数学学案：第二讲四渐开线与摆线

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线）,了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．2．通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线）的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的______，相应的定圆叫做________．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫______．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．【做一做1】关于渐开线和摆线的叙述，正确的是（)．A．只有圆才有渐开线B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形C．正方形也可以有渐开线D．对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同3．圆的渐开线和摆线的参数方程（1)圆的渐开线的参数方程：__________________.(2）摆线的参数方程：__________________.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，普通方程既烦琐又没有实际意义．【做一做2－1】半径为4的圆的渐开线的参数方程是__________．【做一做2－2】求摆线eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2t－sint，,y＝21－cost)）(0≤t≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．答案：1．渐开线渐开线的基圆2．旋轮线【做一做1】C不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．3．（1）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rcosφ＋φsinφ，，y＝rsinφ－φcosφ)）（φ为参数）（2）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rφ－sinφ,,y＝r1－cosφ))(φ为参数）【做一做2－1】eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4cosφ＋φsinφ，，y＝4sinφ－φcosφ））（φ为参数）【做一做2－2】解：y＝2时，2＝2(1－cost)，∴cost＝0。∵0≤t≤2π,∴t＝eq\f(π,2)或eq\f(3,2)π。∴x1＝2（eq\f（π,2）－sineq\f（π，2）)＝π－2,x2＝2（eq\f(3，2)π－sineq\f(3,2)π)＝3π＋2.∴交点坐标为（π－2,2)，（3π＋2,2)．1．圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数φ的几何意义剖析:根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单．同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普通方程剖析：用参数方程描述运动规律时，常常比用普通方程更为直接、简便．有些重要但较复杂的曲线（例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，从普通方程看不出曲线的坐标所满足条件的含义．如圆的渐开线普通方程,可以根据其参数方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ＋φsinφ,,y＝rsinφ－φcosφ)）（φ为参数)消去参数φ，得普通方程，但根据方程画出曲线十分费时．而利用参数方程把两个变量x，y间接地联系起来，常常比较容易,方程简单明确，且画图也不太困难．而对于参数方程，我们可以根据参数的取值求出坐标的关系，相比之下比普通方程更为直观．所以，在研究圆的渐开线和圆的摆线时主要使用参数方程,而不去讨论其普通方程．题型一圆的渐开线的参数方程【例1】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别是eq\f(π，3)和eq\f（π,2)，求A,B两点的距离．分析：先写出圆的渐开线的参数方程,再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标，然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离．题型二圆的摆线的参数方程【例2】已知一个圆的摆线过一定点（2,0），请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．分析：根据圆的摆线的参数方程eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝rφ－sinφ，，y＝r1－cosφ)）(φ为参数)，只需把点（2,0)代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可．题型三易错辨析【例3】已知一个圆的摆线过一定点（1,0），请写出该摆线的参数方程．错解:令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝0，代入可得x＝0.故此题无解．答案：【例1】解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝cosφ＋φsinφ，，y＝sinφ－φcosφ)）(φ为参数）,分别把φ＝eq\f（π，3)和φ＝eq\f（π,2)代入，可得A，B两点的坐标分别为Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r（3)π，6），\f(3\r（3)－π，6））)，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)，1））。那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为｜AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3＋\r（3）π,6)－\f(π，2）））2＋\f(3\r(3)－π，6）－12)＝eq\f(1,6）eq\r（13－6\r(3)π2－6π－36\r(3)＋72）.即A，B两点之间的距离为eq\f(1，6）eq\r(13－6\r（3）π2－6π－36\r(3）＋72）。【例2】解：令y＝0，可得r（1－cosφ）＝0,由于r＞0，即得cosφ＝1,所以φ＝2kπ（k∈Z)．代入x＝r（φ－sinφ)，得x＝r(2kπ－sin2kπ）．又因为x＝2，所以r（2kπ－sin2kπ）＝2，即得r＝eq\f（1，kπ)(k∈Z)．又由实际可知r＞0，所以r＝eq\f(1,kπ）(k∈N＋）．易知，当k＝1时，r取最大值为eq\f(1，π)。代入即可得圆的摆线的参数方程为eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（1，π)φ－sinφ，,y＝\f（1,π）1－cosφ)）(φ为参数）；圆的渐开线的参数方程为eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f（1,π）cosφ＋φsinφ，，y＝\f（1,π)sinφ－φcosφ)）（φ为参数）．【例3】错因分析:在求出cosφ＝1时，直接得出φ＝0,从而导致答案不全面．正解:令r(1－cosφ）＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ（k∈Z），代入可得x＝r（2kπ－sin2kπ）＝1。所以r＝eq\f(1，2kπ)。又根据实际情况可知r是圆的半径,故r＞0.所以,应有k＞0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求摆线的参数方程是eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(1，2kπ)φ－sinφ，,y＝\f(1,2kπ)1－cosφ）)(φ为参数)，其中k∈N＋。1圆（θ为参数）的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是（）．A．πB．3πC．6πD．10π2给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系,所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题;③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是惟一的交点．其中正确的说法有（）．A．①③B．②④C．②③D．①③④3已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数）,则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________．4渐开线(φ为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的焦点坐标为________．5写出半径为2的基圆的渐开线的参数方程．答案：1．C根据条件可知圆的平摆线的参数方程为（φ为参数),把y＝0代入，得cosφ＝1，所以φ＝2kπ（k∈Z）．而x＝3φ－3sinφ＝6kπ(k∈Z）．2．C对于一个圆,只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择坐标系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．3