《高等数学Ⅱ》试卷及答案 卷2

座号学院座号学院年级专业班级学号姓名装订线内不要答题第1页共2页装订线内禁止答卷第3页共2页装订线内禁止答卷第2页共2页20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷考试说明：1、本试卷共3页，考试时间为120分钟；2、考试方式：闭卷；全部试题均答在答题纸上。一、单项选择题（在下列各小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的代码填入下列对应的表格内，多选不给分。本题共15小题，每小题2分，共30分）。1、函数的定义域是（）(A)(B)(C)(D)已知向量，，若与垂直，则（）(A)(B)(C)(D)不确定3、过点且以为方向向量的直线方程是（）(A)(B)(C)(D)4、函数的极小值点为（）(A)(B)(C)(D)5、在点的偏导数存在是在该点可微分的（）(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)无关条件6、设区域是由（）围成，则二重积分（）(A)(B)(C)(D)7、设为椭圆的逆时针路径，则（）(A)(B)(C)(D)8、微分方程的通解是（）(A)(B)(C)(D)9、若级数发散，为常数，则级数（）(A)发散(B)可能收敛，可能发散(C)收敛(D)无界10、设幂级数在处发散，则在处（）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)敛散性不确定11、微分方程的通解为（）（A）（B）（C）（D）12、幂级数的收敛域为（）（A）（B）（C）（D）13、函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）14、设函数,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在.15、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（）（A）最大值点和最小值点必定都在D的内部；（B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上；（C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上；（D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上.二、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、若函数f(x,y)在点处连续，则它在(x0,y0)该点必可偏导.（）17、若函数f(x,y)在区域D上具有连续的偏导数，则它在D上必可微.（18、重积分的中值定理总是成立，无论被积函数是否连续。（）19、对任何闭曲面，高斯公式中的曲面积分总等于零。（）20、格林公式仅适用于简单闭合曲线。（）21、若函数f(x,y,z)在空间某区域内是调和函数，则它满足拉普拉斯方程.（）22、曲线积分与路径无关当且仅当被积函数是某函数的全微分。（）23、任何无穷级数都可以通过部分和序列的极限来求和。（）24、幂级数的收敛半径总是正数。（）25、泰勒级数总是收敛于其原函数，无论函数性质如何。（）三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、已知向量，,则.27、设积分区域的面积为，则.28、设积分区域：，，则.29、微分方程的通解是.30、如果级数，则.四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）32、求函数的全微分.（6分）33、求微分方程的通解.（6分）34、求幂级数的和函数.（6分）35、计算，其中是由直线及所围成的闭区域（6分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​20XX20XX学年下学期《高等数学Ⅱ》期末考试试卷·参考答案单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）题号12345678910答案ABADBDBDCB题号1112131415答案DCCCB判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）16、×17、√18、×19、×20、√21、√22、√23、×24、×25、×三、填空题（本大题共5空，每空2分，共10分）26、27、28、029、30、0四、计算题（本大题共5小题，每题6分,共30分）31、求空间曲线在点处的切线及法平面方程.（6分）解：点对应的参数…………….（1分）则在该点处切线的切向量…………….（1分）所以在点处的切线方程为………….（2分）法平面方程为…………….（2分）31、求函数的全微分.（6分）解：因为，………….（2分）………….（2分）所以………….（2分）32、求微分方程的通解.（6分）解：方程为一阶线性非齐次微分方程由一阶线性非齐次微分方程的通解公式：……….（3分）………….（3分）33、求幂级数的和函数.解：设和函数为两边由0到积分，得…………（4分）两边对求导，即得.………………（2分）34、求函数的极值.解解方程组得驻点为……………………（3分）再求出二阶偏导数在点处,又,所以函数在处有极小值在点处,所以不是极值．……（3分）35、解：画出积分区域的草图，交点为。……………….（2分）视为是型区域：…….（2分）则有…………….（2分）五、证明题（本大题共1小题，每题10分,共10分）36、设函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可导，且

f(a)=f(b)=0。证明：存在至少一个

c∈(a,b)，使得

f′(c)

=−f(c)b−c​证明：令

F(x)=(x−b)f(x)，则

F(x)

在

[a,b]

上连续，在

(a,b)

上可导。………….（2分）利用乘法法则，我们有F′(x)=(x−b)f′(x)+f(x)。 ………….（2分）由于

F(a)=(a−b)f(a)=0

和

F(b)=(b−b)f(b)=0，根据罗尔定理，存在至少一个

c∈(a,b)，使得

F′(c)=0。 ………………….……………