数学学案：6正态分布VIP

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。6正态分布学习目标重点、难点1．了解正态分布的广泛应用性；2．能说出正态分布的参数μ，σ对正态分布曲线形状与位置的影响；3．会用正态分布的几个特殊概率值计算相关的概率并应用于实际问题.重点：认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义．难点：求满足标准正态分布的随机变量X在某一范围内的概率值。1．正态密度曲线在频率分布直方图中，若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．函数的表达式是，x∈R，此函数为正态分布密度函数．它所表示的曲线叫正态密度曲线．这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0,μ∈R，不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．预习交流1正态分布密度曲线与μ,σ的关系是怎样的？提示：①正态曲线关于直线x＝μ对称；②当x＜μ时，曲线上升，当x＞μ时曲线下降；③曲线的形状由σ确定，σ越大,正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．2．正态分布密度函数的性质若X是一个随机变量,则对任给区间(a，b］，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a，b］上方所围成的图形面积，我们称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X~N（μ，σ2)．随机变量X取值落在区间（μ－σ，μ＋σ）上的概率约为68。3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ）上的概率约为95。4％，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ）上的概率约为99。7％。预习交流2若X～N（μ，σ2）,则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)的几何意义是什么？提示：表示X取值落在区间（μ－σ,μ＋σ）的概率和正态曲线与X＝μ－σ，X＝μ＋σ以及x轴所围成的图形的面积,大约是68.3%。在预习中,还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点1．正态分布密度函数下列函数中哪个是正态分布密度函数__________．①;②；③;④。思路分析：正态密度函数的表达式为，凡符合此表达式的均为正态分布密度函数．答案:②解析:①是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外．②是正确的，它是正态分布密度函数，其中μ＝0，σ＝1。③是错误的，从系数部分看σ＝2，可从指数部分看σ＝eq\r（2)，不统一．④是错误的，指数部分缺少一个负号．设一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________,σ2＝__________.答案:104解析：对比正态密度函数知，μ＝10，σ2＝4.对于正态分布密度函数，x∈（－∞，＋∞），不但要熟记它的解析式，而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数。2．正态分布密度函数的性质设ξ～N（1,22)，求P(3＜ξ≤5）．思路分析：要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间（μ－σ,μ＋σ)，（μ－2σ，μ＋2σ），(μ－3σ,μ＋3σ)的概率值进行转化求值．解：∵P(3＜ξ≤5)＝P(－3＜ξ≤－1），∴P(3＜ξ≤5）＝eq\f(1，2）［P(－3＜ξ≤5）－P（－1＜ξ≤3）]＝eq\f(1,2)［P(1－4＜ξ≤1＋4）－P(1－2＜ξ≤1＋2)]＝eq\f(1,2)[P（μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ）－P（μ－σ＜ξ≤μ＋σ）]＝eq\f（1，2）×(0。954－0。683)＝0。1355。设ξ～N(1，22),则P(ξ≥5）＝__________.答案：0。023解析:∵P(ξ≥5)＝P（ξ≤－3），∴P(ξ≥5)＝eq\f（1，2)[1－P（－3＜ξ≤5）]＝eq\f(1,2）[1－P（1－4＜ξ≤1＋4）]＝eq\f(1，2）［1－P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)]＝eq\f(1,2）×(1－0.954)＝0。023。解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性,把待求区间的概率向已知区间(μ－σ,μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ)内的概率进行转化．3．正态分布的实际应用在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90，100）．（1）试求考试成绩X位于区间(70，110)上的概率;（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80，100)内的考生大约有多少人?思路分析:正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出,根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解：∵X～N(90，100），∴μ＝90,σ＝eq\r（100）＝10.(1)由于正态变量在区间（μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954,而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110,于是考试成绩X位于区间（70，110）内的概率为0.954.（2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0。683，所以考试成绩X位于区间（80，100)内的概率为0.683。一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100)内的考生大约有2000×0。683＝1366（人）．某厂生产的圆柱形零件的外径X～N（4，0.25)，质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7,试问该厂生产的这批零件是否合格？解:由于圆柱形零件的外径X～N（4,0。25)，由正态分布的特征可知,正态分布N(4，0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0。5)即（2。5，5。5)之外的取值概率只有0.003，而5.7∉(2。5,5.5），这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理,认为该厂的这批产品是不合格的．解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ,μ＋σ）,（μ－2σ，μ＋2σ)，（μ－3σ，μ＋3σ）上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间．1．已知X~N(0，1)，则X在区间(－∞,－2）内取值的概率为__________．答案：0。023解析：∵X～N(0,1)，∴P（X≤－2)＝eq\f（1,2）[1－P(－2＜X＜2）]＝eq\f(1，2)［1－P(0－2×1＜X＜0＋2×1）]，又知P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954,∴P（X≤－2）＝eq\f(1，2）×（1－0。954)＝0.023。2．已知ξ～N(0，σ2)，且P（－2≤ξ≤0)＝0.4，则P（ξ＞2）＝__________。答案：0.1解析：由ξ～N（0,σ2)，知图象关于x=0对称．∴P(－2≤ξ≤0）＝P（0≤ξ≤2)＝0。4，而P(ξ≥0）＝0。5，∴P(ξ＞2)＝P(ξ≥0)－P(0≤ξ≤2)＝0。5－0.4＝0.1。3．已知X~N(1，σ2）,P(X≥2）＝0。1,则P（0＜X＜2)＝__________。答案:0.8解析：由X～N(1，σ2)可知，密度函数关于x=1对称．∵X～N(1，σ2），故X落在(0,1)及（1，2)内的概率相同均为0。5－P(X≥2)=0.4,∴P(0＜X＜2）=P(0＜X＜1)+P(1＜X＜2）=0.4+0。4=0。8。4．随机变量X～N（1,22），则Veq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)X））＝__________.答案:1解析：∵X~N(1，22)，∴V(X)＝22＝4。∴Veq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）X)）＝eq\f（1,4）V（X)＝eq\f(1，4)×4＝1.5．某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X（分钟）服从正态分布N（5，1);第二条路较长不拥挤，X服从N（6,0.16）．有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线?若离点名时间还有6。5分钟,问他应选哪一条路线？解：还有7分钟时，若选第一条路线，X服从N(5,1），能及时到达的概率P1＝P（X≤7）＝P（X≤5）＋P（5＜X＜7）＝eq\f（1，2)＋eq\f（1,2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ);若