初高中数学衔接讲义（修改）

-PAGE3-第一讲：勾股定理的再认识勾股定理：在中,设的对边分别为.若,则.1.勾股定理的内涵:①勾股定理的使用前提是三角形内有一直角.②勾股定理确定了三角形边与角的定量关系.③勾股定理揭示了定理成立的根本原因.例1.在中,若有两边的长分别为,则第三边的长度的取值范围为________.例2.若是一个直角三角形,且有两边的长分别为,则第三边的长为________.例3.在中,,,,点在边上,且,则________.例4.在中,设的对边分别为.若,,,则________.2.勾股定理的结构①在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.②在直角三角形中,三条边长之间的关系是平方后的关系.例5.在中,,且,点在边上,求证:.例6.在中,设的对边分别为,,求证:.3.勾股定理的延拓①勾股定理与三角形形状间的关系.②勾股定理与余弦定理之间的关系.例7.在中,若为钝角,,,则边长度的取值范围为________.例8.在中,设的对边分别为.若,,,则________.4.勾股定理逆定理：在中,设的对边分别为.若,则.例9.若三边长满足,则这个三角形的形状为_______.例10.在正方形中,为的中点,为上一点,且,求证:.第二讲：分解因式的再认识1.分解因式的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.例如下列从左到右的变形中就是分解因式的过程：,.注意：①分解因式的结果要以乘积的形式出现；②每个因式必须是整式且每个因式的次数都必须不高于原多项式的次数；③分解因式必须分解到每个因式都不能再分解为止；④分解因式是一个恒等变形的过程,等式左边必须是多项式；⑤因式与整式乘法之间的关系:分解因式与整式乘法是互逆的关系.例1.请指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？(1)；(2)；(3)；(4)；2.分解因式的方法①提公因式；②利用公式；③分组分解；④添项拆项；⑤十字相乘；⑥方程的解.例2.在实数范围内分解下列各个多项式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8).(9)；(10).例3.若分解因式,求的值.例4.已知都是自然数,且,求的值.例5.当为何值时,可以分解为两个一次因式的乘积？例6.已知,求的值.3.因式乘积的符号：若干个非零因式之积的符号取决于负号的个数.例7.求解不等式:(1)；(2)；(3).例8.若关于的不等式对一切实数均成立,求实数的取值范围.第三讲：判别式意义再认识1.判别式的意义(1)判别式的概念对于关于的一元二次方程,记,则:①当时,该方程有两个不相等的实数根；②当时,该方程有两个相等的实数根；③当时,该方程没有实数根.称为关于的一元二次方程有无实数根的判别式.(2)判别式的实质对于关于的一元二次方程可以通过配方法得到,由此可以看出是一个完全平方式,从而必有.2.判别式的应用例1.判断以下方程的解的情况:(1)；(2)；(3)例2.若关于的一元二次方程有实数根,求实数的取值范围.例3.已知实数满足,试求实数的值.例4.求证:关于的方程必有实数根.例5.若二次函数的图像均在轴上方,求实数的取值范围.3.判别式的拓展例6.已知实数满足,求证:.例7.已知关于的方程有有理数根,求整数的值.例8.求所有的整数,使关于的方程至少有一个整数根.第四讲：韦达定理的再认识1.韦达定理的应用若关于的一元二次方程的两个实数根为,则,.例1.若是方程的两个实数根,求,,的值.例2.若不相等的实数满足:,,求代数式的值.例3.若均为有理数,且是方程的一个实根,则________.例4.若方程的两个实数根为,且,求实数的取值范围.2.韦达定理的前提应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即必须.例5.若关于的方程只有正实数根,求实数的取值范围.例6.若是方程的两个实数根,且,求实数的值.例7.是否存在实数,使得关于的方程的两个实数根的平方和为1？若存在,请求出所有实数的值；若不存在,请说明理由.3.韦达定理的拓展例8.求所有的实数,使关于的方程有且只有正整数根.例9.求所有的实数,使关于的方程有且只有正整数根.例10.设是方程的三个实数根,求的值.第五讲：函数图像的再认识1.点的坐标的认识例1.若点的坐标为(,),则当的值从逐渐增大到的过程中,点将______.A.先向右上移动,再向右下移动B.先向右下移动,再向右上移动C.先向左上移动,再向左下移动D.先向左下移动,再向左上移动例2.已知点在直线上,并且点P到轴的距离为,求点的坐标.例3.如果为坐标原点,以为圆心,长为半径作,那么在上到轴的距离为的点有_____个,到轴距离为的点有_____个.2.函数图像的画法①直接描点作图；②利用性质作图；③分段函数作图.3.数形结合法初探例4.将抛物线先向上平移个单位,再向右平移个单位可以得到抛物线_______.例5.若右图是函数图像的一部分,则当满足_______时,该函数的函数值.例6.若抛物线与轴交于两点,线段,当时,函数值取得最大值,求该抛物线的解析式.例7.若要使反比例函数的函数值,则自变量的值应该满足的条件为_______.例8.求不等式的解集.例9.讨论方程的实数根的个数.例10.若当时,一次函数的函数值满足,则_______.例11.已知当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.第六讲：分类讨论思想初探1.分类讨论的意义例1.解关于的不等式.2.分类讨论的依据例2.解关于的不等式.例3.解关于的不等式.例4.解关于的不等式.例5.解关于的不等式.例6.解关于的不等式.例7.已知关于的不等式有且只有三个正整数解,求实数的取值范围.例8.已知不等式组的整数解有且只有,求满足条件的所有整数对？3.分类讨论的误区例9.解关于的不等式.例10.求的范围,使得当时函数的图像全在轴上方.例11.已知关于的方程至少有一个整数根,求整数的值.第七讲：全等与相似的再认识1.如图,图中所有小正方形的边长均为,则下列图中的三角形(阴影部分)与相似的是______.2.已知在右下图的图和图中的每个小正方形的边长都是个单位.①在图中画出一个与格点相似且面积为个平方单位的格点三角形.②在图中画出一个与格点相似且面积为个平方单位的格点三角形.3.在中,,,,求的面积.4.(1)在和中,如果有,,且,那么和一定全等吗？(2)在和中,如果有,,且,那么和一定全等吗？(3)在和中,如果有,,且,那么和一定全等吗？(4)在和中,如果有,,且,那么和一定全等吗？(5)在和中,如果已知,,且,那么当,,之间满足怎样的关系时,我们就可以断定和全等?5.如图,已知点分别在等边的边的延长线上,且满足,求证:.第八讲：基本不等式及其应用一、基本不等式：1.基本不等式2.使用基本不等式的注意事项二、典型例题：例1.求下列函数的最值.(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),例2.(1)已知正实数满足,求的最小值.(2)已知正实数满足,求的最小值.(3)已知正实数满足,求的最小值.(4)已知正实数满足,求的最小值.(5)已知正实数满足,求的最小值.(6)已知正实数满足,求的最小值.(7)已知正实数满足,求的最小值.(8)已知正实数满足,求的最小值.第九讲：二次函数的再认识(1)1.已知二次函数的图象过,和三点,求二次函数的解析式.2.已知二次函数的图象过和两点,且其顶点的纵坐标为,求它的解析式.3.当为何值时,函数取得最小值.4.已知方程有一个根大于,有一个根小于,求实数的取值集合.5.当为何值时,关于的二次方程的两个实根和分别满足和？6.已知,是方程的两个实数根,求的最大值.7.求函数在上的最小值.8.若开口向下的抛物线过轴上方的点.求证:抛物线与轴有两个交点,,且在与之间.9.已知函数,方程的两根,满足,若,证明:.第十讲：二次函数的再认识(2)1.求证:函数的图像一定经过第一象限.2.设二次函数,求证:存在实数,使得与同号.3.设开口向上的二次函数的图像经过轴下方的点,求证:方程有两个实根,且.4