高中数学 2.5直线与圆锥曲线同步训练 新人教B版选修2-1

§2.5直线与圆锥曲线一、基础过关1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2).双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为 ()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝12．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于 ()A．1B．－1C．±1D．±23．双曲线eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1(a，b>0)的一条渐近线与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于点M、N，则|MN|等于 ()A．a＋b B.eq\r(2)aC.eq\r(2a2＋b2) D.eq\r(2a2－b2)4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.5．过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程为__________________．二、能力提升6．已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y＋n＝0与nx2＋my2＝mn所表示的曲线可能是 ()7．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为 ()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)8．对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足yeq\o\al(2,0)<4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线的内部，则直线l：y0y＝2(x＋x0)与C ()A．恰有一个公共点B．恰有两个公共点C．可能有一个公共点也可能有两个公共点D．没有公共点9．若倾斜角为eq\f(π,4)的直线交椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________________________________________________________________．10．在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1上求一点P，使它到直线l：3x－2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．11．已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线y2＝－x交于A、B两点，O为坐标原点．(1)若△OAB的面积为eq\r(10)，求k的值；(2)求证：以弦AB为直径的圆必过原点.12．已知抛物线y2＝－4x的焦点为F，其准线与x轴交于点M，过点M作斜率为k(k≠0)的直线l，与抛物线交于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与x轴交于点E(x0,0)．(1)求k的取值范围；(2)求证：x0<－3；(3)△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时的k值；若不能，请说明理由．三、探究与拓展13．已知双曲线方程为2x2－y2＝2.过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

答案1．D2．C3．C4．85．x＝0或y＝1或y＝eq\f(1,2)x＋16．C7．B8．D9．x＋4y＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)\r(5)<x<\f(4,5)\r(5)))10．解设与椭圆相切并与l平行的直线方程为y＝eq\f(3,2)x＋m，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m⇒m2＝16⇒m＝±4，故两切线方程为y＝eq\f(3,2)x＋4和y＝eq\f(3,2)x－4，显然y＝eq\f(3,2)x－4距l最近d＝eq\f(|16－8|,\r(32＋－22))＝eq\f(8,\r(13))＝eq\f(8\r(13),13)，切点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(7,4))).11．(1)解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，原点O到直线AB的距离为d，联立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝－x))，化简整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由题意知k≠0，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.由弦长公式，得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(1,k4)＋\f(4,k2))，由点到直线距离公式d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，得S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，解得k＝±eq\f(1,6).(2)证明∵kOA＝eq\f(y1,x1)，kOB＝eq\f(y2,x2)，∴kOA·kOB＝eq\f(y1y2,x1x2).∵yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，∴kOA·kOB＝eq\f(1,y1y2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝－x))，得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，∴以弦AB为直径的圆必过原点．12．(1)解由y2＝－4x可得准线方程为x＝1，∴M(1,0)．设l的方程为y＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝－4x，))得k2x2－2(k2－2)x＋k2＝0.∵A、B存在，∴Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，∴－1<k<1.又k≠0，∴k∈(－1,0)∪(0,1)．(2)证明设P(x3，y3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k2－2,k2)，y3＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))＝－eq\f(2k,k2)＝－eq\f(2,k).即y＋eq\f(2,k)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k2－2,k2))).令y＝0，x0＝－eq\f(2,k2)－1，∵k2∈(0,1)，∴x0<－3.(3)解假设存在以EF为底的等腰△PEF，∴点P在线段EF的垂直平分线上，∴2x3＝－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,k2)))，∴2·eq\f(k2－2,k2)＝－2－eq\f(2,k2)，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，∴△PEF可以成为以EF为底的等腰三角形，此时k值为±eq\f(\r(2),2).13．解假设这样的直线l存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1.∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x\o\al(2,1)－y\o\al(2,1)＝2，,2x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝2))两式相减，得(2xeq\o\al(2,1)－2xeq\o\al(2,2))－(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.若直线Q1Q2⊥Ox，则线段Q1Q2的中点不可能是点Q(1,1)，所