答案-2

解析方程炉-4%-3=0,移项，得炉-4%=3,配方，得炉-4%+4=3+4,J(x-2)2=7,/.m--2.

6.答案-1

解析方程x2+4x+n-0移项，得/+4%=-",配方，得x2+4x+4-4-n,即(%+2)2=4-八,又

（x+m）2=3,JHZ=2〃=1,则（小7力2023=（1，2）2°23—1.

7.解析⑴移项，得％2+12%=15,

配方，得^+12%+62=15+62,

即(X+6)2=51,

x+6=±V51,

解得XI=-6+V5T,X2=-6-V51.

⑵方程两边都除以3,得F|%=

配方，得「|%+(一|)2=|+(一|：

即(T)V.

.5,7

••X—=±

66

解得X1=2,X2=-^.

⑶方程两边都乘4,得x2-4x-16=o,

移项，得x2-4x=16,

配方，得/-方+(-2)2=16+(-2)2,

即(X-2尸=20,

X-2=±2A/5,

解得％1=2+2芯,%2=2-2芯.

8.解析小明的解题过程不正确,

正确的解题过程如下：

原方程可化为小枭+乂),

移项，得x2+|x=

配方，得，|%+G)2=后+(丁

即k+…

开方，得x+1=±3

44

即x+---或％+-=—

4444

解得XI—1,%2=-1.

9.解析(I)'.,2x2+16x+20=2(x2+8x+16)-12=2(x+4)2-12,i(x+4)2^0,

得2(x+4)2-12^-12,

•••多项式2x2+16x+20的最小值是-12.

(2)-x2+12x-25=-(x2-12x+36)+ll=-(x-6)2+l1,

*.'-(X-6)2^0,

多项式-X2+i2%-25有最大值，最大值为IL

21.2.2公式法

答案全解全析

1.答案B一元二次方程2%2+3%-5=0中,/=32-4*2*(-5)=49>0,.\该方程有两个不

相等的实数根.故选B.

2.答案AA项,%2j+；=o/.z=Gi)2_4xlx；=O,.♦.方程有两个相等的实数根;B

44

项,%2_4%一1=0,•.•/=G4)2-4XG1)=20>0,...方程有两个不相等的实数根;C^,x2+2x=0,

Vj=22-4xlx0=4>0,.,-方程有两个不相等的实数根;D项,2炉一岳+1=0,•.•/=(一方>一

4x2xl=-6<0,.••方程没有实数根.故选A.

3.答案BA项，此方程的根为广誓匣,不符合题意;B项,此方程的根为

%=制更生，符合题意;C项,此方程的根为产迫笋，不符合题意;D项，此方程的

根为产乌笠毛不符合题意.故选B.

4.答案A关于x的一元二次方程2x2+x-k^0没有实数根,••./<(),•••12_4X2X(-

女)<0,

••.1+8左<0,，左<二.故选A.

8

5.答案c<[

4

解析根据题意得/=12+4c<0,解得c<--.

4

5+V315-V31

6.答案X1------------,X2~----------

22

解析原方程移项，得2x2-10x-3=0,VJ=(-10)2-4X2X(-3)=100+24=124,

._1O±V1Z4_1012V31_5±V31

••X———=i

442

.5+V315-V31

..Xl----------,X2~---------.

22

7.答案3V2+1

解析解方程%2-2V&+l=0,得XI=V2+1,%2=应-1."

等腰三角形的两边长是方程%2-2缶+1=0的两根,..•等腰三角形的三边长分别

为①夜+L&+L加一1^@V2+1,V2-1,V2-l.vV2+1>V2-1+V2-l,.*.(2)

不能构成三角形,..•等腰三角形的三边长分别为企+1,企+1,企」.♦•它的周长为

3V2+1.

8.解析⑴a=l力=-l,c=-2,

A-b2-4ac-{-1)2-4x1x(-2)=9>0,

.-&±Vb2-4ac1±V91±3

••AY,—____________—______—____,

2a22

.*.X1=2ZX2-1.

⑵整理，得3P2信+1=0,

。=3力=-2遮(=1,

/=。2-4。。=(-2遮)2-4*3义1=0,

.2V3±V0

■・x二-----,

2X3

•遮

..Xi=X2=—.

3

⑶整理，得2%2一8%-3=0,

a=2,b=-8,c=-3,

/=02-4QC=(-8)2-4X2X(-3)=88,

._8±2A/22_4±V22

••X——,

2X22

・4+V224-V22

..X\-----------,%2=-----------

22

9.解析(1)一;没有将原方程化成一般形式.

⑵将原方程化为一般形式为x2-5x-l=0,

A=Z?2-4ac=(-5)2-4x1x(-1)=29.

.5±V295+V295-V29

..%=----，R即nXl--------,X2~-------.

222

10.解析⑴力=2冽+1(=7序+1，方程有实数根,

A-(2m+l)2-4xl-(m2+l)=4m-320,

4

即实数机的取值范围为加三2.

4

⑵方程一实数根为3

贝I」9-6m-3+m2+l=0,

.".m2-6m+7=0,

m2-6m+9-2,(;w-3)2=2,

mi=3+V2,m2=3-V2,

由⑴得当根三?寸，方程有实数根，

•••两个解都符合题意，

实数m的值为3+&或3-夜.

21.2.3因式分解法

答案全解全析

1.答案D%2=2%,移项，得/_2%=0,因式分解，得%(%-2)=0,则有％=0或%-2=0,解得

%I=0,%2=2.故选D.

2.答案C原方程移项，得%(%-3)-(%-3)=0,因式分解，得(%-3)(%-1)=0,解得XI-1,X2-3.

故选C.

3.答案B•.,方程x2+px+q-0的根是xi-2和X2-3,.,.x2+〃%+q=(%-2)(%-3),贝(J

12

x+px+q-x-5x+6l.•.p=-5,q=6,.,.%2-〃%+^=%2+5%+6=(%+2)(%+3).故选B.

4.答案D方程％2一7%+12=0,因式分解，得(%-3)(%-4)=0,解得％=3或%=4.①当长是4

的边是直角边时，该直角三角形的面积是京3义4=6；②当长是4的边是斜边时，第三

边的长是年R=正，该直角三角形的面积是之x3x近=手.故选D.

5.答案U-2)(x+3)

解析•「关于％的一元二次方程f+fcv+c=0的两个实数根分别为2和-3,

x2+Z?x+c=(x-2)(x+3).

6.答案-1

解析解方程V-2%-3=0,得X1=3阳=-1,解方程(%-7力(%-3)=0,得xi-m,X2-3,

•方程(%-机)(%-3)=0和方程%2-2%-3=0同解,m--l.

7.答案XI-2,X2--5

解析由题意得(%-2)(%-2+7)=0,即(%-2)(%+5)=0,贝I」有x-2-O或X+5=0,解得XI-2,X2--

5.

8.解析⑴移项，得(2%+3/=81,

开平方，得2%+3=±9,

所以%I=3,%2=-6.

⑵因式分解，得61)66)=0,

所以y-1=0或y-6-O,

所以y1=1,>2=6.

(3)移项，得x(2x+l)-(2x+l)=0,

因式分解，得(2%+l)(x-l)=0,

所以2%+1=0或X-1=0,

解得即=-0.5,%2=1.

9.解析(1)2；4.

(2)^-3%-4=0,

X2+(-4+1)%+(-4)x1=0,

(x-4)(x+l)=0,

贝I%+1=0或％-4=0,

解得％=-1或%=4.

10.解析小明:错误;小霞:错误.

正确的解答方法：

移项，得3(%-3)-(%-3)2=0,

提取公因式，得(%-3)(3-%+3)=0,

则%-3=0或3-%+3=0,

解得X1=3阳=6.

11.解析⑴当x-1时,%2-5%+6=12-5xl+6=2,即所捂部分的值为2.

⑵根据题意得％2-5%+6=0,

因式分解，得(x-3)(%-2)=0,

BPx-3-O或x-2-Q,

解得X1=3阳=2,

即入的值为2或3.

⑶根据题意，得2x2-x+10=x2-5x+6,

整理,得^+4%+4=0,

即(X+2)2=0,

解得XI-X2--2,

即入的值为-2.

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系

答案全解全析

1.答案C在一元二次方程42-2%-3=0中,a=l力=-2,.,.%1+%2=-'=2.故选C.

a

2.答案C设方程的另一个根是内,丁2是关于x的一元二次方程％2_6%+C=0的

一个根,...2+%1=6,...％1=4,J该方程的另一个根是4.故选C.

3.答案D根据题意得％1+%2=2,4=(-2)2-47%>0,解得机<1,所以％1%2=7"<1.故选D.

4.答案D'•关于％的一元二次方程％2-丘+左-3=0的两个实数根分别为

2

X[+x2-k,X[X2-k-3.x1+%2~5,/.(XI+X2)-2XI%2=5,/.左2-2(攵-3)=5,整理得上?-2左+1=0,解

得左1=攵2=1.故选D.

5.答案B设此方程的两个根分别是a/,根据题意得a+/3--p--3+l--

2,a4=q=5x(-4)=-20,.，.p=2,•，.以a*为根的一元二次方程是/+2%-20=0.故选B.

6.答案-1

解析•方程x2+x-1=0中的。=LC=-1,...%1%2=£=-1.

a

7.答案-|

解析m,n是一元二次方程x2-3x-2-0的两个根,...m+〃=3,m"=-2,+-=

mn

m+n_3

mn2

8.答案2023

解析一元二次方程X2+2X-2025=0的两根分别为m,n,m+n--2,m2+2m-2

025=0,BPrrr+2m-2025,/.m2+3m+n-rn2+2m+m+n-2025-2=2023.

9.解析⑴由题意知%1+%2=3,X1%2=1.

(Xl-l)(X2-l)=XlX2-(Xl+X2)+l=l-3+l—1.

⑵q+q

久1+1x2+l

二尢2(工2+1)久1(久1+1)

01+1)02+1)(%1+1)(%2+1)

_%2+xl+xl+x2

久1久2+(久1+尢2)+1'

,.,%1+%2=3,41%2=1/

xf+%2-(xi+x2)2-2xiX2=32-2xl=7,

第2Xl岭+好+汽1+工2_7+3

•・+

%i+l%2+1%1%2+（工1+久2）+11+3+1

10.解析⑴证明:,.,/=（2-772）2-4*1义（1-7力=74>0,

原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根,

即该方程总有两个实数根.

⑵设该方程的较大的实数根为孙较小的实数根为X2,

r

依题意，得x1-X2-3lx\+x2-m-2,x\X2-l-ml

（X1-X2）2+4X1X2=（X1+X2）2,

32+4（l-m）=（m-2）2,

整理,得加2=9,

解得m-3或m--3,

m<0,

m--3.

21.3实际问题与一元二次方程

第1课时传播问题与单、双循环问题

答案全解全析

1.答案BJ.在每轮传染中,平均一个人传染了％人,J第一轮传染中有％人被传

染，第二轮传染中有%(1+%)人被传染.根据题意，得1+%+%(1+%)=196,即(1+斤=196.故

选B.

2.答案C设该学习小组共有学生工人，则每人需写(X-1)份拼搏进取的留言，依题

意得％(%-1)=30,整理得%2-%-30=0,解得为=6,%2=-5(不合题意,舍去).故选C.

3.答案B依题意，得1+八+/=111,解得“1=10,侬=-11(不合题意,舍去).故选B.

4.答案B设这种植物每个支干长出的小分支的个数是工，依题意得1+%+/=57,

整理得V+x-SGR,解得％1=7陷=-8(不合题意，舍去),I.这种植物每个支干长出的小

分支的个数是7.故选B.

5.答案四尹=1。

解析有工人参加活动,由题意，得胃Z10.

6.答案15

解析设全组共有％名同学，由题意，得%(%-1)=210,

解得％=15或%=-14(舍去)，即全组共有15名同学.

7.解析⑴x(%+l).

⑵经过两轮传染后会有81人患上流感的情况发生，理由如下：

依题意，得1+%+%(%+!_-4)=81,

整理，得%2一2%-80=0,

解得％I=10,%2=-8(不合题意，舍去)，

♦..X=10为正整数,

•••第二轮传染后会有81人患上流感的情况发生.

8.解析(1)设每轮分裂中每个有益菌可分裂出％个有益菌，

依题意，得90(1+%)2=36000,

解得％1=19幽=-21(不合题意，舍去).

答:每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌.

(2)36000x(1+19)=720000(个).

答:按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有720000个有益菌.

21.3实际问题与一元二次方程

第2课时增长率问题与销售问题

答案全解全析

1.答案B由题知该校植树棵数的年平均增长率为属第一年共植树400棵，则第

二年共植树400(1+%)棵,第三年共植树400(1+%)2棵，因为第三年共植树625棵，所

以列方程为400(1+%)2=625.故选B.

2.答案A该校七至九年级人均阅读量年均增长率为％，则八年级人均阅读量为

100(1+%)万字,九年级人均阅读量为100(1+%)2万字，列方程为100(l+x)2=121.

3.答案B设该款汽车售价的月平均下降率是％，根据题意得260000(1-%)2=210

600,解得％1=0.1=10%,%2=1.9(不符合题意，舍去),•••该款汽车售价的月平均下降率

是10%.故选B.

4.答案D设每千克水果应涨价％元，

依题意得(500-20%)(10+%)=6000,整理得%2-15%+50=0,解得XI=5,%2=10,即每千克水

果应涨价5元或10元.故选D.

5.答案652(1+%)2=960

解析该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为工，则第三季度地区生产总

值为652(1+%尸亿元，可列方程为652(1+%)2=960.

6.答案150或170

解析设售价为x元/件，则每天可销售70-(%-130)=(200-%)件，依题意得(0120)(200-

%)=1500,整理得x2-320x+25500=0,解得X1=150陷=170.故当售价为150元/件或

170元/件时，商场每天盈利可达1500元.

7.解析(1)设全天包车数的月平均增长率为为

根据题意，得25(1+翁=64,

解得％I=0.6=60%,%2=-2.6(不合题意，舍去).

答:全天包车数的月平均增长率为60%.

⑵设租金降价a元，则(120-句(64+1.60=8800,

化简，得屋-80。+700=0,

解得。1=10,6=70.

因为公司要尽可能地让利于顾客,所以取。=70.

答