2025高考数学专项复习：指数型函数取对数问题（解析版）

2025高考数学专项复习指数型函数取对数问题（解

析版）

指数型函数取对数问题

考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或

不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如版㈤的函数取对数可

以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在

解高考导数题中有时能大显身手.

解题秘籍

（-）等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数

通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子

的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对

数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.

题1（2024届辽宁省大连市高三上学期期初考试）己知函数/（C）=I11：；1.

（1）讨论/（2）的单调性；

⑵若（eel）三（也2）的（e是自然对数的底数），且劣i>0,劣2>0,力1W力2,证明：xl+xl>2.

•1・

(二)等式或不等式两边同时飒运算运睇化为加法运算，

形如/(a)g(b)=h(c)(f(a)>O,g(b)>0,/(c)>0)或/(a)g(b)>h(c)的等式或不等式通过两边取对数,

可以把乘积运算,转化为加法运算,使运算降级.

2(2024居辽宁盾名校联JL高三上学期联考)已知a>0,bE函数/(力)=ax\lnx\和g(力)=b\lnx+1|

的图像共有三个不同的交点，且/(力)有极大值1.

(1)求。的值以及b的取值范围；

(2)若曲线g=/(力)与y=g(*)的交点的横坐标分别记为的，g,g,且为iVc2Vg.证明：-^^-<e26-2.

•2•

(=)把比较a,b(a>0,b>0)转化为比较Ina.lnb的大小

比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数,利用对数函数的单调性比较大小，如比较nn+1,(n+iy

(nGN,,n>2)的大小，可通过取对数转化为比较(n+l)lnn,nln(n+1)的大小，再转化为比较与I

回竽3的大小，然后可以构造函数代⑼=巫，利用/(。)的单调性比较大小.

n+1x

如一天，小锤同学为了比较lnl.1与击的大小，他首先画出了y=In。的函数图像，然后取了离1.1很近

的数字1,计算出了？/=Inc在c=1处的切线方程,利用函数9=In,与切线的图像关系进行比较.

(1)请利用小锤的思路比敕InLl与盍大小

(2)现提供以下两种类型的曲线沙=3+6,沙=g+力,试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较兀,，

e3的大小.

•3・

典例展示

吼!(2021全国甲卷高考试题)已知a>0且a/1,函数="Q>0).

⑴当a=2时，求/(①)的单调区间；

(2)若曲线夕=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

吼2(2023届新三第三次迨应性检测)已知函数/(2)=a/+(a+l)Tn2—1,g(0=萼.

(1)讨论g(c)的单调性；

(2)若方程/Q)=^e^+xinx-1有两个不相等的实根g,g,求实数a的取值范围,并证明/也>的

-4■

0]3已知函数,/(2)=Inz—x+m,mER.

(i)求/(>)的极值；

⑵若/(2)有两个零点a,b,且aV6,求证：e(6+y)<2em.

脚］4设函数/(,)=Tn'.

⑴设4、0且不+办=1,求证:对任意的电、x2>0,总有AiXi+A2X2成立；

72

(2)设瑞>0,4>0(i=1,2,…,n)，且224=1,求证：修/…诚(4便---F4必叱

i=i

•5・

0]5已知函数/(2)=ex,g(x)=s+alnz.aGR

(1)讨论g(0的单调性；

(2)若/(2)+2a?>g(a;)+re。,对任意xG(l,+oo)恒成立，求a的最大值;

画色已知函数/(0=rdne.

(1)讨论/Q)的单调性；

⑵设a,6为两个不相等的正数，且d=巩证明：2<+

eab

,6,

题目R已知函数/㈤=21n;r+a,(aeR).

(1)求函数/(c)的单调区间；

(2)当0<a<(时，证明：函数/(,)有两个零点；

(3)若函数gQ)=/(/)—aa?—，有两个不同的极值点其中a；i<a；2),证明：电•曷>e.

题目]可形如夕=/Q严0的函数称为幕指函数，幕指函数在求导时，可以利用对数法:在函数解析式两边取

对数得Iny=lnf(x)M=g(x)lnf(x')，两边对x求导数，得"=g(x)lnf(x)+g(a?)，于是y'=产

y/⑺

g'(c)ln/(c)+g(c)已知/(劣)=2已如宓，g㈤=T2+l.

⑴求曲线g=/Q)在力=1处的切线方程；

⑵若h(x)=f(x),求h[x)的单调区间；

⑶求证:V%e(0,+8),/(力)>g(/)恒成立.

题目©已知函数/3)=上%0>0).

(1)求/(,)的极值点.

(2)若有且仅有两个不相等的实数为,22(0<21<曲)满足/(为)=/(电)=e".

⑴求％的取值范围

9_e.-I

(ii)证明滤Te《e2

题目已知/(2)=In,—x,g(x)=mx+m.

(1)记F(rc)=/(0+g{x),讨论F{x)的单调区间；

(2)记G(c)=/Q)+m,若G(z)有两个零点a,b,且a<b.

请在①②中选择一个完成.

①求证：2建一1>上+b；

o

②求证：2em-1<—+a

a

•8・

题目回已知底乩/（；1；）=，・。。。，（其中6为自然对数的底数）.

（1）求函数9=/（，）的单调区间；

⑵若a>0,函数g=/（力）—a有两个零点劣，劣2,求证：冠+后>2e.

题目《已知函数/（劣）=aW（QWO）存在极大值十.

（1）求实数Q的值；

（2）若函数F（力）=/（力）一小有两个零点/0C2（力1W/2），求实数馆的取值范围，并证明：x1-\-x2>2.

•9・

题目V］已知函数于(x)=x(e2x—a),g(力)=bx+Ina?.

⑴若g=26是曲线g=/(力)的切线，求。的值；

(2)若gQ)有两不同的零点，求b的取值范围；

(3)若b=1,且/(劣)—g［x)>1恒成立，求a的取值范围.

题目5］已知函数/(劣)=Q/lnc,Qe_R.

(1)当Q=1时，

①求/(⑼的极值；

②若对任意的都有/(/)>一ex,nz>0,求nz的最大值；

x

2

(2)若函数g(力)=/(/)+力?有且只有两个不同的零点的，g,求证：xrX2>e.

•10•

-9^j已知函数/（rc）=xlnx—ax2-x,g[x}=,aGR.

（1）讨论gQ）的单调性；

（2）设/Q）有两个极值点X1,22（，1<电），证明：2；，2>e3.（e=2.71828•■­为自然对数的底数）

〔题目口^已知函数/3）=e”—吟色—a（e为自然对数的底数）有两个零点.

（1）若a=1,求/（劣）在宏=1处的切线方程；

⑵若/（⑼的两个零点分别为如如证明：e2ff—叩2Vo.

•11•

题目已知函数以/)=力一aln/(aGR).

(1)若从/)有两个零点，a的取值范围；

2

(2)若方程力e”一a(ln/+a?)=0有两个实根力八力2,且力声力2,证明：eXi+X2>----

劣1/2

【题目叵已知函数Inc+2

(1)若，=1是/(，)的极值点，求力的值,并讨论了(2)的单调性;

(2)当时，证明：力>)>2.

•12•

指数型函数取对数问题

蝴分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，在导数解答题中有些指数型函数，直接求导运算非常复杂或

不可解，这时常通过取对数把指数型函数转化对数型函数求解，特别是涉及到形如/⑺的函数取对数可

以起到化繁为简的作用，此外有时取对数还可以改变式子结构，便于发现解题思路，故取对数的方法在

解高考导数题中有时能大显身手.

解题秘籍

（一）等式两边同时取对数把乘法运算转化为对数运算，再构造函数

通过两边取对数可把乘方运算转化为乘法运算,这种运算法则的改变或能简化运算,或能改变运算式子

的结构，从而有利于我们寻找解题思路，因此两边取对数成为处理乘方运算时常用的一种方法.有时对

数运算比指数运算来得方便，对一个等式两边取对数是解决含有指数式问题的常用的有效方法.

题1（2024届辽宁看大连市赤三上学期期前才就）己知函数人①）=吗；1.

（1）讨论”2）的单调性；

⑵若（eel）三（也2）的（e是自然对数的底数），且劣i>0,劣2>0,力1W力2,证明：M+忘>2.

【解析】（1）函数/（力）=E*+1的定义域为（0,+8）,求导得则/（x）=—上号，由/'（力）=0得力=1,

Q力ax2

若avo,当ov—v1时,/'（比）vo,则y（x）单调递减，当/>1时，/'（力）>o,则y（x）单调递增，

若a>0,当0V比V1时，/'（①）>0,则f（x）单调递增，当比>1时,f（x）V0,则/（x）单调递减;

所以当aV0时，函数/（力）在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增；

当a>0时，函数/（力）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.

（2）由（改1）g=（eg）*'两边取对数得力2（ln/i+l）=①i（lng+l）,即I"""1=E力2+I,

力1力2

由（1）知，当Q=1时，函数/（名）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

/（^）max=/（l）=1,而/g）=0,%>1时,/（%）>0恒成立,

因此当@=1时，存在电,力2且0<的<1</2,满足/（g）=/（◎）,

若力26[2,+8）,则冠+舄>滋>4>2成立；

若力26（1,2）,则2一—26（0,1）,记gQ）=/（%）-y（2-rr）,xE（1,2）,

则。㈤=f'（x）+r（2-z）=—警-*2-]）>_笔_ln（2j）=」n[-（工丁+1]>Q；

x（2—x）xxx

即有函数gQ）在（1,2）上单调递增，g{x}>g⑴=0,即/（劣）>/（2—x）,

于是/Qi）=/（力2）>/（2-力2）,

而626（1,2）,2—（。J）,力住（0,1）,函数于⑸在（0,1）上单调递增，因此g>2—电，即g+g>2,

•1•

又曷+1>=261,晟+1>2V^2—2/2,则有4+1+舄+1>2(g+力2)>4,则力:+舄>2,

所以就+曷>2.

(二)等式或不等式两边同时取对数把乘积运算运第转化为加法运翼，

形如/(a)g(b)=h(c)(f(a)>O,g(b)>0,/(c)>0)或/(a)g(b)>h(c)的等式或不等式通过两边取对数,

可以把乘积运算，转化为加法运算,使运算降级.

2(2024届辽宁省名校联JL高三上学期联考)已知a>0,bE_R,函数/(⑦)=ax\lnx\和g(力)=“Inc+1|

的图像共有三个不同的交点，且/(⑼有极大值1.

(1)求Q的值以及b的取值范围；

(2)若曲线沙=/(C)与g=g(劣)的交点的横坐标分别记为力1，g，g,且©VgVg.证明：-^^-<e26-2.

一一电

【解析】(1)因为a>0,力e(0,+oo)，所以当力>1时，/(力)=ax\nxff\x)—alnx4-a>0,

所以/(力)在[1,+8)上单调递增，无极大值；

当力£(0,1)时，/(力)=—axlnxf/(x)=—a(lnx+1),

所以当力G(0，!)时，/(劣)>0,/(力)单调递增，

当力e(■!■」)时，/⑺<0,y(x)单调递减，

所以力=工为极大值点，

e

所以/(工)——a•—,In—=1,解得a=e.

\e'ee

因为f⑸,g(N)图像共有三个不同的交点，

所以方程£矶11力|=b\lnx+1|有三个不等正实根.

设/;=Inx+1,则1=e*T，且当力>0时，力与力一•一■对应，

所以问题转化为关于力的方程叫土一1|="力|有三个不等实根.

又0不满足方程e£|t一1|=b\t\,

所以方程卜有三个实根.

设九(右)=..1卜，则函数九(力)=..1卜与函数g=b的图像有三个交点，

当力>1或力V0时，无⑴=♦Je",

...〃«)=廿一方+16〉0,所以无⑴在(-00,0),[1,+8)上单调递增；

t

.,(t—1)6"

当0V力VI时，h7z(xt)-----,

•2•

12T+1

片⑴etVO,所以九⑴在(0,1)上单调递减.

当力时，h(t)>0,而h(l)=0;

当tT-CO时，h(t)=(1—0，

无论力>0还是力V0,当力->0时，都有八(土)=|1—会卜”~>+8,

当—+8时，无⑴=(1一十)e」+oo.

根据以上信息，画出函数无«)的大致图像如下图所示，

y=h(t)

-2-1O

-1

所以当&>0时，函数九(力)=FJ.与函数g=b的图像有三个交点,

故b的取值范围为(0,+8).

(2)证明：要证一-——V62b2,只需证2]ng—Ing+lnciV2b—2,

只需证2(lng+l)—(In62+I)+(lnxi+1)<2b.

设(1)中方程的b=[上三个根分别为h,大2,t3,

且友〈与〈力3,U=In@+1,i=1,2,3,

从而只需证明2力3—12+力V2b.

又由⑴的讨论知力1<0,0<t2<1,t3>1.

下面先证明e”>力+1,设夕(力)=ex—x—1,

则d(力)=e^—1.

当力>0时，”(力)>0,0(宏)在(0,+oo)上单调递增,

当力V0时,63)<0,(p(x)在(—oo,0)上单调递增，

所以9(/)>?(0)=0,所以当力W0时，ex>力+1,

从而当力W0,力W1时，h(t)=『/卜>『J](t+1).

又由⑴知1(%)在(—oo,0),(l,+oo)上单调递增，九⑴在(0,1)上单调递减.

所以当t>l时，九⑴〉。1——令b=l—十，解得力=匕+唱+4,

由％出)=b<从比乎H)得t3<近乎亘；

当0<力<1时,九⑴〉十T,令b=：T,解得――6+冲+4,

1

由岫):b<从一+严力得t2>一+^;

当t<0时,h(t)>t-+,令b=t-解得t=6-乎+4,

由以幻=b<从白二番亘)得《白二番豆.

6+

综上，2t3-t2+tt<b+V^+4~~^+4+=2b,得证.

(=)把比较a,b(a>0,b>0)转化为比较lna,lnb的大小

比较两个指数式的大小，有时可以通过取对数，利用对数函数的单调性比较大小，如比较八叫(九+1)”

(nGN,,n>2)的大小，可通过取对数转化为比较(n+l)lnn,nln(n+1)的大小，再转化为比较

n

皿力)的大小，然后可以构造函数/(,)=巫，利用/(,)的单调性比较大小.

n+1x

吼◎一天，小锤同学为了比较lnl.1与击的大小，他首先画出了？/=In,的函数图像，然后取了离1.1很近

的数字L计算出了夕=In,在c=1处的切线方程，利用函数夕=Inc与切线的图像关系进行比较.

(1)请利用小锤的思路比较lnl.1与上大小

⑵现提供以下两种类型的曲线沙=3+6,9=如+3试利用小锤同学的思路选择合适的曲线，比较清

X1

e3的大小.

【解析】(1)构造函数/(力)=Inx—6+1,由f®)在(0,1)上单调递增，在(l,+oo)上单调递减，得/(力)<

f(l)=0,即In力W力-1,取力=1,得lnl.1<0.1

⑵通过取对数,把比较7re,e3的大小转化为比较eln兀与3的大小，即比较In兀与在大小

选g=g+b,令"=Inx与。=号+》公切于e

xx

Ine=丹+b

e2_e2,_3

则有，1_2a=a=_R=q

ee3

e2上3

•■y-------

2T22

•4•

记g(0=ln”g—*g，®=?一三=丁

/.g(c)在(0,e)上单调递减，在(e,+oo)上单调递增,

gQ)>g(e)=0,；.Inrr>一忘+4

2x2

.i、e,,3十13e23

In7t>---------7+不，下1正：k-----r>—

2兀2222兀2e

只需证％京丹

..3e?3⑵72尸=J。(2.72)2

,e2/2.72x(3.1)?-92x(3.1)2

只需证(„

<0.88,(0.88)2=0.7744

O.JL

而《=0.777>0.7744,；.In7t>旦，即Ke>e3

9e

选,y=kx+力，通过取对数，把比较7re,e3的大小转化为比较eln7U与3的大小，即比较In兀与大小，即较

In-与一--大小

7Te

fin—=k—+t

令y=Inx与g=kc+力切于［■，则有<ee=>fc=e,t=—2,：,y=ex—2

e[e=k

令g{x}—Inx—ex+2,g'(力)=——e=————

・・・g（M在（0，!）上单调递增，在（5+oo）上单调递减,

g(力)Wg(—}=0,\nx&e/-2,当x=—取等

\e/e

.tIn工<——2下证——2V——,只需证£■+&V2

7u7U兀e7ue

3in

T+Sv2.72+/V0.88+詈,

兀e3.1

*.*2——与=0.8>0.88,In—-V——,In7u>—,兀。>e3.

997Tee

典例展示

011（2021全国甲卷iU考试题）已知a>0且a/1,函数/㈤="Q>0）.

a

⑴当a=2时,求/Q）的单调区间；

（2）若曲线g=/（力）与直线沙=1有且仅有两个交点，求Q的取值范围.

•5•

【解析】(1)当a=2时,/Q)=。⑺=2"2；yin2="2。(212),

2(2)4

令r(,)=。得2=焉，当。<必<熹时，/3)>0,当立〉熹时，/(①)<o,

函数/(①)在(o,七］上单调递增；［焉，+8)上单调递减；

(2)/(,)=—=1oax—cO=adna=aln,==二。,设函数g(x)=上空，

axxax

则g'Q)=1.严,令。'(力)=0,得/=6,

在(0,e)内g'(力)>0,g(力)单调递增;

在(e,+oo)上g<6)V0,g(力)单调递减；

•,g(力)max-g(e)—e，

又g(l)=0,当I趋近于+8时，g{x)趋近于0,

所以曲线g=于(X)与直线g=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(c)与直线0=谭二有两个交点的充分

必要条件是0V上四V，,这即是0Vg(Q)Vg(e),

ae

所以a的取值范围是(l,e)U(e,+oo).

网12(2023居新It青三第三次连应性检测)已知函数/(工)=a/+(a+DTn/—1,g(0=与.

(1)讨论g(c)的单调性；

2

(2)若方程/Q)=/6+句11，一1有两个不相等的实根如g,求实数a的取值范围，并证明/+效>」.

力便2

【解析】(1)因为g(x)=a4+(a+l)lna?——,

x

所以以,)=。+3+==("+1)(广+1)3>0),

XXX

当a>0时，g{x}>0,所以g(/)在区间(0,+8)上单调递增，

当aV0时，令g’(劣)>0,得0〈力〈一十;令"(劣)V0,得力>—―,

所以g(,)在区间(0,—上单调递增，在区间(一十,+8)上单调递减，

综上当a>0时，g(x)在区间(0,+8)上单调递增，当a<0时，*)在区间(0,―十)上单调递增，在区间

(—--,+00)上单调递减.

(2)方程/(力)=x2ex-\-xlnx-1,即ac+alnx=ce",等价于aln(xex)=xex,

令力=力e*>0,其中a;>0,则alnt=力，显然r1,

,6,

令腐)=看,则〃⑴=%!，

所以九⑴在区间(0,1)上单调递减，且由力-0时九⑴<0可得在区间(0,1)±h(t)<0,

人(力)在区间(1,6)上单调递减,在区间(e,+8)上单调递增，

所以九(%)极小值=九(e)=e,

因为方程于⑸=x2ex-\-xlnx—1有两个实根力1,力2,

所以关于土的方程。=有两个实根九12,且ti—616叼,t—ge”?，所以a6(e,+oo),

Int2

2

2

要证e%+*2>----------,即证力追"力2才>e,即证堆2>e?,只需证int1-\-\nt2>2,

力僮2

因为,所以2二1,；二;n,,整理可得"=与普，

］

{t2—alnt2由+12=矶1血1+111力2)。一12In力—In12

不妨设ti>力2>。，则只需证lnti+lnt2——^-―^-ln—>2,

11—力2

质2(『幻2借-1)

12

令s=g>1,p(s)=Ins—2(s1)，其中S>1,

t25+1

因为d(s)=l——^=-^R>0,所以0(s)在区间(l,+8)上单调递增，

s(s+l)2s(s+l)2

所以/z(s)>无⑴=0,故e*|+%>_?一.

力巡2

03已知函数，/(力)=In/一力+m,mER,

(1)求/O)的极值；

⑵若/(力)有两个零点Q,b,且aVb,求证:e(b+~^~)<2em.

【解析】(1)函数/(⑼的定义域为(0,+8),/'0)=：—1.

当0<,<1时，/(乃>0,则/㈤在(0,1)上单调递增;

当力>1时，/'⑸V0,则/⑺在(l,+oo)上单调递减，

所以函数/(6)的极大值为/(I)=m—l,无极小值.

(2)令/(力)=0,则？?2=力一Inx.

设九(6)—X—In力(力>0),

则h\x)=1——=—

xx

易知函数八(力)在(0,1)上单调递减，在(L+8)上单调递增.

又/i(l)=1,所以h(x)>1,

•7・

又/(2)有两个零点，所以巾>1.

因为aVb,所以OVaVlVb.

要证e(b+<2em,即证2em-1>b+^-,

\b，b

即证ln2+m—1>In0/—ln(b2+l)—Infe.

又/(b)=0,则a=b—Infe,

故即证ln2+b—Inb—1>ln(b2+l)—Inb,

即证In2—l>ln(b2+l)—b.

设力(b)=ln(&2+l)—b,b>1,

则，⑹=-1=—(7I

b2+lb2+l<Q

所以t(b)在(l,+oo)上单调递减，

所以t(b)<力⑴=ln2—1,

故e(b+2)V2记得证.

m4设函数/(力)=-lii/.

(1)设4、/)2>0且九+入2=1,求证:对任意的力1、/2>0,总有燎巡1+4/2成立；

n

(2)设为>0,4>0(i=1,2,…,九)，且224=1,求证：/物n汇&A/i+4gH---b/lnTn.

i=i

【解析】⑴证明：迎$&46]+42/20111(力优，)ln(/l1Ti+/l2^2)=/Mn/i+/)21n力2&ln(A1x1-\-A2X2)

e/(4电+痴)+M(宏2).

不妨设0V力14力2，

令g(力)=行(%)+—(22)—+义242)=ln(4i/+)2g)—/IJn%—/^In力2,其中0V/&22,

444巡一4(/1便+/)262)A^X-Ax-AX2)/U2O一62)/c

贝g\x)=-------------=------------------=--------r------2---=-------------W0,

AiX+A2X2X(4便+/(262)1(46+办/2)6(41+义2/2)力

所以，函数gQ)在区间(0,宏2〕上单调递减，

因为―一(0,①2),则g(力1)>g(62)=Ing—lng=0,

所以，g(/i)—ln(/l何i+z^g)—/WnNiTzln12>0，即Alnoi+zyng&ln{A1x1+A2X2)，

所以，当九、/12>0且4+/12=1,对任意的电、/2>0,总有那改<4力]+相成立.

n

⑵证明：电>0,4>o(i=l,2,…,71),且汇4=1,

i=l

要证名优机…/4九/1+/)2力2H---F/ln^n-

即证41n/i+zl21n/2+—F/lnlnTn<ln(/h；i+4262+—九/力,

即巡1+不电+…+加以)+%/(宓2)+…+4/(以)，

•8・

当71=2时，由（1）可知，不等式成立，

假设当n=M%>2,%eN*）时不等式成立，

即/（曲ci+莅铀+•••+晨秋）W+时3）+…+4/㈤）,

则当n=k+1时，设x'k=—xk+xk+1,

七十4+1七十^k+1

由（1）可得/（或）W万―/（队）+万告」/（a+1）,

人k十Ak+14十&+1

则/（/1巡1+/12/2+…+儿软+4+口"1）=/（/1巡1+/12/2+・・・+4一1秋_1+（儿+4+1）城）

&九/（◎）+・・・+4—1/（>—1）+（4+4+i）/（4）<4/（0）+・,・+4/（秋）+4+1/（3+i）,

这说明当口=%+1时，结论也成立，

故对任意的neN*,/（1巡1+1262H----^儿力九）<4/（21）+4/（g）H—（稣），

所以,一ln（4i01+/I262H----F/lna;n）4-4iln劣1一---/lnlnj;n,

因止匕,/IxlnXi+^ln^H--F/lnlm;n^ln（Ax1-\-A2X2^~—F/lna:n）,

n

故当电>0,4>0（i=l,2,・・・,?i）,且54=1时，*云…珞&在Ci+z^gH----l-Anxn.

i=i

5已知函数/（力）=e=g（力）—x-\-aln劣,aER

（1）讨论gQ）的单调性；

（2）若/（力）+2%>g（力）+力、对任意力6（1,+8）恒成立，求a的最大值；

【解析】（1）。（力）=1+—=2土包（力>0）,

XX

当a>0时，/（力）>0,gQ）在（0,+8）上单调递增;

当aV0时，令£（/）>0,解得力>—a，令/（力）V0,解得0V力<—a,

/.g㈤在（0,—Q）上单调递减，在（-a,+oo）上单调递增；

综上，当a>0时，g{x）在（0,+oo）上单调递增；

当QV0时，。（力）在（0,-Q）上单调递减，在（-Q,+OO）上单调递增；

（2）/（力）+2/>g（力）+/即为ex-\-x>alnx+力0,即e^+lne,\lnxa-\-xa,

设h{x）—In6+x（x>0）,则h'（x）=—+1='+1,

xx

易知函数/z（c）在（0,+oo）上单调递增，

而/z（e"）>%（"）,所以e"）/（两边取对数），即2>alruc,当;r>1时，即为aW亮,

设（p{x）=-j^-（z>1）,则（p{x）=,

m⑦Inx

易知函数武力）在（0,e）上单调递减，在（e,+oo）上单调递增，

.\03）>0（e）=e,

,a<e,即a的最大值为e.

•9・

何|6已知函数/（力）=/ln/.

（1）讨论/Q）的单调性；

⑵设a,6为两个不相等的正数,且a』。,证明上<1.

【解析】⑴/'3）=ln/+l,定义域为（0,+8）,

由f（x）=0,解得x=—,

e

由/'（力）>0,解得T>—,

e

由f（x）<0,解得0V力V工，

e

所以/（力）的单调递增区间为（十:,+8）,单调递减区间为（0，!

⑵・・・Q,b为两个不相等的正数，且d=ba,

blna=alnb,即-In-=31n3,

aabb

由(1)可知/(力)min==—|-，且/⑴=0,力T0时,/(力)—0,

则令力i=L，力2=1，

ab

春。），

贝I力1,力2为/（力）=%的两根■，且ke

、1

不妨设劣住（0.一61>一，

e

先证?V%1+/2，即证力2>看一,即证/（力2）=/（g）-3^1）,

令九㈤可㈤-，即证在力e（0,§）上，无（力）>0,

H⑸=/'(/)—/(-|--2)=Inx+ln(-|--/)+2=]n(_/2+菅/)

则+2,

h!(x)在(0,工)上单调递增，即〃㈤<〃C）=0,

h!（x）V0在（0,1）上恒成立,即h（x）在

i二0,

”3)>/（―力即可得电>.如

再证/1+62V1,即证工V62V1—Xi,

e

由⑴/㈤单调性可得证/(g)=/(◎)</(1-^),

令(p(x)=/(x)-/(I-x),xe(0,1),

(p{x)—Inx+ln(l—x)+2=ln(—d+rr)+2,

43)在(0,十)上单调递增，

•10•

（p{x}=T0,0’（力）＜0,

所以存在g使得d（g）=0,

即当为G（0,g）时，8’（劣）＜0,0（/）单调递减,

当力G时，d（力）＞0,0（劣）单调递增，

又有宏-＞0,?（/）＜0,

所以0（力）＜。恒成立,

61+12V1，

则2〈支+上＜1，即可证得・

eab

题目可已知函数/3）=/ln6+Q,（QGR）.

（1）求函数/（力）的单调区间；

（2）当OVaV!时，证明：函数/（c）有两个零点；

（3）若函数g（/）=/（力）—ax2—x有两个不同的极值点的，力2（其中力i＜力2），证明：力「涕〉e3.

【解析】（1）/'（C）=In力+1,（劣＞0）,

当0V%V■时，/'（/）V0,当力〉~|■时，/'（力）＞0,

所以函数/Q）在（。，十）上递减，在（,,+QO）上递增，

所以函数/（⑸的单调区间为（。，?）和（《，+8）；

（2）证明：由⑴知/O）min=/g）=-十+/

因为OVaV?,所以/（!）VO,

又当力t0+时，/（力）＞0,/（e）=e+a＞0,

所以函数在（0,｝）上存在一个零点，在（十,e）上存在一个零点，

所以函数/（①）有两个零点；

（3）证明：g（x）=/（0?）—ax2—x=/In力---ax2—x+a,（n＞0）,

则9（力）=In6—2a6,

因为函数g（力）有两个不同的极值点如了2（其中力i＜/2）,

所以lnj；i=2ag,\nx2—2ax2,

要证/ra?2>e3等价于证In(力r滋)>Ine3,

即证lnx1+21nx2>3,

所以3Vln/i+2hi力2=2a/I+4Q力2=2a(Xi+2T2),

因为0VXi<x2,

所以2a>—,

61+262

又lnj；i=2。/1,inx2—2ax2,

予In型

作差得In-=a(力1—力2)，所以Q=-----,

6221一力2

21n型&

所以原不等式等价于要证明一生〉一

Xi~X211+2力2

即21n色(叱顼，

令力=也工e(0,1),

力2

则上不等式等价于要证：21n%<若)工)(0，1)，

令Mt)=21nt—3'+；)上C(0,1),

则h\t)=-..........=2J+8>o,ie(0,1),

3t(±+2)2t«+2)2、，八

所以函数h(t)在(0,1)上递增，

所以八(力)V拉⑴=0,

所以21ntV(0,1),

所以Xi,太>e3.

题目叵形如“=/3)刎的函数称为幕指函数，幕指函数在求导时，可以利用对数法:在函数解析式两边取

对数得Iny=lnf(x)sM—g(x)lnf(x)，两边对x求导数，得幺=g'(c)ln/(2：)+g(x)，于是y—/(①)"到

y/⑺

d(c)ln/(±)+g(x)；；；］•已知/(工)=26®"",g(x)=x2+l.

(1)求曲线g=/3)在C=1处的切线方程；

(2)若h(x)=f(x),求九(力)的单调区间；

(3)求证：V力G(0,+8),/(力)>g(/)恒成立.

【解析】⑴由赛指函数导数公式得f3)=2ex}nx(lnx+1),

所以/(1)=2,又f(l)=2,

所以，曲线g=/(力)在)=1处的切线方程为g=2力.

•12•

⑵九(力)=/Q)=2exlnx(lnT+l),x€(0,+oo),

则h!(x)=2(功1nxin2+1)+2©1")(1口比+1/

=2[ellM(lna;+l)](lnc+1)+2(erfM)•[

=2elte[(lnx+1)2+^]>0,

所以h{x}的单调增区间为(0,+oo),无单调减区间.

(3)构造F{x)=/(re)-g(x),xG(0,+oo),

则F'(x)—f{x}—g{x)—2exlnx(lnx+1)—2c,

令H(x)=Fr(x)=2ea:IlKF(ln®+1)—2x,xE(0,+co),

所以H\x)=2©me(lnc+l)2+e(^l)te-l],

因为a;—1与Inrc同号，所以(/一l)lnz>0,所以e(rc-1>lna：—1>0,

又e”Rlnc+I)?>0,所以H\x)>0,

所以J/Q)即F'Q)为(0,+oo)上增函数，

又因为F'(l)=0,

所以，当①6(0,1)时，F\x)VF'⑴=0;

当cC(l,+oo)时，尸㈤>F'⑴=0.

所以，F(s)为(0,1)上减函数，为(1,+8)上增函数，

所以，F(x)min=F(l)=0,

即F(x)=f(x)-g(x)>0,

因此，Va;G(0,+co)JQ)>g(c)恒成立，即证.

〔题目因已知函数