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文档简介

天水市重点中学2024年中考数学四模试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.对于有理数x、y定义一种运算“Δ”:xΔy=ax+by+c,其中a、b、c为常数,等式右边是通常的加法与乘法运算,已知3Δ5=15,4Δ7=28,则1Δ1的值为()A.-1 B.-11 C.1 D.112.我国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形,且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个小正方形的边长均为1),则该“堑堵”的侧面积为()A.16+16 B.16+8 C.24+16 D.4+43.下列运算正确的是()A.5ab﹣ab=4 B.a6÷a2=a4C. D.(a2b)3=a5b34.如图,在平行四边形ABCD中,E是边CD上一点,将△ADE沿AE折叠至△AD′E处,AD′与CE交于点F,若∠B=52°,∠DAE=20°,则∠FED′的度数为()A.40° B.36° C.50° D.45°5.如图所示的几何体的左视图是()A. B. C. D.6.甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进,A、B两地间的路程为40km.他们前进的路程为s(km),甲出发后的时间为t(h),甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示.根据图象信息,下列说法不正确的是()A.甲的速度是10km/h B.乙的速度是20km/hC.乙出发h后与甲相遇 D.甲比乙晚到B地2h7.如图,在底边BC为2,腰AB为2的等腰三角形ABC中,DE垂直平分AB于点D,交BC于点E,则△ACE的周长为()A.2+ B.2+2 C.4 D.38.如图,是半圆圆的直径,的两边分别交半圆于,则为的中点,已知,则()A. B. C. D.9.关于的不等式的解集如图所示,则的取值是A.0 B. C. D.10.关于反比例函数,下列说法正确的是()A.函数图像经过点(2,2); B.函数图像位于第一、三象限;C.当时,函数值随着的增大而增大; D.当时,.11.等腰三角形三边长分别为,且是关于的一元二次方程的两根,则的值为()A.9 B.10 C.9或10 D.8或1012.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是(A.y=x2+1 B.y=x二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.如图所示,一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动,当刻度尺的一边与光盘相切时,另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位:cm),那么该光盘的半径是____cm.14.已知抛物线y=,那么抛物线在y轴右侧部分是_________(填“上升的”或“下降的”).15.图1、图2的位置如图所示,如果将两图进行拼接(无覆盖),可以得到一个矩形,请利用学过的变换(翻折、旋转、轴对称)知识,将图2进行移动,写出一种拼接成矩形的过程______.16.若反比例函数y=的图象位于第一、三象限,则正整数k的值是_____.17.分解因式______.18.为了了解贯彻执行国家提倡的“阳光体育运动”的实施情况,将某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制成了如图所示的条形统计图,根据统计图提供的数据,该班50名同学一周参加体育锻炼时间的中位数与众数之和为_____.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)实践体验:(1)如图1:四边形ABCD是矩形,试在AD边上找一点P,使△BCP为等腰三角形;(2)如图2:矩形ABCD中,AB=13,AD=12,点E在AB边上,BE=3,点P是矩形ABCD内或边上一点,且PE=5,点Q是CD边上一点,求PQ得最值;问题解决:(3)如图3,四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,AD=3,BC=6,DC=4,点E在AB边上,BE=2,点P是四边形ABCD内或边上一点,且PE=2,求四边形PADC面积的最值.20.(6分)计算:﹣|﹣2|+()﹣1﹣2cos45°21.(6分)(1)计算:;(2)化简:.22.(8分)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中,小林在南滨河路上的A,B两点处,利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若AB=132米,求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14)23.(8分)如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为,另一个交点为A,且与y轴相交于C点求m的值及C点坐标;在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;点P的横坐标为,当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.24.(10分)我们已经知道一些特殊的勾股数,如三连续正整数中的勾股数:3、4、5;三个连续的偶数中的勾股数6、8、10;事实上,勾股数的正整数倍仍然是勾股数.另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数,毕达哥拉斯学派提出的公式:a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1(n为正整数)是一组勾股数,请证明满足以上公式的a、b、c的数是一组勾股数.然而,世界上第一次给出的勾股数公式,收集在我国古代的着名数学着作《九章算术》中,书中提到:当a=(m2﹣n2),b=mn,c=(m2+n2)(m、n为正整数,m>n时,a、b、c构成一组勾股数;利用上述结论,解决如下问题:已知某直角三角形的边长满足上述勾股数,其中一边长为37,且n=5,求该直角三角形另两边的长.25.(10分)如图,已知A(﹣4,n),B(2,﹣4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积;(3)求方程的解集(请直接写出答案).26.(12分)如图,点P是⊙O外一点,请你用尺规画出一条直线PA,使得其与⊙O相切于点A,(不写作法,保留作图痕迹)27.(12分)某地一路段修建,甲队单独完成这项工程需要60天,若由甲队先做5天,再由甲、乙两队合作9天,共完成这项工程的三分之一.(1)求甲、乙两队合作完成这项工程需要多少天?(2)若甲队的工作效率提高20%,乙队工作效率提高50%,甲队施工1天需付工程款4万元,乙队施工一天需付工程款2.5万元,现由甲乙两队合作若干天后,再由乙队完成剩余部分,在完成此项工程的工程款不超过190万元的条件下要求尽早完成此项工程,则甲、乙两队至多要合作多少天?

参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、B【解析】

先由运算的定义,写出3△5=25,4△7=28,得到关于a、b、c的方程组,用含c的代数式表示出a、b.代入2△2求出值.【详解】由规定的运算,3△5=3a+5b+c=25,4a+7b+c=28所以3a+5b+c=解这个方程组,得a所以2△2=a+b+c=-35-2c+24+c+c=-2.故选B.【点睛】本题考查了新运算、三元一次方程组的解法.解决本题的关键是根据新运算的意义,正确的写出3△5=25,4△7=28,2△2.2、A【解析】

分析出此三棱柱的立体图像即可得出答案.【详解】由三视图可知主视图为一个侧面,另外两个侧面全等,是长×高=×4=,所以侧面积之和为×2+4×4=16+16,所以答案选择A项.【点睛】本题考查了由三视图求侧面积,画出该图的立体图形是解决本题的关键.3、B【解析】

由整数指数幂和分式的运算的法则计算可得答案.【详解】A项,根据单项式的减法法则可得:5ab-ab=4ab,故A项错误;B项,根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可得:a6÷a2=a4,故B项正确;C项,根据分式的加法法则可得:,故C项错误;D项,根据“积的乘方等于乘方的积”可得:,故D项错误;故本题正确答案为B.【点睛】幂的运算法则:(1)同底数幂的乘法:(m、n都是正整数)(2)幂的乘方:(m、n都是正整数)(3)积的乘方:(n是正整数)(4)同底数幂的除法:(a≠0,m、n都是正整数,且m>n)(5)零次幂:(a≠0)(6)负整数次幂:(a≠0,p是正整数).4、B【解析】

由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,由三角形的外角性质求出∠AEF=72°,与三角形内角和定理求出∠AED′=108°,即可得出∠FED′的大小.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=52°,由折叠的性质得:∠D′=∠D=52°,∠EAD′=∠DAE=20°,∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°,∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°,∴∠FED′=108°﹣72°=36°.故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理;熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质,求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键.5、A【解析】本题考查的是三视图.左视图可以看到图形的排和每排上最多有几层.所以选择A.6、B【解析】由图可知,甲用4小时走完全程40km,可得速度为10km/h;乙比甲晚出发一小时,用1小时走完全程,可得速度为40km/h.故选B7、B【解析】分析:根据线段垂直平分线的性质,把三角形的周长问题转化为线段和的问题解决即可.详解:∵DE垂直平分AB,∴BE=AE,∴AE+CE=BC=2,∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+2,故选B.点睛:本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线性质的应用,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.8、C【解析】

连接AE,只要证明△ABC是等腰三角形,AC=AB即可解决问题.【详解】解:如图,连接AE,

∵AB是直径,

∴∠AEB=90°,即AE⊥BC,

∵EB=EC,

∴AB=AC,

∴∠C=∠B,

∵∠BAC=50°,

∴∠C=(180°-50°)=65°,

故选:C.【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.9、D【解析】

首先根据不等式的性质,解出x≤,由数轴可知,x≤-1,所以=-1,解出即可;【详解】解:不等式,解得x<,由数轴可知,所以,解得;故选:.【点睛】本题主要考查了不等式的解法和在数轴上表示不等式的解集,在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.10、C【解析】

直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案.【详解】A、关于反比例函数y=-,函数图象经过点(2,-2),故此选项错误;B、关于反比例函数y=-,函数图象位于第二、四象限,故此选项错误;C、关于反比例函数y=-,当x>0时,函数值y随着x的增大而增大,故此选项正确;D、关于反比例函数y=-,当x>1时,y>-4,故此选项错误;故选C.【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质,正确掌握相关函数的性质是解题关键.11、B【解析】

由题意可知,等腰三角形有两种情况:当a,b为腰时,a=b,由一元二次方程根与系数的关系可得a+b=6,所以a=b=3,ab=9=n-1,解得n=1;当2为腰时,a=2(或b=2),此时2+b=6(或a+2=6),解得b=4(a=4),这时三边为2,2,4,不符合三角形三边关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,故不合题意.所以n只能为1.故选B12、D【解析】

本题主要考查二次函数的解析式【详解】解:根据二次函数的解析式形式可得,设顶点坐标为(h,k),则二次函数的解析式为y=a(x-故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式,根据顶点的平移可得到二次函数平移后的解析式.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、5【解析】

本题先根据垂径定理构造出直角三角形,然后在直角三角形中已知弦长和弓形高,根据勾股定理求出半径,从而得解.【详解】解:如图,设圆心为O,弦为AB,切点为C.如图所示.则AB=8cm,CD=2cm.

连接OC,交AB于D点.连接OA.

∵尺的对边平行,光盘与外边缘相切,

∴OC⊥AB.

∴AD=4cm.

设半径为Rcm,则R2=42+(R-2)2,

解得R=5,

∴该光盘的半径是5cm.

故答案为5【点睛】此题考查了切线的性质及垂径定理,建立数学模型是关键.14、上升的【解析】

∵抛物线y=x2-1开口向上,对称轴为x=0(y轴),

∴在y轴右侧部分抛物线呈上升趋势.故答案为:上升的.【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质,解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.15、先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转,再将旋转后的图形向左平移5个单位.【解析】

变换图形2,可先旋转,然后平移与图2拼成一个矩形.【详解】先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°,再将旋转后的图形向左平移5个单位可以与图1拼成一个矩形.故答案为:先将图2以点A为旋转中心逆时针旋转90°,再将旋转后的图形向左平移5个单位.【点睛】本题考查了平移和旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.16、1.【解析】

由反比例函数的性质列出不等式,解出k的范围,在这个范围写出k的整数解则可.【详解】解:∵反比例函数的图象在一、三象限,∴2﹣k>0,即k<2.又∵k是正整数,∴k的值是:1.故答案为:1.【点睛】本题考查了反比例函数的性质:当k>0时,图象分别位于第一、三象限;当k<0时,图象分别位于第二、四象限.17、(x+y+z)(x﹣y﹣z).【解析】

当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题后三项可以为一组组成完全平方式,再用平方差公式即可.【详解】x2-y2-z2-2yz,=x2-(y2+z2+2yz),=x2-(y+z)2,=(x+y+z)(x-y-z).故答案为(x+y+z)(x-y-z).【点睛】本题考查了用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.本题后三项可组成完全平方公式,可把后三项分为一组.18、17【解析】∵8是出现次数最多的,∴众数是8,∵这组数据从小到大的顺序排列,处于中间位置的两个数都是9,∴中位数是9,所以中位数与众数之和为8+9=17.故答案为17小时.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)见解析;(2)PQmin=7,PQmax=13;(3)Smin=,Smax=18.【解析】

(1)根据全等三角形判定定理求解即可.(2)以E为圆心,以5为半径画圆,①当E、P、Q三点共线时最PQ最小,②当P点在位置时PQ最大,分类讨论即可求解.(3)以E为圆心,以2为半径画圆,分类讨论出P点在位置时,四边形PADC面积的最值即可.【详解】(1)当P为AD中点时,,△BCP为等腰三角形.(2)以E为圆心,以5为半径画圆①当E、P、Q三点共线时最PQ最小,PQ的最小值是12-5=7.②当P点在位置时PQ最大,PQ的最大值是(3)以E为圆心,以2为半径画圆.当点p为位置时,四边形PADC面积最大.当点p为位置时,四边形PADC最小=四边形+三角形=.【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质,直线,面积最值问题,数形结合思想是解题关键.20、+1【解析】分析:直接利用二次根式的性质、负指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简求出答案.详解:原式=2﹣2+3﹣2×=2+1﹣=+1.点睛:本题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题的关键.21、(1)4+;(2).【解析】

(1)根据幂的乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值可以解答本题;(3)根据分式的减法和除法可以解答本题.【详解】(1)=4+1+|1﹣2×|=4+1+|1﹣|=4+1+﹣1=4+;(2)===.【点睛】本题考查分式的混合运算、实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.22、观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米.【解析】

过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,根据AE=DE,列出方程即可解决问题.【详解】过点D作DE⊥AC,垂足为E,设BE=x,在Rt△DEB中,tan∠DBE=,∵∠DBC=65°,∴DE=xtan65°.又∵∠DAC=45°,∴AE=DE.∴132+x=xtan65°,∴解得x≈115.8,∴DE≈248(米).∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米.23、,;存在,;或;当时,.【解析】

(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先判断出面积最大时,平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点,从而求出点M坐标;(3)①先判断出四边形PBQC时菱形时,点P是线段BC的垂直平分线,利用该特殊性建立方程求解;②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式,从而确定出它的最大值.【详解】解:(1)将B(4,0)代入,解得,m=4,∴二次函数解析式为,令x=0,得y=4,∴C(0,4);(2)存在,理由:∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC解析式为y=﹣x+4,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时,△MBC面积最大,∴,∴,∴△=1﹣4b=0,∴b=4,∴,∴M(2,6);(3)①如图,∵点P在抛物线上,∴设P(m,),当四边形PBQC是菱形时,点P在线段BC的垂直平分线上,∵B(4,0),C(0,4),∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,∴m=,∴m=,∴P(,)或P(,);②如图,设点P(t,),过点P作y轴的平行线l,过点C作l的垂线,∵点D在直线BC上,∴D(t,﹣t+4),∵PD=﹣(﹣t+4)=,BE+CF=4,∴S四边形PBQC=2S△PDC=2(S△PCD+S△BD)=2(PD×CF+PD×BE)=4PD=∵0<t<4,∴当t=2时,S四边形PBQC最大=1.考点:二次函数综合题;二次函数的最值;最值问题;分类讨论;压轴题.24、(1)证明见解析;(2)当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.【解析】

(1)根据题意只需要证明a2+b2=c2,即可解答(2)根据题意将n=5代入得到a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),再将直角三角形的一边长为37,分别分三种情况代入a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),即可解答【详解】(1)∵a2+b2=(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n4+8n3+4n2=4n4+8n3+8n2+4n+1,c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1,∴a2+b2=c2,∵n为正整数,∴a、b、c是一组勾股数;(2)解:∵n=5∴a=(m2﹣52),b=5m,c=(m2+25),∵直角三角形的一边长为37,∴分三种情况讨论,①当a=37时,(m2﹣52)=37,解得m=±3(不合题意,舍去)②当y=37时,5m=37,解得m=(不合题意舍去);③当z=37时,37=(m2+n2),解得m=±7,∵m>n>0,m、n是互质的奇数,∴m=7,把m=7代入①②得,x=12,y=1.综上所述:当n=5时,一边长为37的直角三角形另两边的长分别为12,1.【点睛】此题考查了勾股数和勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题关键25、(1)y=﹣,y=﹣x﹣2(2)3(3)﹣4<x<0或x>2【解析】试题分析:(1)将B坐标代入反比例解析式中求出m的值,即

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