数学学案：第二章离散型随机变量的均值与方差

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精§5离散型随机变量的均值与方差学习目标重点难点1.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．2．通过实例，理解取有限值的离散型随机变量方差的概念，能计算简单离散型随机变量的方差。重点：离散型随机变量的均值(数学期望）,离散型随机变量的方差．难点：离散型随机变量的均值（数学期望)，离散型随机变量的方差的求法。1．离散型随机变量的均值（数学期望)设随机变量X的可能取值为a1,a2，…，ar，取ai的概率为pi（i＝1,2，…，r)，即X的分布列为P（X＝ai）＝pi（i＝1，2，…，r)．X的均值为：a1P（X＝a1)＋a2P（X＝a2）＋…＋arP（X＝ar)＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，即随机变量X的取值ai乘上取值为ai的概率P(X＝ai）再求和．X的均值也称作X的数学期望(简称期望),它是一个数，记为EX,即EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr.均值EX刻画的是X取值的“中心位置"．两点分布的均值为p，二项分布的均值为p（1－p）．预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？提示：不一定,如X01P0.50.5，EX＝0.5,在试验中不能出现，均值刻画的是X取值的“中心位置”．2．离散型随机变量的方差一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用E（X－EX）2来衡量X与EX的平均偏离程度，E（X－EX）2是(X－EX）2的期望,并称之为随机变量X的方差，记为DX.方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大,则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p（1－p)，二项分布的方差为npq。预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示:随机变量的方差是常数,样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．一、离散型随机变量的均值（数学期望）某运动员投篮命中率为0.6。(1)求一次投篮时命中次数X的期望;(2）求重复5次投篮时，命中次数Y的期望．思路分析:（1)X只能取0,1这两个值，列出分布列再求期望；(2)Y～B（5,0.6)利用公式进行求解．解：(1)投篮一次，命中次数X的分布列为X01P0.40。6，则EX＝0.6.（2）由题意，重复5次投篮，命中次数Y服从二项分布，即Y～B（5，0。6），则EY＝np＝5×0。6＝3。在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2，3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1）写出X的分布列；（2)求X的数学期望EX.解：(1）X的分布列为：X123456789Peq\f(1,15）eq\f(1，15）eq\f（2,15)eq\f（2,15）eq\f(1,5)eq\f（2，15)eq\f(2,15）eq\f（1，15）eq\f(1，15)（2)由EX的定义得：EX＝(1＋2＋8＋9)×eq\f（1，15)＋(3＋4＋6＋7）×eq\f（2，15)＋5×eq\f(1,5）＝5.求离散型随机变量的均值（数学期望）一般分为两个步骤：(1）列出离散型随机变量的分布列;(2)利用公式求出均值（数学期望)．二、离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X,Y,X和Y的分布列如下:X012Peq\f(6,10)eq\f（1，10)eq\f(3,10)Y012Peq\f(5，10）eq\f（3,10)eq\f(2，10）试对这两名工人的技术水平进行比较．思路分析:对这两名工人的技术水平进行比较:一是比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是看次品数的波动情况，即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为:EX＝0×eq\f(6,10)＋1×eq\f（1，10）＋2×eq\f(3，10)＝0。7，DX＝（0－0。7）2×eq\f(6,10）＋(1－0.7）2×eq\f（1,10）＋（2－0.7）2×eq\f（3，10)＝0。81;工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：EY＝0×eq\f(5，10)＋1×eq\f（3，10)＋2×eq\f（2,10)＝0.7，DY＝(0－0.7)2×eq\f(5,10）＋（1－0。7）2×eq\f（3,10）＋(2－0。7）2×eq\f(2，10)＝0.61。易得，EX＝EY，所以两人生产出次品数的均值相同，技术水平相当，但DX＞DY,可见乙的技术比较稳定．已知X的分布列为：X010205060Peq\f（1，3）eq\f（2，5)eq\f(1,15)eq\f（2,15）eq\f（1，15)(1)求DX；（2）设Y＝2X－EX，求DY.解：（1）∵EX＝0×eq\f(1,3)＋10×eq\f（2,5）＋20×eq\f（1,15)＋50×eq\f(2,15）＋60×eq\f（1,15）＝16，∴DX＝(0－16)2×eq\f（1,3)＋（10－16）2×eq\f(2，5)＋（20－16)2×eq\f(1，15)＋（50－16)2×eq\f(2,15）＋（60－16）2×eq\f（1,15)＝384。（2）∵Y＝2X－EX,∴Y的分布列为：Y－1642484104Peq\f（1,3）eq\f（2，5)eq\f（1，15）eq\f(2，15)eq\f（1,15)∴EY＝－16×eq\f(1，3)＋4×eq\f(2,5）＋24×eq\f(1,15)＋84×eq\f(2,15）＋104×eq\f（1，15）＝16,∴DY＝(－16－16)2×eq\f(1,3)＋（4－16）2×eq\f（2,5）＋(24－16）2×eq\f(1,15)＋（84－16)2×eq\f(2，15）＋（104－16）2×eq\f(1，15)＝1536。已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望,然后代入方差公式DX＝E（X－EX)2求方差,在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况，在均值相等或相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝eq\f(1，4)(k＝1，2，3,4），则EX＝()．A．eq\f（5,2) B．3.5 C．0。25 D．2答案：A解析：EX＝1×eq\f(1,4）＋2×eq\f（1，4)＋3×eq\f(1，4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f（5,2).2．一批产品中次品率为eq\f（1，3)，现在连续抽查4次，用X表示次品数，则DX＝（）．A．eq\f（4，3） B．eq\f（8,3） C．eq\f（8，9） D．eq\f（1，9)答案：C解析：∵X~B(4，eq\f（1,3）），∴DX＝np(1－p）＝4×eq\f（1,3)×eq\f(2，3）＝eq\f(8，9）。3．设随机变量X~B(n，p)，且EX＝1。6，DX＝1.28,则(）．A．n＝4，p＝0.4 B．n＝8，p＝0。2 C．n＝5，p＝0。32 D．n＝7，p＝答案:B解析:∵X～B（n，p),∴EX＝np，DX＝np(1－p)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝1.6,，np（1－p)＝1。28,））解得n＝8，p＝0。2.4．若随机变量X的分布列如表:X01xPeq\f(1,5)peq\f(3,10）若EX＝1.1，则DX＝______。答案：0。49解析:由eq\f（1，5）＋p＋eq\f（3，10）＝1，得p＝eq\f(1，2）.∴EX＝0×eq\f(1,5）＋1×eq\f(1，2)＋x×eq\f（3,10)＝1.1，解得x＝2。∴DX＝(0－1.1）2×eq\f（1，5）＋（1－1。1)2×eq\f（1，2）＋(2－1。1）2×eq\f（3，10）＝0。49。5．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s),其分布列为：X1－2－1012P0.050。050。80。050。05X2－2－1012P0.10。20。40。20。1根据这两面大钟日走时误