数学学案：单元整合第三讲柯西不等式与排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元整合知识网络专题探究专题一柯西不等式的应用利用柯西不等式证明其他不等式或求最值，关键是构造两组数，并向着柯西不等式的形式进行转化．eq\x（应用1）已知实数a，b，c,d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，求e的取值范围．提示:由a2＋b2＋c2＋d2＋e2联想到应用柯西不等式．解：∵4（a2＋b2＋c2＋d2）＝（1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d）2，即4(16－e2)≥（8－e）2，64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0,∴e(5e－16)≤0，∴0≤e≤eq\f（16，5).即e的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（0，\f(16，5)））。eq\x（应用2)若n是不小于2的正整数，试证：eq\f（4,7)＜1－eq\f(1，2）＋eq\f（1,3)－eq\f（1，4)＋…＋eq\f（1，2n－1）－eq\f（1，2n)＜eq\f（\r（2），2）.提示：注意中间的一列数的代数和，其奇数项为正,偶数项为负，可进行恒等变形予以化简．证明:1－eq\f(1，2)＋eq\f（1，3）－eq\f(1，4)＋…＋eq\f(1，2n－1）－eq\f(1，2n）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，2)＋\f（1，3)＋…＋\f(1,2n)))－2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）＋\f（1,4)＋…＋\f(1，2n）））＝eq\f（1，n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1,2n),所以求证式等价于eq\f（4，7）＜eq\f（1,n＋1)＋eq\f（2,n＋2）＋…＋eq\f(1,2n)＜eq\f(\r（2）,2）.由柯西不等式，有eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，n＋1)＋\f(1，n＋2)＋…＋\f(1，2n))）[（n＋1)＋(n＋2）＋…＋2n]＞n2，于是，eq\f(1，n＋1)＋eq\f（1,n＋2）＋…＋eq\f(1，2n)＞eq\f(n2,(n＋1)＋(n＋2）＋…＋2n）＝eq\f（2n，3n＋1）＝eq\f（2,3＋\f(1,n））≥eq\f(2，3＋\f（1,2)）＝eq\f(4,7）,又由柯西不等式，有eq\f(1,n＋1）＋eq\f（1，n＋2）＋…＋eq\f（1，2n)＜eq\r（（12＋12＋…＋12）\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（1,(n＋1)2)＋\f(1，（n＋2）2)＋…＋\f（1,(2n)2))）)≤eq\r（n\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，n)－\f（1，2n)）））＝eq\f（\r（2),2)。综上，原不等式成立．专题二排序不等式的应用应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,其证明的关键是找出两组有序数组，通常可以从函数单调性去寻找．eq\x（应用）在△ABC中，试证：eq\f（π,3）≤eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c）＜eq\f(π,2).提示:可构造△ABC的边和角的序列,应用排序不等式来证明．证明：不妨设a≤b≤c,于是A≤B≤C，由排序不等式,得：aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC,aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC.相加，得3（aA＋bB＋cC)≥（a＋b＋c）（A＋B＋C）＝π（a＋b＋c)，得eq\f(aA＋bB＋cC,a＋b＋c）≥eq\f（π,3),①又由0＜b＋c－a,0＜a＋b－c，0＜a＋c－b，有0＜A(b＋c－a）＋C(a＋b－c)＋B（a＋c－b）＝a(B＋C－A)＋b（A＋C－B)＋c(A＋B－C)＝a（π－2A)＋b(π－2B)＋c（π－2＝（a＋b＋c）π－2(aA＋bB＋cC）,得eq\f（aA＋bB＋cC，a＋b＋c)＜eq\f（π,2）。②由①②得原不等式成立．专题三利用不等式解决最值问题利用不等式解决最值问题,尤其是含多个变量的问题，是一种常用方法．特别是条件最值问题，通常运用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及幂平均不等式等，但要注意取等号的条件能否满足．eq\x(应用）设a,b，c为正实数，且a＋2b＋3c＝13，求eq\r(3a）＋eq\r(2b)＋eq\r（c)的最大值．解：根据柯西不等式，知（a＋2b＋3c)eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（（\r(3))2＋12＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，\r(3））)）2））≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3）·\r（a)＋1·\r(2b）＋\f(1，\r（3))·\r(3c））)2＝（eq\r（3a）＋eq\r（2b）＋eq\r(c)）2，∴（eq\r(3a）＋eq\r(2b)＋eq\r（c)）2≤eq\f（132,3)，则eq\r(3a）＋eq\r(2b)＋eq\r（c）≤eq\f(13\r(3）,3)，当且仅当eq\f（\r（a),\r（3))＝eq\f（\r(2b）,1)＝eq\f（\r(3c），\f（1,\r(3））)时取等号．又a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝eq\f(3，2),c＝eq\f（1,3)时，eq\r（3a）＋eq\r（2b）＋eq\r（c）有最大值eq\f（13\r（3)，3）.专题四利用柯西不等式解决实际问题数学知识服务于生活实践始终是数学教学的中心问题,利用柯西不等式解决实际问题，关键是从实际情景中构造出这类不等式的模型．eq\x(应用）如图,等腰直角三角形AOB的直角边长为1。在此三角形中任取点P,过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分)，求这三个三角形的面积和的最小值，以及达到最小值时P的位置．解：分别取OA,OB为x轴、y轴，则AB的方程为x＋y＝1，记P点坐标P(xP，yP），则以P为公共顶点的三个三角形的面积和S为S＝eq\f(1，2）xeq\o\al（2,P）＋eq\f(1，2)yeq\o\al(2，P）＋eq\f（1,2）(1－xP－yP)2，则2S＝xeq\o\al（2，P)＋yeq\o\al（2，P)＋(1－xP－yP）2.由柯西不等式，得[xeq\o\al（2，P)＋yeq\o\al(2，P)＋(1－xP－yP)2］(