2024-2025学年高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质同步作业含解析新人教A版必修51

PAGE等比数列的性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等比数列{an}中,若a1=1,a5=16,则a3= ()A.2 B.-4C.4或-4 D.4【解析】选D.由已知QUOTE=16,又a3与a1同号,所以a3=4.2.已知等比数列{an}中,a3a13=16,则a8的值等于A.4 B.8 C.±4 【解析】选C.因为QUOTE=a3a13=16,所以a8=±4.3.已知等比数列QUOTE满意a5+a8=2,a6·a7=-8,则q3= ()A.-QUOTE B.-2C.-QUOTE或-2 D.2【解析】选C.由等比数列的性质可知,a5·a8=a6·a7=-8,因为a5+a8=2,所以a5=4,a8=-2,或a5=-2,a8=4,所以q3=QUOTE=-2或-QUOTE.4.已知在等比数列{an}中,a1=1,a3+a5=6,则a5+a7= ()A.12 B.10 C.12QUOTE D.6QUOTE【解析】选A.因为a1=1,a3+a5=6,所以a3+a5=q2+q4=6,即q4+q2-6=0,即(q2-2)(q2+3)=0,解得q2=2,所以a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12.5.若数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8,则其公比q为A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.3【解析】选C.因为数列{an}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8=a1a4,可得a1,a4为一元二次方程x2-9x+8=0的两个实数根,所以a1+a4=9,a1a4=a解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1(舍去),所以q3=8,解得q=2.6.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于 ()A.6 B.-6 C.±6 【解析】选C.因为a=QUOTE=QUOTE,b2=(-1)(-16)=16,则b=±4,所以ab=±6.二、填空题(每小题5分,共10分)7.在QUOTE和QUOTE之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为________.

【解析】设插入的三个数为a2,a3,a4令a1=QUOTE,a5=QUOTE,则QUOTE=a2a4=a1·a5=36.又a3,a1同号,故a3=6,因此a2a3答案:2168.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a【解析】因为{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a所以QUOTE+2a3a5+QUOTE=25,即(a3+a5)2=25,则a3+a5=5.答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,求a4【解析】因为a6a10=QUOTE,a3a5=QUOTE,故QUOTE+QUOTE=41,所以(a4+a8)2=QUOTE+QUOTE+2a4a8=41+8=49,又数列{an}各项均为正数,所以a4+a8=7.10.已知数列{an}前n项和为Sn,满意Sn=2an-2n(n∈N*).证明:{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式.【解析】由已知,Sn=2an-2n(n∈N*),Sn-1=2an-1-2(n-1)(n≥2),两式相减得an=2an-1+2,即an+2=2(an-1+2),QUOTE=2,又因为S1=2a1-2=a1,得a1=2,所以a1+2=4,所以{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列,an+2=4×2n-1,an=4×2n-1-2=2n+1-2(n≥2),又因为a1=2,所以an=2n+1-2(n∈N*).(45分钟75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等比数列{an},a1=1,a3=QUOTE,则a2等于 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.±QUOTE【解析】选D.由等比数列的性质,a1a3=QUOTE,所以a2=±QUOTE.2.在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是A.10000 B.1000 C.100 【解析】选A.因为lga3+lga6+lga9=6,所以lg(a3·a6·a9)=6,即QUOTE=106,故a6=100,因此a1a11=QUOTE=10000.3.已知等比数列{an}满意a5+a8=2,a6·a7=-8则a2+a11= ()A.5 B.-5 C.7 【解析】选D.等比数列{an}有a5·a8=a6·a7=-8,而a5+a8=2,联立组成方程组,QUOTE⇒QUOTE或QUOTE,设公比为q.当QUOTE时,解得QUOTE,a2+a11=a1q+a1q10=-8+1=-7;当QUOTE时,解得QUOTE,a2+a11=a1q+a1q10=1-8=-7.4.已知a,b,c,d成等比数列,且曲线y=x2-2x+3的顶点是(b,c),则ad等于 ()A.3 B.2 C.1 【解析】选B.因为y=(x-1)2+2,所以b=1,c=2,又因为a,b,c,d成等比数列,所以ad=bc=2.5.等比数列{an}的各项均为正数,已知向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,则log2a1+log2a2+…+log2A.12 B.10 C.5 D.2+log2【解析】选C.向量a=(a4,a5),b=(a7,a6),且a·b=4,所以a4a7+a5a由等比数列的性质可得:a1a10=……=a4a7=a5则log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2·a10)=log2(a1a10)5二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2024·湖南五市十校高二检测)已知数列QUOTE是递增的等比数列,a1+a4=6,a2a3=5,则a7=__________.

【解析】由等比数列的性质知道,因为a2a3=5,所以a1a因为a1+a4=6,解得QUOTE或QUOTE,由于数列QUOTE是递增的等比数列,故QUOTE因为a42=a1·a7,所以a7=25.答案:257.已知数列{an}的首项为3,等比数列{bn}满意bn=QUOTE,且b1009=1,则a2018的值为________.

【解析】因为bn=QUOTE,且a1=3,所以b1=QUOTE,b2=QUOTE,…bn-1=QUOTE,相乘可得QUOTE=b1b2…bn-1,QUOTE=QUOTE=b1b2…b2017=(b1b2017)·(b2b2016)…(b1008b1010),因为b1009=1,b1b2017=b2b2016=…=b1008b1010=(b1009)2=1,所以QUOTE=1,a2018=3.答案:38.数列{an}的首项为1,数列{bn}为等比数列且bn=QUOTE,若b10·b11=2,则a21=__________.

【解题指南】解答本题首先要留意b1·b2·b3·…·b20=QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE=a21,另外要留意依据b10·b11=2用等比数列性质求b1·b2·b3·…·b20.【解析】因为bn=QUOTE,所以b1=QUOTE,b2=QUOTE,b3=QUOTE,…,b20=QUOTE.以上各式相乘,得b1·b2·b3·…·b20=QUOTE·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE=QUOTE=a21,因为数列{bn}为等比数列,所以b1·b20=b2·b19=b3·b18=…=b10·b11=2,所以a21=b1·b2·b3·…·b20=210=1024.答案:10249.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=QUOTE,a8a9=-QUOTE,则QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=________.

【解析】因为a7+a8+a9+a10=QUOTE,a8·a9=a7·a10=-QUOTE,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE【一题多解】因为a7+a8+a9+a10=QUOTE,a8a9=-QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE,即QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=-QUOTE.又a7a10=a8a所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=-QUOTE.所以QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE三、解答题(每小题10分,共30分)10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-3n(n∈N*).(1)求a1,a2,a3的值.(2)设bn=an+3,证明数列{bn}为等比数列,并求通项公式an.【解析】(1)由已知,当n=1时,a1=S1=2a1-3×1,解得a1=3,当n=2时,S2=2a2-3×2=a1+a2,解得a2=9,当n=3时,S3=2a3-3×3=a1+a2+a3,解得a3=21.(2)因为Sn=2an-3×n,所以QUOTE=2QUOTE-3×(n+1),两式相减得QUOTE=2an+3,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,又因为b1=a1+3=6,所以{bn}是首项为6,公比为2的等比数列,bn=6×QUOTE,所以an=bn-3=6×QUOTE-3=3(2n-1).11.等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=QUOTE,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.【解析】设{an}的公差为d.由S3=QUOTE,得3a2=QUOTE,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列,得QUOTE=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,故(2a2-d)2=(a2-d)(4a2+2d).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时Sn=0,不符合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0,或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1.12.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+5n,数列{bn}中,b1=8,64bn+1-bn=0,问是否存在常数c,使得对随意的正整数n(n∈N*),an+logcbn恒为常数m?若存在,求出常数c和m的值;若不存在,请说明理由.【解题指南】先求出an与bn,假设存在c与m,利用n的随意性建立c,m的方程,推断解是否存在.【解析】因为Sn=3n2+5n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+2,而a1=S1=8适合上式.所以an=6n+2,由64bn+1-bn=0得QUOTE=QUOTE,所以{bn}是首项为8,公比为8-2的等比数列.所以bn=8×(8-2)n-1=83-2n.假设存在常数c和m,使an+logcbn=m恒成立,则6n+2+logc83-2n=m,即(6-2logc8)n+(2+3logc8)=m,对随意n∈N*恒成立.所以QUOTE解得QUOTE所以存在常数c=2,使得对随意n∈N*,恒有an+logcbn=11.【补偿训练】设关于x的二次方程anx2-QUOTEx+1=0(n=1,2,3,…)有两根α和β,且满意6α-2αβ+6β=3.(1)试用an表示QUOTE.(2)求证:QUOTE是等比数列.(3)当a1=QUOTE时,求数列{an}的通项公式及项的最值.【解析】(1)由根与系数的关系得QUOTE代入6(α+β)-2αβ=3得QUOTE-QUOTE=3,所以QUOTE=QUOTEan+QUOTE.(2)因为QUOTE=QUOTEan+QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE.若an=QUOTE,则方程anx2-QUOTEx+1=0可化为QUOTEx2-QUOTEx+1=0,即2x2-2x+3=0,此时Δ=(-