数学同步优化训练：平面几何中的向量方法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2。5平面向量应用举例2。5。1平面几何中的向量方法5分钟训练（预习类训练,可用于课前)1。在四边形ABCD中，·=0，且，则四边形ABCD是（）A。梯形B.菱形C。矩形D.正方形解析:由·=0得AB⊥BC,又,∴AB与DC平行且相等。从而四边形ABCD是矩形.答案：C2.已知A(1，2）、B（2，3）、C(-2，5)，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B。锐角三角形C.钝角三角形D。等边三角形解析:∵A(1，2）、B（2，3)、C（—2，5)，∴=(1,1)，=（—4,2),=(—3，3）。∵·=1×(-3)+1×3=0，∴AB⊥AC，即∠A=90°。∴△ABC为直角三角形.答案:A3。向量方法解决几何问题的“三步曲"是:①____________________________________________________________________________；②____________________________________________________________________________;③____________________________________________________________________________。答案：形到向量向量的运算向量和数到形10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.已知O为△ABC所在平面内的一点，满足｜｜2+|｜2=|｜2+｜｜2=｜｜2+｜｜2，则O是△ABC的（）A.外心B.内心C.垂心D.重心解析：设=a，=b，=c，则=c—b，=a—c，=b—a。由题意可知｜a｜2+|c-b｜2=｜b|2+|a—c|2，化简可得c·b=a·c,即（b-c)·a=0，即·=0,故⊥，即OC⊥AB。同理可得OB⊥AC,OA⊥BC，故O是△ABC的垂心。答案：C2。以原点和点A(4，2)为顶点作等腰直角三角形OAB，∠B=90°，则向量的坐标为________。解析：设=（x,y),则=(x—4，y-2)。由已知或故B（1，3）或B（3,—1）.∴=（-3,1）或（—1,-3).答案：（—3,1)或(-1，—3）3。如图2-图2解：设A（x1，y1)，由已知得EF平行且等于AD.∴=。∴(x1-1，y1—2)=(2—3,7—5）=（—1，2).∴即∴A(0，4)。同理可得B（2，0），C(4，10)。连结AE,则AE过点G.设G(x2,y2）,由得（x2，y2—4）=2(3-x2,5-y2），∴即∴G(2，).4.如图2—图2-5-2证明：设=a，=b。∵∥，∴=λ=λb,则=b—a.∵E为BD的中点，∴==(b—a).∵F为AC的中点,∴+=+()=()=（）=（λb—a）。∴=(λb-a）(b-a)=（λ）b=［(λ)·］.∴∥,即EF∥BC。5。如图2-求证：AC⊥BD。图2-5证法一：∵，，∴·=(）·(）=｜|2-｜｜2=0.∴⊥，即AC⊥BD。证法二：以BC所在直线为x轴,以B为原点建立直角坐标系，设B(0，0)，A（a，b），C(c,0），则由｜AB|=|BC|得a2+b2=c2。∵=(c，0）-(a,b）=(c-a，-b），=（a，b）+(c，0）=(c+a，b),∴·BD=c2-a2—b2=0。∴⊥，即AC⊥BD.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知任意四边形ABCD中，E是AD中点,F为BC中点，求证:=（）.证明：∵,又，∴。∴=().2.已知A(-1,—1）、B（1，3)、C（2,5),求证：A、B、C三点共线。证明：∵=(2，4），=（1，2），∴。∴∥，且与有公共点B。∴A、B、C三点共线。3。设a、b、c是两两不共线的三个向量。（1)如果a+b+c=0，求证：以a,b，c的模为边，必构成一个三角形；(2）如果向量a、b、c能构成一个三角形，问它们应该有怎样的关系？答案：(1）证明：如图，作=a，=b，=c.按向量加法的多边形法则有=a+b+c=0∴B与D重合,故向量a,b，c能构成一个三角形。(2)解：设向量a，b,c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则，有,即=0.∵a=，b=，c=，∴a,b,c有下列四种关系之一即可：①a+b—c=0；②a+b+c=0;③a—b—c=0；④a—b+c=0.4。用向量法证明：三角形的三条高线交于一点.证明:如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高,设BE、CF交于点H。证法一:设=a，=b，=h，则=h—a,=h—b，=b-a，∵⊥，⊥，∴(h-a）·b=0，（h—b）·a=0.∴（h—a）·b=（h-b）·a.化简得h·(b-a)=0。∴⊥。∴AH与AD重合,即AD、BE、CF交于一点.证法二：设=a，=b，=c，则=b—a，=c—a，=b-c,∵⊥，⊥,∴b·(c—a)=0，c·(b-a)=0。∴b·(c-a）=c·(b—a)。∴a·b=a·c，即a·（b-c）=0.∴⊥，故AD、BE、CF交于一点。5。如图2—5-4所示，PQ过△OAB的重心G，=a，=b，=ma，=nb，求证：=3。图2证明：∵M是AB边的中点，∴=(）=（a+b）.∴=×=×（a+b)=a+b.由=nb—ma,=a+b-ma=(-m）a+b。∵∥,∴.整理得mn=（m+n），即=3。6.如图2-5—5所示,已知A、B、