三角函数拆角与恒等变形归类-2025年高考数学一轮复习（原卷）

专题09三角函数拆角与恒等变形归类

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目录

题型一：诱导公式................................................................................1

题型二：辅助角：特殊角型........................................................................2

题型三：辅助角：非特殊角型......................................................................3

题型四：sinx±cosx与sinxcosx型转化..............................................................4

题型五：齐次式转化..............................................................................5

题型六：拆角：互补型拆角一缺....................................................................5

题型七：拆角：互余型拆角........................................................................6

题型八：拆角：二倍角型拆角......................................................................7

题型九：拆角：30度型拆角........................................................................8

题型十：拆角：60度型拆角........................................................................8

题型十一：拆角：正切型.........................................................................9

题型十二：拆角：分式型.........................................................................10

题型十三：对偶型恒等变形求值...................................................................11

题型十四：拆角求最值...........................................................................11

题型十五：韦达定理型恒等变形求值...............................................................12

题型十六：恒等变形求角.........................................................................13

^突围・檐淮蝗分

题型二7诱导公式

指I点I迷I津

诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.

JT

“奇”“偶”指的是“左5+a/ez)”中的k是奇数还是偶数.

"变’’与"不变”是指函数的名称的变化，若左是奇数，则正、余弦互变；若左为偶数，则函数名称不变.

TTTT

“符号看象限”指的是在中，将a看成锐角时，25+a(Z£Z)”的终边所在的象限.

1.（23-24高三•浙江・模拟）已知锐角a（aw50。）满足3cos（140O-a）-cosa+sin（100o+a）=sin（a-20。），则

8s2a=（）

A.-B.--C.D.息

3333

2.（23-24高三・浙江宁波・模拟）已知cos（140。一a）+sin（110。+a）=sin（130。一a）,求tana=（）

A.叵B.一代C.73D.-73

33

3.（15-16高三•吉林长春•模拟）设cos（—80：）=加，那么tanlOCT=

ABC，醐D.丁

»左mdll-Wi''U：l一蹄F

4.（安徽省阜阳市2023-2024学年高三模拟质量统测数学试题）若角a满足cos（=7T+a）=2cos（7BT-①，则

36

cos(2cr-y)=()

43-43

A.——B.-C.一D.

5555

5.(2024・广东•二模)tan7.5。—tan82.5。+2tan15。=()

A.-2B.-4C.-273D.-4>/3

题型二：辅助角：特殊角型

指I点I迷I津

辅助角

asina+Z>cosa=^层+庐sin（a+0）,其中tan不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角）

1.（2024•全国•模拟预测）已知函数尤）=gcos（0x+gJ+cos（0x-:|J（0>O）在1个，"J上单调递增，则

。的取值范围是（）

2.（23-24高三•四川.阶段练习）若函数/（x）=?sinx+；cosx在区间[0,a],[a,2a]上的值域分别为

则下列命题错误的是（）

A.若=则。的最小值为与

B.若=贝!）。的最小值为5

C.若mNq,则〃的取值范围为[彳,/

D.若〃<〃，则〃的取值范围为空

3.（22-23高三•广西南宁•模拟）已知函数/（x）=V^sin2詈+；sinox-等（0>。），若在■，当"1上

无零点，则①的取值范围是（）

A-[°'|U'+]B,u||C.D.q,[u]l，+«O

4.（22-23高三.江西•阶段练习）已知函数/（%）=2sinx|cosx|+6cos2%，则（）

A./（力的最小正周期是〃B.“X）的图象关于直线对称

c.“X）在[0,2句上有4个极值点D.“X）在[皆，蓝]上单调递减

5.（23-24高三辽宁•模拟）已知函数"尤）=J5sins-8sox,若关于尤的方程〃x）T=0在区间（0,2可上

有且只有四个不相等的实数根，则正数。的取值范围是（）

题型三：辅助角：非特殊角型

指I点I迷I津

辅助角

y、2

2a(b

asina+bcosa=4a$(〃sina+/-cosa]；+=1

J/+-2G+/、yja2+/?2>

(1)正弦形式，sin(a+/?)：sincif*cos/?±cos<z*sinP=sin(a±/?),

其中：cos/7=.a,sin/?=.b.

(2)余弦形式JX+z^cos(a-,)：cosa.cos/?土sino・sin/?=cos(a干〃),

-tpjt.门an"

其中：sin/?——,,cosp=—,..

y/a2+b2y/a2+b2

222

辅助角范围满足:-Na$<asina+bcosa<\Ja+b

h(TTTT]

1.(22-23高三上海宝山•阶段练习)若tan6=——彳<6<彳，

八22)

asin%+1cos%=+/sin(%+0)(04<<2兀),下列判断错误的是()

A.当〃>0,6>0时，(p=0B.当a>0,0v0时，0=6+2兀

C.当〃<0,。>0时，(p=0+TiD.当〃<0,。<0时，0=8+2兀

2.（2023•河南•模拟预测）若关于工的方程sin2x+2cos2x=-2在[。,兀）内有两个不同的解戊,〃，贝IJcos（a-£）

的值为（）_

A非口垂＞厂2^/^门2辨

A.----D.—C.-----D.---

5555

3.（23-24高三・江西赣州•模拟）已知A（个％）,3（是圆f+y2=2上两点.若占巧+%%=T，则

%+々+%+%的取值范围是（）

A.g，用B.[-1,1]

C.「也，①]D.[-2,2]

4.（2023・四川雅安•一模）已知函数/（x）=3sin（4x+|^+4sin（4x-",设VxeR,%eR,/（x）W/（毛）,

等于（)

234

B.c.D.

443

5.(22-23高三辽宁大连•模拟)已知函数/(x)=asins+bcosG%(«>0,b>0,co>0）在区间上

o2

71

单调，且了，则不等式/（%）+〃>。的解集是（）

一?+匕7,署+左乃）（％GZ）一名+左〃■,（•十女"）（左£）

A.B.Z

C.一(+k兀,k冗)(keZ)D.k7r,^+k7r\(kGZ)

叁^四：sinx±cosx与sinxcosx型转化

指I点I迷I津

sinx±cosx与sinxcosx

的函数中一般可设Z=S山X土cosx进行换元.换元时注意新元的取值范围.

sinx±cosx,与sinx.cosx之间的互化关系

1(sinx±cosx)2=1±2sinx•cosx

2.如果xGR,贝!J由辅助角可知sinx土cos%£[一行,行]

1.(23-24高三・丽花言次•稹教5亩及y=sinx-cosx+5sinxcosx的最天宿区()

5LL

A.—B.2C.y/5D.1+^2

2.（23-24高三•辽宁大连•阶段练习）若sin6,cos6是方程/一以+加=。的两根，则加的值为（）

A.1-72B.1+72C.1±72D.-1-72

c人用II42sin2a+1+cos2«-2tana,、

3.(2024•全国•模拟预测)已知cos|二--a=-,则-----------------------=()

V47/sina

.1120056亚„2240八28^/2

17171717

4.(23-24高三・江苏苏州•阶段练习)已知5位4+85。=5111285g,则sin(2025兀一2a)的值为()

A.2+20B.2-272C.2±272D.2拒±2

71

5.（23-24高三・湖北武汉•模拟）已知0,-则函数y=sine-cos0+2sinecos6的值域为()

A.[Tl]B.卜-⑸]C.[1,|5

D.

4

题型五：齐次式转化

指I点I迷I津

正切齐次求值型

给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切

二次型求正切，充分运用“1”的代换：

（1）x2+y2=1<=>cos2a+sin2tz=1

y=sina

1.（2024・新疆•一模）已知：sin（20°-0）+sin（20°+0）+sin（40°-^）=0,则tan*（）

B.一走C.立D.百

A.-73

33

2.（23-24高三辽宁大连•模拟）已知a,夕均为锐角，sina=2sin/?cos（a+〃），则tana取得最大值时,

tan（a+万）的值为（）

A.A/3B.V2C.2D.1

3.（20-21高三•河南新乡•阶段练习）函数尸比黑。小吟的最大值和最小值分别为（）

V2V2c.也，0

A.1,-1B.D.0,-1

222

2-2cos611-cos。-2sin。

4.（2024.全国.模拟预测）已知=3,则二（）

sin<9l+cos6+sin。

3333

A.—B.C.一D.——

101022

5.（23-24高三江苏南京•模拟）已知sina+2cosa=®,则smacosa=（）

2cosa-sma

题型六：拆角：互补型拆角---缺

指I点I迷I津

角度“互补”与“广义互补余”可以用诱导公式转化：

1.“互补”：两个复合型角度相加为180°,可以用诱导公式转化sin（>r_c）=sina

cos（万一a）=-cosa

2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°,可以用诱导公式转化

1.（2022秋・陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考）己知cos[c+"||=-1，则

)

A.2B.一直C.&D.「好

2233

2（2023春・浙江宁波•高三校考阶段练习）已知cos[3-]=-|,则cos]9+d等于（）

A.-B.立C.--D.

3333

3.若sin[-^-e]=：,贝ljsin（与一。）的值为（）

A.--B,-C.一五D.立

4444

4.（山东省青岛市青岛中学2022-2023学年10月月考）已知cos]W-aj=g,且0<a<，,则

7i27r

sin（—+a）+cos（----\-a）=______.

63

题型七：拆角：互余型拆角

指I点I迷I津

角度“互余”与“广义互余”可以用诱导公式转化：

sin----a=

1.“互余”：两个复合型角度相加为90°,可以用诱导公式转化（2）cosa

cos----a=

12）sina

2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°,可以用诱导公式转化

已矢口sinf6/+—,5叫.）

1.（23-24高三•河南洛阳•模拟）则cosa-切-（）

112J3

「V5D.-且

A2B.--.--

,3333

已知6sin8-cos。=gI,则cos,+：)=(

2.(23-24高三广东梅州,模拟）)

A.一述1D.述

B.—c.-

3333

3.（23-24高三下•山东威海•阶段练习）已知cos[a+g14,则sin[tz+"=()

A-4B--1c-i

D-7

.（兀）1.1（2兀

4.（2024・浙江•模拟预测）已知0,sma-----=-,则ncosa+—)

2广1ioj315

A.一还B.其1-11

C.——D.

3333

7111E/5兀、

5.（2024・河南信阳・模拟预测）若sinCXH---=-,贝Ucos^+―=()

3)4\、6)

1

A.\B.c

4-4

题型八：拆角：二倍角型拆角

指I点I迷I津

二倍角公式

sin2a=2sin(zcosa

cosla—cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

一2tana

tan2a=~~

1—tanza

此M/IT21+cosla.1—cos2a

降帚公式：cosza=2，sin“=2，

升嘉公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a

1+cosa=2cos2j,1—cos(z=2sin2j.

cos26

1.（2024•江苏连云港•模拟预测）已知cos］：

,则tan,+力()

151515

A.—B.—D.

24

=^~,则sin(2。-,得］的值为（

2.（23-24高三・四川眉山•阶段练习）已知sin）

「V39D.警

ABVx.------

-i-48

已知角a满足cos(a—')=—L贝!Jsin(2a+4)=()

3.（23-24高三・江西•阶段练习）

834

77「20n20

A.—B.——L.------LJ.------------

9999

4.（23-24高三・江苏连云港•模拟）已知sin（£+巴）=立，求cos（2p-?）=（）

633

A-tB.TC--1D-1

5.(2024・浙江•三模)已知+则cos[26»+|^=()

A-4B-Ic--fD-T

题型九：拆角：30度型拆角

指I点I迷I津

复合型角度的和与差，如果是与30°,45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值

来拆角求值

1.（23-24高三•江苏盐城•模拟）化简2cos10-sin20值为（）

cos20

A.3B.73C.走D.叵

243

2.（2024高三・全国・专题练习）1曲70。8$10。（后曲20。-1）等于（）

A.1B.2C.-1D.-2

cos550+sin25°sin30°

3.（2024•陕西西安•一模）寸J()

cos25°

V2

A.gB.D.1

22

l-2sin25"\,、

4（23-24高三•重庆•模拟）---------------2cos10°=()

2sinl0°

A,3B.

A/2C.V3D.2

2

厂__^、­+…上“、2sin40°-cos10°/、

5.(22-23iW)二・河南•模拟)-----77--------的值为()

sml0°

A.1B.73C.72口.g

题型十：拆角：60度型拆角

指I点I迷I津

常见的变角技巧有：

2cf=(6Z+/7)+(6Z—,

2,=(a+,)-(a-,)

"-外(加，

CC-{JJC—+广，

1.(23-24高三•湖南湘潭•阶段练习)5。+sin70)的值为()

1+cos20

A.1B.~C.—D.2

22

2.（23-24高三.内蒙古赤峰.阶段练习）计算（c°s310°+cosll0。）的值为（）

1-cos20°

3

A.1B.1C.D.2

22

A-A-cos20°-sin30°cos40°

3.（2024.河北沧州.二模）化间------------------=()

sin40°cos60u

D,正

A.1B.6c.2

3

sin800+cos50°A/6

4.（2024・全国.模拟预测）=()

sin2502tan25°

A,显B.D.包

正c.

2222

5.（23-24高三•湖南•阶段练习）2cos8（y-cos200：=()

A.瓜in20。B.sin20°C.—瓜in20。D.-sin20°

题型十一一：拆角：正切型

指1点1迷1津

正切型公式：

,tana+tanB

tan(a+/?)—Ltanata"("+加

tana-tanB

tan(«-/?)-1+tanatan/?—

一2tana

―tan2a

1.（23-24高三・重庆大足•阶段练习）设。，夕tana=witan£,sin（a-/）=|,若满足条件的a与

夕存在且唯一，则tanatan/=()

A.gB.1C.2D.4

2.(2024•福建泉州•模拟预测)已知sin(a-£)=2cos(a+尸),tan(a-/?)=；,贝ijtana-tany0=()

已知tan[a—tan(«+/?)=|,则+=()

3.（23-24高三下•江苏镇江•模拟）

A.且B.”

C.-D.—

2218622

£[o,'||,tani=mtan/7,sin(i—/)=g,且a与£存在且唯一，则

4.(2024・福建泉州•二模)若a,。

tancr+mtan/3=()

A.2B.4C.1D.-

24

5.(2024高三.全国・专题练习)已知tan(a")=；,tan£=」JLa,£w(0,;r)M2a-Q=()

A-7t「3nn

B.—C.——D.——

4444

题型十二：拆角：分式型

指I点I迷I津

分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。

所以，通过“和、差化积”思维，利用”因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的

形式，便于约去。

1⑵3高三湖南长沙.阶段练习）求值：2%尸=（

)

B.当一

A.招D.

-3"

sin50°(1+Gtan10)cos80°

2.(23-24高二•四川成都•模拟)求值-----------------L-----------()

Vl-cos20°

A.4

B.0C.1D.叵

2

3.(23-24高三.辽宁.模拟)(73tan40°-1)sin80°cos160°tan50°()

111

A.1B.-C.D.

224

sin242cos之12°_

4.（2021・广西•一模）()

3cos36+1

11

A.-B.-c.D.

8642

5.（2023.全国.模拟预测）化简：二5皿10。=（）

sin10°

A.4B.2C.tan20°D.sin20°

题型十三：对偶型恒等变形求值

"旨I点I迷I津

常见的对称型结构：

!qsma+psin〃=t为对称结构，可以借助cos?a+sin2a=1滔去求解

音皿_____________________________________________________________________

1.(2024.全国.模拟预卧已知sin(a+0+sm(a-6)="smS+MsmQR二，WJtan.=()

9494

A.-B.-C.——D.—

4949

兀兀3J3

2.（2024•山西晋中•三模）已知a,£e一5'5，sini+sin分=-m，cosi-cosQ=^-,则sin(a+/)=()

A..B.-3

c.ID.--

2222

已矢口5皿％85P+＜：05%$111'=；,cos2%—cos2y=(,贝(Jsin(x-y)=()

3.（2024・山东•模拟预测）

131

A.gB.—C.—D.—

444

21

4.（23-24高三•江苏连云港•模拟）已知sina+cos,,cos«+sin/?,则sin(a+/?)=()

「1313

c--iiDn-

5.(22-23高三・江苏徐州•模拟)已知cosa-cos/?=；,sina+sin/3=^,则cos(c+£)的值为()

A13n1359-59

A.-----B.—C.-----D.—

72727272

题型十四：拆角求最值

1.（23-24高三・湖南•阶段练习）已知尸＜0,］）,3cos（a+尸）=cosacos/7,则tan（a+/?）的最小值是

（）

A.273B.275C.2A/6D.2、/7

2.(2014高三・全国・竞赛)若ye10,鼻，且无,y满足关系式sin尤cosy+2sinycosx=0,则

tan(x+y)的最小值为()

AAA

/2R/2r5/2n®

2424

2

3.(2024高三・江苏・专题练习)AABC中，sin(2A+B)=2sinB,则tanA+tanC+------的最小值为()

tanB

A.2B.3C.2A/3D.273

4-（233高三下•新疆乌鲁木齐•阶段练习）已知。，夕均为锐角，且满足%Q=2c°sa’则”9的

最大值为（）

兀717171

A.B.C.D.

12~6~4

5.(2024.山西,模拟预测)E^Dcos(e-£)=2cos(e+/7),tana>0,贝!Jtan(a+£)的最小值为()

A.-4C.也D.2

题型十五：韦达定理型恒等变形求值

指I点I迷I津

若sinacosd是关于x的一元二次方程既2+bx+c=O的两个不相等的实根，贝U：

A>0

b.c

<sina+cosa=——，sma・cosa=一

aa

（sincr+cosa）2=sin2a+cos2a-2sina・cosa）2=1-2—

、aa

1.（21-22jWj三•贵州遵义阶段练习）若$111。,以）56是方程4尤2+2如;+机=0的两根，则m的值为

A.1+<\/5B.1-5/5

C.-1-75D.-1+75

2.（22-23高三・北京西城•阶段练习）已知sina,cosa是关于x的一元二次方程2/_%_根=。的两根，则

sina+cosa=,m—.

sin0cos6

3.（2023高三•全国・专题练习）已知5近。,85。是方程2%2_如+1=0的两根，则1+11+tan0.

tan。

cos（a-0

4-⑵-22高三天津模拟）已知tana,ta”是方程"+41=。的两根，则端方

sin（a+£）

5.（2。22・江苏南通一模）已知tana…尸是方程3f+5x-7=。的两根，则就才

题型十六：恒等变形求角

指I点I迷I津

求复合型角，

1.以给了函数值的角度为基角来拆角。

2.讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号

3.所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度

1.（23-24高三・辽宁辽阳•模拟）已知a,/6。兀），且cosa=且，sin（«+^）=—,则a一尸=（）

510

71c3兀C.一泻D/或专

A.——B.——

44

2.⑵-24高三・江苏徐州•模拟）已知。,。”,sin/?+sin/=sincr,cosa+cos/=cos/?,贝|()

A.sin(夕一a)=gB.sin(；0+a)=^C.a-y-2/3

D.。+7=2,

3.（2024•黑龙江双鸭山•模拟预测）已知。，匹卜"，cos26r-sin26r=1,且3