数学学案：7柱、锥、台和球的体积VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精数学人教B必修2第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式(不要求记忆公式)．2．理解柱、锥和台的体积公式的推导，并知道“祖暅原理”在解决体积问题中的重要作用．1．祖暅原理及应用(1）祖暅原理．幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在________的两个几何体，被__________的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积______．(2)祖暅原理的应用．________、________的两个柱体或锥体的体积相等．“祖暅原理”充分体现了空间与平面问题的相互转化的思想方法，这一原理是推导柱、锥、台和球的体积公式的基础和纽带．【做一做1】已知一斜棱柱的底面积为S,上下两底面间的距离为h，则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为__________．2．柱、锥、台的体积其中S′，S分别表示上，下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径.名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥eq\f（1，3)Sh圆锥eq\f（1,3）πr2h台体棱台eq\f（1，3）h（S＋eq\r(S·S′）＋S′)圆台eq\f（1,3)πh(r2＋rr′＋r′2)柱体、锥体、台体的体积有如下关系：【做一做2－1】在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）．A．eq\f(2,3)B．eq\f(7,6)C．eq\f（4，5）D．eq\f（5，6）【做一做2－2】用半径为R的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是（）．A．eq\f(\r（3),24)πR3B．eq\f（\r（3）,8)πR3C．eq\f(\r（5）,24)πR3D．eq\f（\r（5）,8）πR3【做一做2－3】有一个几何体的三视图及其尺寸如图：则该几何体的体积为__________,表面积为__________．3．球的体积V球＝________,其中R为球的半径．【做一做3】充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积增大到原来的（)．A．4倍B．8倍C．64倍D．16倍1．割补法在空间几何中的应用剖析：试用割补法探究以下问题:（1）用割补的方法说明斜三棱柱的体积等于等底等高的三棱锥体积的三倍；(2）在斜棱柱中,我们把与侧棱垂直的截面称作斜棱柱的直截面．试说明斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积；斜棱柱的体积等于直截面的面积与侧棱长的乘积．(1)中关键在于要说明如何去找截面，为什么如图①所示的所截得的三个三棱锥的体积是相等的，这里用了这样一个结论：若一条线段与平面相交且交点是线段的中点,则这条线段的两个端点到这个平面的距离相等．如图②所示的点A1与点C到截面ABC1的距离相等．（2)如图③,从割补的过程中，我们不难发现在割补前后其斜棱柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形,因而侧面积没有变化，体积也没有发生变化．在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积公式中都有个eq\f（1,3）。三棱锥是一种比较特殊的棱锥,在求体积时可以根据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的，根据这一思想还可以求一些简单的距离问题．2．由锥体的体积可得到台体的体积剖析：利用锥体和台体的联系，用平行于底面的平面截锥体，截面和底面之间的部分是台体，结合锥体的体积公式即得台体的体积公式．如图所示，设台体（棱台或圆台)上、下底面面积分别是S′，S，高是h，设截得台体时去掉的锥体的高是x，则截得这个台体的锥体的高是h＋x,则V台体＝V大锥体－V小锥体＝eq\f（1,3）S（h＋x)－eq\f(1,3)S′x＝eq\f(1,3)[Sh＋(S－S′)x］，而eq\f(S′,S)＝eq\f(x2,h＋x2），所以eq\r（\f(S′,S））＝eq\f（x，h＋x),于是有x＝eq\f(\r（S′)h，\r(S)－\r(S′))，代入体积表达式，得V台体＝eq\f(1,3)heq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（S＋S－S′\f（\r(S′），\r（S)－\r(S′)))）＝eq\f(1，3）h（S＋eq\r(SS′）＋S′）．棱锥、圆锥的截面（平行于底面的截面）有如下性质：eq\f(S小锥底，S大锥底）＝eq\f（S小锥侧,S大锥侧)＝eq\f(S小锥全，S大锥全）＝对应线段比的平方；eq\f(V小锥，V大锥)＝对应线段比的立方。题型一有关柱体体积的问题【例1】已知一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开，然后放在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图）是一个矩形，它的对角线长为m，对角线与底边成α角eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0<α〈\f(π，2))）,求圆柱的体积．分析：（1）圆柱的侧面展开图是一个矩形；(2）已知矩形的对角线长为m，对角线与底边成α角．解答本题可先明确展开前图形与展开后图形中量与量之间的关系,再画图求解．反思：对于几何体的侧面展开图问题，要注意展开前后的“变”与“不变”．对此题而言，为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、高．题型二有关锥体体积的问题【例2】一个正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为eq\r(15）,求这个正三棱锥的体积．分析：求三棱锥的体积时需确定其底面和高，由于已知正三棱锥的底面边长，可确定正三棱锥的底面面积，这样可容易求出其体积．反思：在正三棱锥的有关计算中，像Rt△SHA,Rt△SHE,Rt△SEB等是非常有用的，它们联系了正三棱锥的侧棱长、底面边长、高、底面正三角形的外接圆半径、内切圆半径等．题型三有关台体体积的问题【例3】圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm,母线长为10cm,那么，圆台的侧面积和体积各是多少？分析：在本题中要求圆台的体积必须先求出圆台的高，通过作轴截面可以得到等腰梯形，进一步可以得到矩形ABCO和直角三角形BCD，利用它们可以方便地解决本问题．反思:在多面体和旋转体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形）来计算．对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形；对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．题型四有关球体体积的问题【例4】设A，B，C，D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB＝BC＝CD＝DA＝3，球心到该平面的距离为球半径的一半，则球的体积为（）．A．8eq\r（6）πB．64eq\r（6）πC．24eq\r（2）πD．72eq\r（2)π反思：旋转体问题要注意画轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题，利用平面图形的性质加以解决．题型五易错辨析【例5】如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝__________.错解：由已知可知几何体AEF－A1B1C1是三棱台，几何体C1B1－EFCB是四棱锥．设三棱柱底面积为S，高为h,则由锥、台的体积公式可得，V1＝eq\f（1,3)heq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(S＋\f（1，4)S＋\r(S·\f(S，4)）)）＝eq\f（7，12）Sh，V2＝eq\f(1,3)h·eq\f(3，4)S＝eq\f（1,4）Sh.∴V1∶V2＝eq\f(7,12)Sh∶eq\f(1,4）Sh＝7∶3.错因分析：几何体C1B1－EFCB不是一个规则的几何体，而错解中将其看成锥体了．1（2011·福州高一期末）若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是()．A．eq\f(π,3)B．eq\f（4，3)πC．eq\f(8,3)πD．eq\f（32,3）π2(2012·浙江名校第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．6B．eq\f（16,3)C．eq\f(14,3）D．43圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a，下底边长为2a，对角线长为eq\r(3）a,则这个圆台的体积是（）．A．eq\f(7\r（3）,4)πa3B．eq\f(7,12）eq\r（3）πa3C．eq\f（7，8）eq\r(3)πa3D．eq\f（7\r（3），24)πa34正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm3，则棱台的高为__________．5根据图中标出的尺寸，求各几何体的体积．答案:基础知识·梳理1．(1)两个平行平面间平行于这两个平面总相等相等(2)等底面积等高【做一做1】Sh【做一做2－1】D截去的每个小三棱锥的体积为eq\f(1，2)×eq\f（1，2)×eq\f（1，2）×eq\f（1,2)×eq\f（1，3）＝eq\f(1，3）×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2))）4,则剩余部分的体积V＝1－eq\f（1,3）×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)））4×8＝1－eq\f（1,6）＝eq\f(5,6)。【做一做2－2】A如图,设圆锥的底面半径为r，则2πr＝l＝π·R。∴r＝eq\f(1，2)R.∴圆锥的高h＝eq\r(R2－\f（1,4）R2）＝eq\f(\r(3)，2)R。∴V锥＝eq\f(1，3)πr2·h＝eq\f(π,3)·eq\f(R2，4)·eq\f（\r(3)，2）R＝eq\f（\r（3),24）πR3。【做一做2－3】54π54π3．eq\f（4,3）πR3【做一做3】C设气球原来半径为R，则现在半径为4R，此时体积V＝eq\f(4,3)π（4R)3＝64×eq\f（4πR3,3）.故选C.典型例题·领悟【例1】解：设圆柱的底面半径为r,高为h，如图，则由题意可知:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（h＝msinα,,2πr＝mcosα，））∴h＝msinα，r＝eq\f(mcosα，2π),∴V圆柱＝πr2h＝πeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（mcosα，2π）))2·msinα＝eq\f(m3sinαcos2α，4π)。【例2】解:如图，在正三棱锥S－ABC中，设H为△ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH，延长后交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC。由于△ABC是边长为6的正三角形,∴AE＝eq\f(\r（3)，2)×6＝3eq\r(3）。∴AH＝eq\f（2,3)AE＝2eq\r（3）.在Rt△SHA中，SA＝eq\r(15），AH＝2eq\r(3），∴SH＝eq\r（SA2－AH2)＝eq\r(15－12）＝eq\r（3）。在△ABC中，S△ABC＝eq\f（1，2）BC·AE＝eq\f（1,2）×6×3eq\r（3）＝9eq\r（3).∴VS－ABC＝eq\f(1，3)×9eq\r（3）×eq\r（3）＝9.【例3】解：首先,圆台的上底的半径为4cm，于是S圆台侧＝π（r＋r′)l＝100π(cm2）．其次，如图，圆台的高h＝BC＝eq\r（BD2－OD－AB2）＝eq\r（102－6－42)＝4eq\r（6）（cm）,所以V圆台＝eq\f（1，3）h（S＋eq\r(SS′)＋S′）＝eq\f（1,3)×4eq\r（6）×(16π＋eq\r(16π×36π）＋36π）＝eq\f（304\r（6)π,3)（cm3）．【例4】A根据截面圆的性质求球的半径．设A，B，C,D所在小圆半径为r，则2r＝3eq\r（2)，∴r＝eq\f(3\r（2),2)。设球半径为R，则R2＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(R,2)））2＋r2。∴eq\f(\r（3）,2)R＝r.∴R＝eq\r(6）.∴V球＝eq\f（4，3)πR3＝8eq\r(6）π.【例5】7∶5正解：设三棱柱的高为h，底面的面积为S,体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh。因为E，F分别为AB,AC的中点,所以S△AEF＝eq\f（1，4）S,V1＝eq\f（1,3）heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（S＋\f（1，4）S＋\r(S·\f（S，4）)))＝eq\f(7,12）Sh,V2＝Sh－V1＝eq\f(5，12)Sh，故V1∶V2＝7∶5。随堂练习·巩固1．B2．