2024年上海中考数学一轮复习：正多边形与圆的有关的证明和计算（解析版）

专题16正多边形与圆的有关的证明和计算核心知识点精讲

复习目标

了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧

面积及全面积；

2.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；

通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.

【知识网络】

考点一、正多边形和圆

1、正多边形的有关概念：

(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心一一正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径一一正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距一一正多边形中心到正多边形各边的距离.(正多边形内切圆的半径)

(5)正多边形的中心角一一正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n》3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

(3)把圆分成n(nN3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外

切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.

(4)任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.当

边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相

似比的平方.

(4)任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

要点诠释：

(1)正n边形的有n个相等的外角,而正n边形的外角和为360度,所以正n边形每个外角的度数是随；

n

所以正n边形的中心角等于它的外角.

(2)边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长(或半径、边心距)的比.面积比等于它们边长(或

半径、边心距)平方的比.

考点二、圆中有关计算

1.圆中有关计算

圆的面积公式：$=开我2，周长C=2zrR.

圆心角为＞严、半径为R的弧长？-皿.

180

圆心角为内。，半径为R,弧长为/的扇形的面积=少‘上：=【开；.

3602

弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R,母线长为/的圆柱的体积为兀炉/，侧面积为2兀却，全面

积为2加7+2加^

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R,母线长为/,高为方的圆锥的侧面积为天河，全面积为

兀用+解2,母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有&?+力2=尸・

要点诠释：

(1)对于扇形面积公式,关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的」一，即」.乂兀必=三£’；

360360360

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就

可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式31M.-1纸，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式£=」必有点类

似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：==—=^^R=-]R-

M36021802

典例引领

【题型1：正多边形有关计算】

【典例1】将刻度尺按如图所示的方式放置在正六边形ABCDE尸上，顶点C,尸分别对应直尺上的刻度12

和4,则AB与CP之间的距离为()

D

E<B

A.8B.2石C.4A/3D.4【答案】B

【分析】本题考查了正多边形的性质，含30。直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知

识；设正六边形的中心为。，连接Q4,过A作AGJLCb于点G；由已知得b=8,则。4=。4=4,且

ZAOF=60°,得，AO尸是等边三角形，则得G产=2,AF=4,由勾股定理即可求得AG,即AB与Cf之

间的距离.

【详解】解：设正六边形的中心为。，连接。4,如图，过A作AGLCR于点G,

•••顶点C,F分别对应直尺上的刻度12和4,

5=12-4=8,

•••多边形ABCDE广为正六边形，

360°

OA=OF=4,ZAOF=——=60°,

6

49方是等边三角形，

/.AF=4,ZOAF=60°

「AG.LCF,

二GF=2,ZG4F=30°,

由勾股定理得AG=^AF2-GF2=2y/3，

“4日空1=12。。

ZOAB=120°-ZOAF=60°=ZAOF,

/.AB//CF,

-/AG1CF,

即AB与CT之间的距离为2指.

故选：B.

即时检测

1.如图，正五边形ABCDE内接于C。，P是外E上一点，则ND"的度数为（）

A.72°B.54°C.36°D.30°

【答案】C

【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接ODQC,求得ZDOC=券360°=72。,

结合圆周角定理，ZDFC=-ZDOC,计算即可.

2

【详解】连接。ROC

.•,正五边形ABCDE内接于尸是片£上一点,

360°

ZDOC=^-=72。,

NDFC」NDOC=36。,

2

故选C.

2.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正八边形ABCDEFG”的中心与原点。重合，AH〃龙轴，交y

轴于点M.将绕点。顺时针旋转，每次旋转45。，则第2023次旋转结束时、点H坐标为（根,〃），则

加+〃与0的关系是（）

A.m+n<0B,m+n=QC.m+nX)D.无法确定

【答案】C

【分析】先计算正八边形ABCDEFG以的中心角为45。，确定循环节为8,根据规律确定H的最终位置，连

接0H,则/。加H=90。,/河0〃=22.5。,/〃〃0=67.5,继而判定即”>他判定即可.

【详解】根据题意，得正八边形ABCDEFGH的中心角为45。，

第1次旋转点H与点G重合;

第2次旋转点”与点F重合;

第3次旋转点”与点E重合;

第4次旋转点H与点。重合;

第5次旋转点”与点C重合;

第6次旋转点”与点B重合;

第7次旋转点H与点A重合;

第8次旋转点H与点”重合;

故循环节为8,

故第2023次旋转时，2023+8=252…7,

的最终位置与点A重合，位于第二象限，

连接OH,

根据题意，得NOMH=90°,ZMOH=22.5°,ZMHO=67.5,

故OM>MH即ri>0>m.

故7"+心0,

故选c.

【点睛】本题考查了正多边形的中心角，数字的规律探解，熟练掌握数字规律探解是解题的关键.

3.周长相等的正方形与正六边形的面积分别为R、邑，、和邑的关系为（）

A.=2S2B.5］：邑=3#:16C.SJ$=6：3D.

【答案】D

【分析】设正六边形的边长为。，根据周长相等，计算正方形的边长，后计算面积即可.

【详解】解：设正六边形的边长为a,

如图1所示：四边形ABCD是正方形，

f6a3a

：.AB=——=——,

42

S=S正方形ABC©=A"=—•—=—a2.

1{止刀71>ADCZ,/224

如图2,过。作OGL5C,G为垂足.

六边形ABCDEF是正六边形，

360°

/.ZBOC=^-=60°,

6

VOB=OC,

A50。是等边三角形，

OB=OC=BC=a,BG=-BC=-a,

22

:OG=ylOB2-BG2=-a,

2

・ex_二1百_3g2

••»=b、YBoc=0x5〃•2〃=~~~Q

.sc_92.3A/32_w.0

••S,.=-a.-----a—73.2•

1242

故选D.

【点睛】本题考查了正多边形和圆的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正方形、正六边

形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行求解即可.

典例引领

【题型2：正多边形与圆有关面积的计算】

【典例2】如图，正五边形ABCDE的边长为2,以顶点A为圆心，长为半径画圆，则阴影部分的面积为

A.—B.—C.兀D.y【答案】D

55

【分析】本题考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正五边形的内角的度数

并牢记扇形的面积计算公式.先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解：.•.正五边形的外角和为360。,

每一个外角的度数为360。+5=72。,

二正五边形的每个内角为180。-72。=108。,

•••正五边形的边长为2,

0108-^-x226

$阴影=360=丁'

故选：D.

即时蛉泪

1.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心，A3的长为半径画圆，求阴影部分的面积一

（结果保留兀）.

H/

【答案】6兀

【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解N/4钻=135。，再利用扇形面积公式计算即

可.

【详解】解：由题意得，4£钻=空丁幽=135。，AH^AB=4,

O

1357tx4?

■q

••Q阴影部分=6兀,

360

故答案为：6兀.

2.如图，在正六边形ABCDEF中，点V,N分别在对角线跳1和。/上，且BM:ME=FN:NC=1:3,则

SOBC:SDMN的值为（）

234

A.1B.—C.—D.—【答案】D

345

【分析】作Oa1BC交BC于H,连接AD,BF,交MN于点、G,AD与即相交于点K,设AB=1,则07/=走,

2

同时可说明MN为_8。尸的中位线，MMN=—BF=BK=OH=>OG=—OK=—OA=—,分别求出两

22244

个三角形的面积，可得答案.

【详解】解：在正六边形ABCDEF中，设AB=1,

作OH，BC交BC于H,连接AD,BF,交MN于点、G,AD与昉相交于点K,

:.OH=\乂也=叵,

22

••SQBC=耳乂U万二彳，

BM：ME=FN：NC=1：3,

:.BM=MO,FN=NO,

:.MN为以加的中位线，

:.MN=-BF=BK=OH=—,OG=\OK=\oA=\,

22244

DG=OD+OG=-,

4

。155A/3

.•■^WD=-x-xT=—

■■SOBC：的值为：同:空=七,

4165

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，表示出两个三

角形的面积是解题的关键.

3

3.如图，正方形ABCD的边长为2cm,点。为对角线交点，以各边中点为圆心，1cm为半径依次作二圆,

4

连接点。和的中点区则图中阴影部分的面积为.

【分析】过点。作交于点F，由题意，结合图形特征，图中阴影部分的面积为S正方物皿-4

即可列式作答.

【详解】解：过点。作交于点F,如图所示：

OE1BC,

-：OF±AB,

四边形FBEO是正方形，

那么图中阴影部分的面积为：S正方形FBEO-：S尸-：S圆/=：x2x2-：万xf=1一；乃(cm?),

故答案为：［1一；万卜1n2

【点睛】本题考查了圆面积以及正方形面积内容，观察出阴影面积是S正方形FBEO-；SF是解题的关键.

【题型3：正多边形综合运用的计算】

【典例3】我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的"割圆术"，即利用圆的内接正多边形

逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所

失矣如图，。的半径为1,运用“割圆术"，以圆内接正六边形面积近似估计＜。的面积，可得万的估计

值为（结果保留根号）

【答案】

【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算.过A作于求得/AC®的度数，

根据直角三角形的性质得到求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可

得到结论.

即时检测

1.楚雄市，隶属于云南省楚雄彝族自治州，彝族人民喜欢用月琴演奏他们在生产生活中喜怒哀乐的情感，

月琴也是彝族人民历史悠久的传统乐器之一.彝族月琴有圆形、梨形、六角形、八角形等不同的形状，它

由两个面板、手板、长劲头、弦扭、缚弦组成，弦扭通常用大红花树制作.现要制作一个六角月琴，需计

算六角月琴一个面板的面积，六角月琴的面板是一个正六边形ABCDE尸，若已知正六边形ABCDE尸内接于

A.3gB.当C.6GD.*【答案】B

【分析】本题考查了正多边形与圆，过点。作OH，CD于点根据正六边形的性质求出NCOD=60。，得

到△COD为等边三角形，根据等边三角形的性质求出CH,根据勾股定理求出OH,根据三角形的面积公式

计算即可得到答案，掌握正六边形的中心角的求法、等边三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，过点。作于点H,

,/六边形ABCDEF为正六边形，

360°

ZCOD=——=60°,

6

A△COD为等边三角形，

/.CD=OC=1,

,/OH工CD,

CH=DH=—CD=—,

22

/.0H=yj0C2-CH2=—,

2

正六边形A8CDEF的面积为：J-xlx^x6=—,

222

故选：B.

⑴如图L若N3=60。，连接49并延长交.。于点。，交BC于点H.

①弧的度数为：;3〃与CH的数量关系是：.

②请你仅使用无刻度的直尺在图1中作出一个正六边形，保留作图痕迹（作图过程用虚线表示，作图结果

用实线表示）；

（2）如图2,若/B4c=36。，E是AB的中点，请你仅使用无刻度的直尺在图2中，作一个。的内接正五边

形（作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示）.【答案】（1）①60。；BH=CH.②见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，正多边形和圆以及复杂作图等知识.

（1）①连接8。，根据垂径定理逆定理证明AD/3C,再证明」.ABC是等边三角形可得

期=。〃,/8/1。=30。,可得480£>=60。，从而可得结论；②连接CO,延长80,CO,交。于点E,R根据等

边三角形的性质得ZABE=NCBE=ZBCF=ZACF=ZBAD=ZCAD=30°,可得

AE=EC=CD=DB=BF=FA,ZAFB=ZFBD=Z.BDC=ZDCE=ACEA=ZEAF=120°,故可得正六边形

AFBDCE；

(2)根据圆周角的定理及同弧所对的圆周角相等得到NAOB=NAOC=144。，再根据EP是中点得到

ZAOD=ZCOD=ZAOH=ZBOH=72°,得NBOC=72。,根据三线合一性得到弧相等，弦相等，最后即可

得到五边形AHBCD即为所求.

【详解】(1)①连接80，

,/AB=AC,

AB=AC,

:AZ）过圆心。，

AD±BC,

・「AB=AC"=60。，

二•ABC是等边三角形，

ABAC=NBCA=60°,BH=CH^-BC

2

ABAD=ACAD=-ABAC=30°,

2

ABOD=2ABAD=60°.

故答案为：60°,BH=CH;

②如图，正六边形AFBDCE即为所作；

(2)如图，正五边形AHBCD即为所求作.

A

好嬴

了础过关

1.如图，已知正五边形ABCDE内接于C。，则/AO5的度数是（）

A.45°B.60°C.72°D.90°【答案】C

【分析】根据正〃边形的中心角的计算公36式0°"（〃为正整数，〃23）解答即可.

n

【详解】解：...正五边形钻CDE内接于O,

360°

•••正五边形ABCDE的中心角NAOB=飞一=72°.

故选：C.

【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正〃边形的中心角的计算公式360型°-（"为正整数，n>3）是解题的

n

关键.

2.如图，点A,B,C,。为正”边形的顶点，点。为正”边形的中心.若NADB=20。，贝1|〃=（）

A.七B.八C.九D.十【答案】C

【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边AB所对的圆心角

ZAOB=40°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案.

【详解】解：正多边形的外接圆为O,

点。为正”边形的中心.ZADB=20°,

ZAOB^2ZADB^40°,

”=弛=9,

40°

故选：C.

3.半径为1的圆内接正六角形的边心距为.

【答案】

22

【分析】连接。4、08,作根据圆内接正六边形的性质得到，ASO是等边三角形，利用垂径定

理及勾股定理即可求出边心距OH.

【详解】解：如图，连接。4、03,作

•••六边形ABCDEF是圆内接正六边形,

360°

ZAOB=——=120°

6

又..OA=OB

ABO是等边三角形,

AB=OA=1,

-：OH±AB,

AH^-,

2

OH=

故答案为T

【点睛】此题考查圆内接正六边形的性质，垂径定理，勾股定理.解题中熟记正六边形的性质得到/AC®=60。

是解题的关键，由此即可证得ABO是等边三角形，利用勾股定理解决问题.

4.如图，正六边形ABCDEF,连接3£）,则/班见的度数为.

【答案】90。/90度

【分析】本题考查正多边形求角度，涉及正六边形性质、三角形内角和定理、等腰三角形判定与性质等知

识，熟练掌握正多边形内角与外角性质是解决问题的关键.

【详解】解：在正六边形ABCDEF,各条边均相等、各个内角均相等，

360°

ZCDE=ZC=180°-^—=120°,

BC=BD,

.•.ZfiDE=120°—30°=90°,

故答案为：90°.

5.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的"割圆术"，即利用圆的内接正多边形逼近圆

的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣如

图，。的半径为1,运用“割圆术"，以圆内接正六边形面积近似估计O的面积，可得乃的估计值为

（结果保留根号）

【答案】之⑶正

22

【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算.过A作于求得/AQB的度数，

根据直角三角形的性质得到AM,求出三角形的面积，于是得到正六边形的面积，根据圆的面积公式即可

得到结论.

6.如图，正六边形ABCDE尸的边长为1,以对角线AC为直径作圆，则图中阴影部分的面积为.

【分析】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助

线，熟练掌握相关的性质.过点B作于点G,根据等腰三角形的性质求出AG=CG,

ZBAC=1(180°-120°)=30°,根据勾股定理求出AG=JA。-BG?=岑,得出

S阴影一；义追*；='"一¥即可.

【详解】解：过点B作5G_LAC于点G,如图所示:

六边形ABCDE尸为正六边形，

360°

ZABC=180°--------=120°,AB=CB=1,

6

AG^CG,ZBAC=1(180°-120°)=30°,

BG=-AB^-,

22

AG=^AB2-BG2=—,

2

AC=2AG=K,

-S阴影一gXTTX

故答案为：—.

84

能力提开

1.如图，要拧开一个边长为a=2cm的正六边形螺帽，则扳手张开的开口6至少为（）

■

【答案】B

【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可.

【详解】解：如图，正六边形ABCDEF的外接圆为。，连AE,OA,BE,则点。在BE上，

.正六边形ABCDEF,

：,AB=AF=EF=a,ZF=ZE4B=120°,

.■.ZB4£=120°-30o=90°,

在RtZxBE尸中，AB=2cm,ZAEB=1x60°=30°,

AE=6AB=2A/§CHI,

即b=26cm，

故选：B.

2.如图，正六边形ABCDE尸内接于（O,。的半径为1,则AB的长为（）

【答案】A

【分析】本题考查了圆内接多边形以及弧长公式，连接。4,0B,求出圆心角NAO3的度数，再根据弧长

公式，即可解题.

【详解】解：连接Q4,0B,如图所示：

多边形ABCDEF为正六边形,

ZAOB=360°x-=60°,

6

故答案为：A.

3.如图，AF是正五边形ABCDE外接圆的一条直径，则NC。尸的度数是（）

【答案】A

【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可求出答案.本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识,

能正确做出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图所示，连接AC,AD,

：.?ADF90?,

•••正五边形ABCDE,

（5-2）-180°

ZABC==108°

5

・「四边形ABC。是的内接四边形,

ZADC=180°-ZABC=72°,

ZCDF=900-ZADC=18°.

故选A.

4.如图，AB是。的直径，AC与。交于点尸，弦AO平分/BAC,DE1AC,垂足为E若Q的半

径为2,ZR4C=60°,则线段EF的长为（）

A

25

A.1B.y/sC.--D.——

68

【答案】A

【分析】此题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质定理及作出合适的辅助线是解题的关键；

连接。。，过。作OG，A尸于G,得到AF=2AG,根据直角三角形的性质得到AG=］。4=1,得到AF=2,

推出四边形49。尸是菱形，得到DR〃OA,DF=OA=2,于是得到结论.

【详解】解：连接OO,过。作OGLAb于G,

A

AD平分/B4C,

.\ZOAD=ZCADf

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

.\ZODA=ZCAD9

・•.OD//AC,

:.AF=2AG,

ZBAC=6D°,OA=2f

/.AG=-OA=1,

2

:.AF=2,

:.AF=OD,

AF//ODf

二•四边形40。方是平行四边形，

QAF=AOf

••・四边形49。尸是菱形，

:.DF//OA,DF=OA=2,

ZEFD=ZBAC=60°f

:.EF=-DF=\,

2

故选：A.

5.如图，半径为1的。是正方形ABC。，正六边形OEFBG”的外接圆，则外片的长为（）

O匕----

B<--，G

71717t71

A.—B.—C.—D.——

361224

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，连接EO,AO,B。,根据题意得出NAQE=30。，然后根据弧

长公式，即可求解.

【详解】解：如图所示，连接EO,AO,B。，

耳/---

-----

21

依题意，ZSOE=-x360°=120°,ZAOB=-x360°=90°,

64

/.NAOE=30。

,»t/、f30TC

注£的长为旃乃xl=z，

故选：B.

6.如图，五边形ABCDE为,：。的内接正五边形，点尸为劣弧OE上的任意一点（不与DE重合），则ZEPD

的度数是（）

A.136°B.1440C.145°D.150°

【答案】B

【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理，圆内接四边形的性质.连接OD,OE,BE,BD,根据正

五边形的性质可得/DOE=72。，再由圆周角定理可得/。2£=；/。。石=36。，然后根据圆内接四边形的性

质，即可求解.

【详解】解：如图，连接

•••五边形ABCDE为.O的内接正五边形，

360°

/.ZDOE=—^=72°,

：.ZDBE=-ZDOE=36°,

2

四边形BEPD是一。的内接四边形，

ZEPD=180°-ZDBE=144°.

故选：B

7.如图，点。是正方形AB'C'。'和正五边形ABCDE的中心，连接A。、CD交于点P,则NAPD=（)

A.72°B.81°C.76°D.80°

【答案】B

【分析】本题考查正多边形与圆，掌握正多边形与圆的性质，圆周角定理、三角形内角和定理是正确解答

的前提.

根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理、三角形内角和定理进行计算即可.

【详解】解：如图，连接AC、OA,OC、OD.OD',。是正方形AB'C'。’和正五边形ABCDE的外接圆，

正方形AB'C'。'内接于O,

11360°

ZACD'=-ZAOD'=-x——=45°,

224

又.正五边形ABCDE内接于O,

11360°

ZCAD=-ZCOD=-x——=36°,

225

ZAPL/=ZCAD+ZACiy=36°+45°=81°,

故选：B.

8.如图，正六边形48coEF内接于。O,连接A。、CE交于点G,DG=2.

A

D

⑴求正六边形ABCDEF的边长;

⑵求阴影部分的面积.

【答案】(1)4

唔-46

【分析】本题考查正多边形和圆，扇形面积的计算；

(1)根据圆内接正六边形的性质以及正三角形的性质进行计算即可；

(2)由扇形面积、三角形面积公式以及图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可.

【详解】(1)解：如图，连接0C,则CG_LOD,

•,•正六边形ABCDEF内接于。，

COZ)是正三角形，

../COD=60。，

CG1OD,

OG=DG=-OD=2,

2

:.OC=2OG=4,

即正六边形的边长为4；

(2)在及COD中，OG=2,NCOG=60。,

CG=OG-tan60°=y/3OG=26,

S阴影部分—S扇形COD-SCOD

4一4技

9.如图，AB是，。的直径，延长弦8。到点C,使0c=%),连接AC,过点。作。E1AC,垂足为E.

A

O

瓦

CD

'F

⑴判断直线。E与。的位置关系，并证明你的结论;

(2)若。的半径为6,za4c=60。，延长匹交A3延长线于点尸，求阴影部分的面积.

【答案】⑴直线OE与。的位置关系是相切，见解析

⑵184-6〃

【分析】(1)连接OD,根据三角形的中位线得出。D〃AC,推出OD1OE,根据切线的判定推出即可;

(2)求出/。。尸=60。，N尸=3。。，求出根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形。03

的面积，分别求出后，相减即可.

【详解】(1)解：直线DE与的位置关系是相切，理由：

连接。。，

AO^BO,BD=DC,

：.0D//AC,

DELAC,

:.DEYOD,

0。为半径，

直线。E是，O的切线，

即直线OE与。的位置关系是相切;

(2)解：；OD//AC,ZBAC=60°,

ZDOB=ZA=60°,

DE是，;O切线，

:.ZODF=90°,

.•./尸=30°,

:.FO=2OD=12,

由勾股定理得：DF=6y/3,

6

，阴影部分的面积S=SODF-S扇形及OB=；x6x64-‘°蒜=18＞-6%.

【点睛】本题考查了切线的性质和判定，平行线的性质和判定，扇形的面积，三角形的面积，三角形的中

位线等知识点的综合应用.

10.四边形ABCD内接于CO,AB=AD,AC是O的直径，过点A作

⑴如图1,求证：是」。的切线；

⑵如图2,当AB=2&ZBAD=60°连接。。并延长，分别交AM,至于点E,F,交于点G.求

图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)2退一：万.

【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，求扇形的面积，解题的关键是灵活

运用所学知识解决问题.

(1)由圆周角定理证明NABC=NADC=90。，再证明RtABC丝RtADC(HL),推出AC是80的垂直平分

线，证明ACLMN,即可证明四是＜。的切线；

(2)证明班)是等边三角形，利用垂径定理求得AF=6，ZAOG=60°,利用直角三角形的性质求得

49=2,在RtZiAE。中，求得AE=2/，再利用S阴影=S3EO扇形&G即可求解.

【详解】(1)证明：,；46:是＜O的直径，

ZABC=ZADC=90°,

AB=AD,AC=ACf

RtABC^RtAZ)C(HL),

BC=CD,

AC是BD的垂直平分线,

「MN//BD,

ACLMN,

MN是1。的切线；

(2)解：AB=AD,/BAD=60。,

..△AB。是等边三角形，

•••OF经过圆心O,

■■DFYAB,

AF=BF=-AB=yl3,ZAOG=60°,ZOAF=30°,

2

AO^lOF,

由勾股定理得AO=2,

在RtaAEO中，ZAEO=30°,

OE=2AO=4,AE=d4一寸=2咫),

.r,„„]c/7c60%X22[-2

一S阴影=S^AEO一$扇形AOG=—x2V3x2芯0—=2V3--.

DMI

1.（2023•江苏连云港•统考中考真题）如图，矩形ABCD内接于＜O,分别以AB、BC、CD、AD为直径向外

作半圆.若A5=4,5C=5,则阴影部分的面积是（）

$-20

C.207D.20

【答案】D

【分析】根据阴影部分面积为2个直径分别为AB,8C的半圆的面积加上矩形的面积减去直径为矩形对角线

长的圆的面积即可求解.

【详解】解：如图所示，连接AC,

,矩形ABCD内接于)0,A8=4,BC=5

AC2=AB-+BC2

阴影部分的面积是S矩版mczi+nx

S矩形MCD+兀X；(AB2+8C2-AC2)

S矩形ABC。

=4x5=20,

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

2.（2023・山西・统考中考真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截

面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点尸,。,〃均为正六边形的

顶点.若点尸，。的坐标分别为卜263）,（0,-3）,则点M的坐标为（）

【答案】A

【分析】连接尸尸，设正六边形的边长为。，由正六边形的性质及点P的坐标可求得。的值，即可求得点M

的坐标.

【详解】解：连接PF,如图，设正六边形的边长为。，

ZABC=120°,

ZABO=60°,

ZAOB=90°,

：.ZBAO=30°,

OB——aiOA=,

22

AC=CE=s/3d,OF=OB+BF=—,

2

•••点尸的坐标为卜2石,3）,

.包=3

2，

即a=2；

OE=OC+CE=^^-=3^3,EM=2,

2

二点M的坐标为（3百，-2）.

【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含